具有最小曲率變化率的幾何Hermite曲線的研究.pdf

1、構(gòu)造一條滿足給定端點(diǎn)條件的光順曲線是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中的一個(gè)基本問題。在構(gòu)造這樣一條曲線時(shí)經(jīng)常會(huì)用到Hermite插值，構(gòu)造出的三次多項(xiàng)式曲線就稱為Hermite曲線。這種曲線可廣泛地應(yīng)用到幾何造型中的形狀設(shè)計(jì)和曲線/曲面光順上，如在光順NURBS曲面的不規(guī)則區(qū)域時(shí)，常用這種傳統(tǒng)的Hermite曲線來代替這些區(qū)域上高光線的不規(guī)則部分并相應(yīng)的調(diào)整曲面，使新曲面以修改后的高光線作為它的新的高光線，從而達(dá)到曲面光順的目的。

2、 Hermite曲線在所有滿足同樣端點(diǎn)條件的C<'1>連續(xù)的三次多項(xiàng)式樣條曲線中具有最小的應(yīng)變能。因此，光順一條具有端點(diǎn)(位置和切矢)約束的C<'1>連續(xù)的三次樣條曲線時(shí)，最終會(huì)得到一條三次Hermite曲線。然而，此時(shí)的Hermite曲線的形狀并不一定理想，可能存在著二重點(diǎn)、尖點(diǎn)或者折點(diǎn)，即不是幾何光順的。這就需要提供額外的自由度來滿足幾何光順的要求。顯然，調(diào)整給定切矢的模長可以做到這一點(diǎn)，這類曲線就是幾何Hermite曲線。本文

3、就是來討論如何構(gòu)造一條G<'1>連續(xù)的具有理想形狀的幾何。Hermite曲線。一條具有理想形狀的曲線顯然不能包含二重點(diǎn)、尖點(diǎn)或者折點(diǎn)等這些不期望出現(xiàn)的特征點(diǎn)。 本文以曲率變化率最小作為光順標(biāo)準(zhǔn)，采用曲線的三階導(dǎo)平方的積分作為曲率變化率的近似表達(dá)式，即目標(biāo)函數(shù)。給出了在該光順標(biāo)準(zhǔn)下最優(yōu)幾何Hermite(OGH)曲線的擴(kuò)展定義，這類曲線通過在Hermite插值過程中最優(yōu)化端點(diǎn)的切矢模長來使曲線的曲率變化率最小，并提出了得到這樣一條

4、曲線的具體公式。本文討論了使OGH曲線達(dá)到幾何光順的切矢角約束條件(關(guān)于給定切矢角的切矢方向保持條件和幾何光順條件)。如果給定的切矢不滿足切矢角約束條件，可以用2一分段或3一分段的組合最優(yōu)幾何Hermite(COH)曲線來滿足光順要求，并提出了構(gòu)造2一分段COH曲線的兩種方法和構(gòu)造3一分段COH曲線的四種方法。這些方法能夠保證每一段OGH曲線段對(duì)切矢角約束條件的自動(dòng)滿足，從而使得每一段曲線段都能具有最小的曲率變化率且沒有二重點(diǎn)、尖點(diǎn)和折

5、點(diǎn)，繼而滿足整條COH曲線的光順性要求。這些OGH曲線和COH曲線，加上基于對(duì)稱的擴(kuò)展模式，可覆蓋切矢角的所有可能情況。此外，將這些方法構(gòu)造的COH曲線與 Yong和Cheng的基于應(yīng)變能最小(采用曲線的二階導(dǎo)平方的積分作為應(yīng)變能的近似表達(dá)式，即目標(biāo)函數(shù))的COH曲線進(jìn)行了比較，并給出了當(dāng)切矢角在不同的應(yīng)用域時(shí)，何種目標(biāo)函數(shù)下構(gòu)造的COH曲線的形狀比較理想的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)表明，將兩種目標(biāo)函數(shù)下的方法相結(jié)合，可以達(dá)到很好的效果。 上

6、述基于兩種不同目標(biāo)函數(shù)的COH曲線的比較中，存在著一個(gè)切矢角區(qū)域，在這個(gè)區(qū)域中，無論用哪種目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造的COH曲線形狀都不太理想。因此，又在原有方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的構(gòu)造COH曲線的方法。該方法將給定的切矢角錯(cuò)切變換到已有的構(gòu)造方法所對(duì)應(yīng)的切矢角區(qū)域上，即統(tǒng)一到可以構(gòu)造出理想形狀的情況中，在該區(qū)域上利用上述已有的方法構(gòu)造出相應(yīng)的COH曲線，再將該曲線作逆向變換得到所要求的滿足給定端點(diǎn)條件的曲線。實(shí)驗(yàn)證明，這種方法與原有的基于兩種不