仿射空間中的若干曲線和曲面.pdf

1、仿射空間An的仿射幾何是討論圖形在仿射變換下的不變量和不變性質(zhì)的一個(gè)幾何分支。設(shè)A3是具有半Euclidean內(nèi)積λ=λ1x1y1+λ2x2y2+λ3x3y3的仿射空間，其中λ1=±1，λ2=±1，λ3=±1，x=(x1，x2，x3)，y=(y1，y2，y3)∈A3，則仿射空間A3稱為半Euclidean空間。當(dāng)λ1=λ2=λ3=1時(shí)，半Euclidean空間A3是傳統(tǒng)的3維Euclidean空間E3.當(dāng)λ1=λ2=1，λ3=

2、-1時(shí)，半Euclidean空間A3是3維Minkowski空間E31（或Lorentzian空間L3）。對(duì)Lorentzian空間的研究為Einstein創(chuàng)建和發(fā)展廣義相對(duì)論提供了有效的數(shù)學(xué)工具。反過(guò)來(lái)，廣義相對(duì)論的發(fā)展也大大促進(jìn)了對(duì)Lorentzian空間的研究。從而在半Euclidean空間中研究曲線和曲面是非常有意義的。
　　本文主要在三維仿射空間A3中討論了曲線及曲面。對(duì)于平面二次曲線，Dong-Soo Kim和Youn

3、g-Ho Kim討論了Euclidean空間中平面上橢圓和雙曲線的性質(zhì)。而在本論文第三章的曲線部分中，首先使用支函數(shù)h和曲率函數(shù)κ的關(guān)系刻畫(huà)了二維Euclidean空間中拋物線的性質(zhì)，根據(jù)這些性質(zhì)得出當(dāng)平面曲線的支函數(shù)h和曲率函數(shù)κ滿足條件κ=-P2/8h-3時(shí)，該曲線是一條焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線。接下來(lái)根據(jù)同一條平面曲線在Euclidean空間中和在仿射空間中的不同結(jié)構(gòu)方程，建立了仿射曲率κ1與歐氏曲率κ的關(guān)系，即√εκ31（9κ2κm-

4、45κκ'κ"+36κ4κ'+40κ'3）=κ'1√κ(3κκ"-5κ'2+9κ4)3。
　　并由仿射曲率κ1為常數(shù)時(shí)，平面曲線為二次曲線這一特性討論了Euclidean空間中的曲線，這進(jìn)一步驗(yàn)證了二次曲線的支函數(shù)h和曲率函數(shù)κ的關(guān)系。最后根據(jù)曲線的結(jié)構(gòu)方程討論了在仿射空間中空間曲線的不變量，得出三維仿射空間中的兩個(gè)不變量κ2τ(ds)6和λ1λ2λ3Ω2-5κ'2/9κ-2κ'τ'/9κτ-35τ'2/36τ2+κ"/3κ+2τ

5、"/3τ/(κ2τ)1/3與環(huán)繞空間的度量選取無(wú)關(guān)。
　　在第四章的曲面部分中，首先討論的是乘積極小曲面S在三維Euclidean空間及三維Minkowski空間中的分類。由于局部的可將曲面r(x，y)看成一個(gè)圖r(x，y)=（x，y,z（x,y）），這樣乘積曲面S的表達(dá)式可以寫(xiě)為z=f(x)g(y)、y=f(x)g(z)或x=f(y)g(z).當(dāng)具有以上形式的乘積曲面極小時(shí)，本文根據(jù)相關(guān)的微分方程給出了乘積曲面詳細(xì)的分類。由于M

6、inkowski空間中的旋轉(zhuǎn)可以繞三類旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行，即類空的，類時(shí)的和類光的，則Minkowski空間中的旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)著三種類型的旋轉(zhuǎn)矩陣，同一條輪廓曲線在不同的旋轉(zhuǎn)矩陣作用下可得到不同的旋轉(zhuǎn)曲面。本文在第四章的第二部分考慮三維Minkowski空間中旋轉(zhuǎn)曲面的平均曲率H為給定函數(shù)時(shí)，不同類型的旋轉(zhuǎn)曲面的分類。在三維仿射空間中，直紋曲面S的表達(dá)式為x(u，v)=a(u）+v6(u）.本文在第四章的第三部分討論了線性Weingarten中心仿射

7、直紋曲面的分類問(wèn)題:當(dāng)具有以上形式的直紋曲面極小時(shí)，本文根據(jù)結(jié)構(gòu)方程和相關(guān)的偏微分方程給出了詳細(xì)的分類，并得出非退化的中心仿射直紋曲面極小的充分必要條件是其Guass曲率是常數(shù)。如果曲面S的高斯曲率K和平均曲率H滿足線性關(guān)系λ1K+λ2H=λ，其中λ1，λ2，λ是常數(shù)，則此曲面稱為線性Weingarten曲面。顯然，常高斯曲率的曲面和常平均曲率的曲面都是線性Weingarten曲面。本文在給出常高斯曲率的中心仿射直紋曲面和常平均曲率的中