中心仿射曲面和余二維中心仿射浸入.pdf

1、在1872年的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”中F.Klein把幾何歸結(jié)到可遞變換群的幾何不變量理論中，進(jìn)而加以分類。這樣，對(duì)每一個(gè)可遞變換群，都可以定義一個(gè)隸屬于這個(gè)可遞變換群的幾何。仿射空間Rn中的一個(gè)向量v經(jīng)過變換之后變成向量(v)，如果它們之間的關(guān)系滿足(v)=Av，A是一個(gè)n×n階的非退化矩陣，則變換的全體就構(gòu)成一個(gè)可遞變換群，稱為中心仿射變換群。仿射空間Rn中的中心仿射幾何是隸屬于Rn中的中心仿射變換群的幾何，它研究的是圖形在中心仿射變換下

2、的不變性質(zhì)。本文主要討論了子流形在Rn+1（或Rn+2）中的中心仿射變換群G下的不變量和不變性質(zhì)。
　　如果浸入x:M→ Rn+1（或x:M→Rn+2）始終保持位置向量x截于切平面x*（TM），則在切叢TM上存在一個(gè)關(guān)于中心仿射變換群G不變的對(duì)稱的2-形式g，g此時(shí)被稱為x的中心仿射度量。對(duì)中心仿射浸入x:M→ Rn+1，王長(zhǎng)平計(jì)算了中心仿射超曲面的關(guān)于中心仿射度量g的第一和第二變分公式，得到一個(gè)新的中心仿射不變量-Tchebyc

3、hev算子。劉會(huì)立和王長(zhǎng)平進(jìn)一步討論了這個(gè)Tchebychev算子，得到了中心仿射Tchebychev曲面(Tchebychev超曲面)的分類。對(duì)中心仿射超曲面分類的工作一直是研究中心仿射浸入x:M→ Rn+1的重要工作之一，而分類的方法主要是基于中心仿射不變量和這些不變量之間的關(guān)系。中心仿射浸入的環(huán)繞空間Rn+1中沒有定義度量、中心仿射不變量之間的關(guān)系復(fù)雜以及中心仿射超曲面的范圍廣泛，這些都增加了中心仿射超曲面分類工作的難度。針對(duì)這種

4、情況，本篇論文提出了一個(gè)解決方法，即先對(duì)所有的中心仿射超曲面分成一些大類，然后再考慮這些大類中的小類。本論文主要考慮了中心仿射超曲面中兩大類——中心仿射平移曲面和中心仿射直紋曲面。在論文的第三章中，首先計(jì)算了中心仿射平移超曲面的基本結(jié)構(gòu)方程和中心仿射不變量，根據(jù)這些公式和解相關(guān)的偏微分方程，得到了3維仿射空間中的數(shù)量曲率x為常數(shù)的中心仿射平移曲面，Pick不變量J為常數(shù)的中心仿射平移曲面和‖T‖2為常數(shù)的中心仿射平移曲面，其中T是中心仿

5、射Tchebychev向量場(chǎng)。對(duì)于中心仿射直紋超曲面，經(jīng)過計(jì)算可以得到它的基本結(jié)構(gòu)方程和一些不變量之間的關(guān)系。在3維仿射空間中，經(jīng)過計(jì)算得到了中心仿射曲面的Pick不變量J、高斯曲率K、‖T‖2和中心仿射平均曲率H之間的關(guān)系，通過解相關(guān)的偏微分方程給出了3維仿射空間中的線性Weingarten中心仿射直紋曲面的詳細(xì)分類。
　　對(duì)余二維中心仿射浸入x:Mn→Rn+2，一直存在兩種不同的研究方式。一方面，Nomizu和Sasaki運(yùn)用

6、條件trh{T(X，Y)+h（SX，Y）}=0定義了一個(gè)預(yù)法化的Blaschke向量場(chǎng)ξ作為第二截向量場(chǎng)，其中h是中心仿射基本形式，S是Weingarten算子，T是一個(gè)2形式。另一方面，劉會(huì)立在研究余二維的中心仿射浸入時(shí)用一種新的方式定義了中心仿射度量g，然后選用△gx作為第二截向量場(chǎng)，其中△g表示度量g的拉普拉斯算子。這樣在研究余二維的中心仿射浸入時(shí)，預(yù)法化的Blaschke向量場(chǎng)ξ和向量場(chǎng)△gx都可以作為第二截向量場(chǎng)，它們之間的聯(lián)

7、系和區(qū)別一直以來是大家所關(guān)注的問題。在論文的第四章中，首先運(yùn)用活動(dòng)標(biāo)架法計(jì)算出余二維的中心仿射浸入x的基本公式和中心仿射不變量，根據(jù)這些公式和不變量，得到了這兩個(gè)第二截向量場(chǎng)之間的關(guān)系即ξ=1/n△gx-H/2x，其中H是中心仿射平均曲率，這樣就統(tǒng)一了這兩個(gè)第二截向量場(chǎng)，也就是統(tǒng)一了余二維中心仿射浸入的兩種不同結(jié)構(gòu)。接下來使用△gx作為第二截向量場(chǎng)，計(jì)算出了余二維的中心仿射浸入第一、第二變分公式，從而定義了余二維的極小中心仿射浸入?？梢?/p>

8、證明這樣定義的余二維的極小中心仿射浸入也是預(yù)法化的Blaschke向量場(chǎng)ξ作為第二截向量場(chǎng)的極小中心仿射浸入。作為例子，在論文中驗(yàn)證了R4中Pick不變量恒為零的中心仿射齊性曲面是中心仿射極小的。
　　本文共分為四個(gè)部分:第一部分介紹了仿射微分幾何和中心仿射幾何的發(fā)展歷程。第二部分列出了中心仿射微分幾何的預(yù)備知識(shí)。第三部分是中心仿射超曲面，主要是關(guān)于R3中中心仿射平移曲面和中心仿射直紋面的一些結(jié)果。第四部分是關(guān)于余二維的中心仿射子