關(guān)于GL（m）上自守L-函數(shù)的素?cái)?shù)定理.pdf

1、L-函數(shù)是由Dirichlet級(jí)數(shù)定義的生成函數(shù)。它可以表示為Euler乘積的形式。它的來(lái)源可以是算數(shù)幾何，比如定義在數(shù)域上的橢圓曲線，也可以是自守形式。Langhands綱領(lǐng)的猜想指出，盡管有不同的起源，每個(gè)一般的L-函數(shù)事實(shí)上都可以分解成一些特殊L-函數(shù)的乘積。這些特殊的L-函數(shù)是由某些GLm上的尖形自守表示給出。 本文中，我們所關(guān)心的就是Langlands綱領(lǐng)中指出的這些特殊的L-函數(shù)。即，由GLm(AQ)上不可約尖形酉表

2、示π所生成的L-函數(shù)，m≥2。第一章，從介紹L-函數(shù)開(kāi)始。我們將介紹L-函數(shù)的背景，以及它們的一些性質(zhì)和理論。為了一般性，我們以表示論的角度給出L-函數(shù)L(s，π)的定義。同時(shí)也將舉新形式為例。我們的主要結(jié)果是關(guān)于廣義Riemann假設(shè)下L(s，π)的素?cái)?shù)定理。這些結(jié)果的敘述在第二章中。論文的其它章節(jié)給出了這些定理的詳細(xì)證明。廣義Riemann假設(shè)假定L(s，π)的所有非平凡零點(diǎn)都落在臨界線Rs=1/2上。在廣義Riemann假設(shè)下，式

3、子(0.0.1)將變?yōu)棣?x，π）＜＜x1/2log2x. （0.02）這里關(guān)系《中的常數(shù)依賴于π。我們得到的定理不僅是以上結(jié)果的改進(jìn)，同時(shí)也給出了關(guān)于ψ(x，π)的積分均值估計(jì)和小區(qū)間上的密度估計(jì)。定理2.1。令π為一個(gè)定義在GLm(AQ)上的不可約尖形酉表示，m≥2。假定L(s，π)的廣義Riemann假設(shè)成立。那么當(dāng)x≥2時(shí)，除去在有限對(duì)教測(cè)度的集合E上，我們都有如下估計(jì)ψ(x，π)《x1/2(log log x)2，這里∫Edx

4、/x<∞定理2.2。令π如定理2.1中所定義。假定L(s，π)的廣義Riemann假設(shè)成立。那么，我們有∫X2ψ2(x,π)dx/x2=ClogX+O{(loglogX)4},定理2.3。令π如定理2.1中所定義。假定L(s，π)的廣義Riemann假設(shè)成立。那么，我們有∫X2ψ2(x,π)dx/x2=ClogX+O{(loglogX)4}這里C＞0是一個(gè)依賴于π的正常數(shù)。參照定義(A8)，將廣義Ramanujan猜想問(wèn)題中的上界記作θ

5、。我們還得到如下定理。定理2.4。令π如定理2.1中所定義。令θ如(A8)中所定義。假定L(s，π)的廣義Riemann假設(shè)成立。那么，對(duì)于任意滿足h(x)/(xθlog2x)→∞的增函數(shù)h(x)≤x，我們有我們的定理2.1-2.4推廣了經(jīng)典的結(jié)果，即關(guān)于函數(shù)為(s)(s)時(shí)，Gallagher [8]，Cram(e)r[2]和[3]，以及Selberg[38]所得到的結(jié)果。 本證明結(jié)合了Gallagher在[8]和[9]中的方

6、法，以及劉建亞、葉揚(yáng)波和王永輝的工作中關(guān)于Rankin-Selberg守L-函數(shù)的素?cái)?shù)定理的結(jié)果，[26]，[28]，[27]。證明中的關(guān)鍵部分，是得到了如下的顯式。定理3.1。令π為一個(gè)定義在GLm(AQ)上的不可約尖形酉表示，m≥2。那么，對(duì)于x≥2以及T≥2，我們有這里θ如(A8)中所定義。定理3.1的特點(diǎn)在于它是無(wú)條件的。不同形式的顯式出現(xiàn)在Moreno的文章中[30][31]；在廣義Rmanujan猜想假設(shè)下，一般的L-函數(shù)的