四階Schr_dinger方程的適定性及散射理論.pdf

1、本文主要研究包含兩個(gè)部分:第一部分采用Bourgain[6]，Tao[12]中的擾動(dòng)方法研究帶combining項(xiàng)的四階Schr(o)dinger方程的散射理論;第二部分利用Tao[39的[k;Z]-乘子模方法建立一類四階Schr(o)dinger方程的局部適定性.在第一章中，第一節(jié)以Schr(o)dinger方程為例介紹散射理論的基本內(nèi)容.第二節(jié)引入Bourgain空間的定義及它的一些基本性質(zhì)，然后介紹在Bourgain空間下的一些線

2、性估計(jì).
　　在第二章中，我們采用Bourgain[6]，Tao[12]中的擾動(dòng)方法研究帶combining項(xiàng)的四階Schr(o)dinger方程的散射理論.四階Schr(o)dinger方程源于Karpman-Shagalov[19，20]對強(qiáng)激光束的研究.證明的主要思想如下:首先通過擾動(dòng)理論得到方程的解具有“好的局部適定性”，即所得的局部解的存在區(qū)間只依賴于初值的Hx2模而不依賴于初值的其它性態(tài).然后利用“好的局部適定性”結(jié)合

3、對整體動(dòng)能控制就可推出解的整體存在性.在非線性項(xiàng)均為非聚焦時(shí)，由相互作用的Morawetz估計(jì)[30，36]可以推出整體時(shí)空模的有界性從而得到散射;而在次臨界項(xiàng)為聚焦且質(zhì)量充分小的情況下，利用在質(zhì)量充分小時(shí)可以保證次臨界項(xiàng)在一定的范數(shù)下是小量，再通過擾動(dòng)理論得到解的整體時(shí)空估計(jì)最終得到散射理論。
　　在第三章中，我們首先通過標(biāo)準(zhǔn)的不動(dòng)點(diǎn)理論把局部適定性問題歸結(jié)為雙線性估計(jì);然后介紹Tao[39]的[k;Z]-乘子模理論的基本框架，