數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用

1、<p><b>　　渤海大學(xué)</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))</b></p><p>　　題目（中文）： 數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用 </p><p>　　（英文）：Mathematics of Return Method and its Applica

2、tion</p><p>　　姓 名： </p><p>　　專(zhuān) 業(yè)： </p><p>　　班 級(jí)： </p><p>　　院 系：

3、 </p><p>　　入學(xué)年度： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　日 期： </p><p><b>　　目錄</b></p>

4、<p><b>　　摘要2</b></p><p><b>　　引言3</b></p><p>　　一、對(duì)化歸思想的理解3</p><p>　?。ㄒ唬┗瘹w的定義3</p><p>　?。ǘ┗瘹w的實(shí)質(zhì)3</p><p>　?。ㄈ┗瘹w的原則4</

5、p><p>　?。ㄋ模┗瘹w的步驟4</p><p><b>　　（五）化歸圖釋4</b></p><p>　?。┗瘹w的分類(lèi)4</p><p>　　二、常用化歸方法及其應(yīng)用5</p><p><b>　?。ㄒ唬┟}化歸5</b></p><p>

6、;　?。ǘ┯成浠瘹w11</p><p>　?。ㄈ┳兞刻鎿Q18</p><p>　　三、化歸方法的實(shí)際應(yīng)用22</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)25</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p><p>　　數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用</p&

7、gt;<p>　?。ú澈４髮W(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 中國(guó)）</p><p>　　摘要：數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)活的靈魂，化歸思想是其中重要的一種。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們往往把待解決的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題等等。這種數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的相互轉(zhuǎn)化就稱(chēng)為數(shù)學(xué)化歸。數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中都占有重要的地位，是

8、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的武器。本文將介紹化歸的定義、原理、主要方法及其實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)具體的例子和實(shí)例，使讀者了解并逐步掌握化歸的方法和技巧，使其應(yīng)用于日常的學(xué)習(xí)和生活。</p><p>　　關(guān)鍵詞：化歸 典型化 特殊化 輔助命題 映射 變量替換</p><p>　　Mathematics of Return Method and its Application </p&g

9、t;<p>　　Abstract:Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of conversion

10、of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of retur

11、n method. Mathematics of return method plays an important role in the theor</p><p>　　Key words:return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution</p&g

12、t;<p><b>　　引 言</b></p><p>　　辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化著。因此，作為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，正是這種可變的性質(zhì)，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)化歸。</p><p>　　數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中都占有重要的地位。例如，兩個(gè)數(shù)

13、學(xué)系統(tǒng)之間的同構(gòu)關(guān)系（視為一種化歸），使得不同的數(shù)學(xué)對(duì)象化歸在同一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行研究，從而導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生，因此推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。另一方面，化歸又為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè)有力的武器。</p><p>　　“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，而幾乎所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)化歸，只是所體現(xiàn)的化歸形式不同而已。計(jì)算題是利用規(guī)定的法則進(jìn)行化歸；證明題是利用定理、公理或已解決了的命題進(jìn)行化歸；應(yīng)用題是利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化歸?？?/p>

14、以說(shuō)，離開(kāi)化歸，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決將寸步難行。</p><p>　　因此，我們必須了解并掌握數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧，使其熟練地應(yīng)用于學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中。</p><p><b>　　對(duì)化歸思想的理解</b></p><p><b>　?。ㄒ唬┗瘹w的定義</b></p><p>　　化歸指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)

15、學(xué)中待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類(lèi)比的思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題。</p><p><b>　?。ǘ┗瘹w的實(shí)質(zhì)</b></p><p>　　在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，往往把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題等等。<

16、/p><p><b>　?。ㄈ┗瘹w的原則</b></p><p>　　將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的或已解決的問(wèn)題；將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題；將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；將實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，使問(wèn)題便于求解。</p><p><b>　?。ㄋ模┗瘹w的步驟</b></p><p>　　其一

17、，化歸對(duì)象，即對(duì)什么進(jìn)行化歸；</p><p>　　其二，化歸目標(biāo)，即化成什么；</p><p>　　其三，化歸手段方法，即如何化歸。</p><p><b>　?。ㄎ澹┗瘹w圖釋</b></p><p>　　欲討論問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為討論問(wèn)題，然后利用問(wèn)題的解答去完成問(wèn)題的解答?；瘹w的一般模式為：</p><

18、;p>　　問(wèn)題 問(wèn)題</p><p>　　的解答 的解答</p><p><b>　　（六）化歸的分類(lèi)</b></p><p>　　化歸可分為等價(jià)化歸和半等價(jià)化歸，其中半等價(jià)化歸可分為強(qiáng)等價(jià)化歸和弱等價(jià)化歸。</p><p>　　等價(jià)化歸就是指同一等價(jià)類(lèi)中的元素

19、相互轉(zhuǎn)化，化歸前后的問(wèn)題在所定義的等價(jià)關(guān)系下保持某一方面的“同質(zhì)”，這種同質(zhì)就使化歸后問(wèn)題的解答保證了化歸前問(wèn)題的解答。在同一等價(jià)類(lèi)中的元素可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題保持在等價(jià)關(guān)系下的同質(zhì)，轉(zhuǎn)化后命題屬于該等價(jià)類(lèi)。</p><p>　　在同一類(lèi)等價(jià)集中的問(wèn)題也可以相互轉(zhuǎn)化，但其轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題不保持在半等價(jià)關(guān)系中的同質(zhì)，近似的轉(zhuǎn)化命題屬于化歸后問(wèn)題所在的半等價(jià)集。盡管半等價(jià)化歸不一定能徹底解決原問(wèn)題，但由于它的

20、條件弱于等價(jià)化歸，因此應(yīng)用范圍寬于等價(jià)化歸。</p><p>　　常用化歸方法及其應(yīng)用</p><p><b>　?。ㄒ唬┟}化歸</b></p><p>　　1.命題的典型化化歸</p><p>　　就是指把所解命題化歸為個(gè)別典型命題。</p><p>　　設(shè)所給命題為，的典型命題是指：可推導(dǎo)出

21、并且也可推導(dǎo)出，且利用能容易處理。</p><p>　　命題的典型化化歸在數(shù)學(xué)解題中隨處可見(jiàn)。我們常常在解題時(shí)用“不妨設(shè)……”，“不失一般性”，“任取一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)的圖形……”等等語(yǔ)言，其實(shí)質(zhì)就是將命題作典型化化歸。因?yàn)槊}的典型化化歸是等價(jià)化歸，所以典型命題解決后，原命題也已解決。 </p><p>　　例1．三次方程的求根問(wèn)題，可等價(jià)化歸為討論方程。令（此代換為等價(jià)變換），代入,化簡(jiǎn)后

22、便是,其中, ,此方程于原方程等價(jià)，因此即為原方程的典型命題。一旦后者解決了，原方程的解也就求得了。而的求根是容易的。</p><p>　　例2．在三角形中，,為中線(xiàn)， </p><p>　　為高。求證： 。 </p><p>　　證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的</p><p><b>　　坐

23、標(biāo)分別為</b></p><p>　　則的坐標(biāo)為。 </p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴ 而</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p&

24、gt;　　分析：本題如果以所在的直線(xiàn)分別為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，那么，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)就比較麻煩。之所以要選取一種典型情況建立坐標(biāo)系，是因?yàn)橥粋€(gè)圖形在不同坐標(biāo)系李實(shí)質(zhì)是在一個(gè)坐標(biāo)系中該圖的位置不同，經(jīng)過(guò)合同變換（合同變換時(shí)等價(jià)變換）后，可化歸為解該題所建立的坐標(biāo)系中的圖形所在位置。這種特殊位置即為典型化，從而使原問(wèn)題得以解決。</p><p>　　2.命題的特殊化化歸</p><p>　　命題

25、的典型化化歸與特殊化化歸的區(qū)別在于：典型化化歸中，化歸前后的命題屬于同一等價(jià)類(lèi)，而特殊化化歸中的化歸前后命題屬于同一個(gè)半等價(jià)集。 </p><p>　　例3．從圓的直徑的一端引兩弦 </p><p>　　過(guò)點(diǎn)引該圓的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于</p><p>　　點(diǎn)．求證： </p><p&g

26、t;　　證明1：如圖（右），連結(jié)， </p><p>　　是⊙O的切線(xiàn)，∴，∴，</p><p>　　∴四點(diǎn)共圓，∴。 </p><p>　　證明2：如圖（右），連結(jié)。</p><p>　　是⊙O的直徑，∴, </p><p>　　切⊙O于

27、，∴ , </p><p>　　∴斜邊上的高是, </p><p><b>　　∴， 同理，∴，</b></p><p><b>　　∴四點(diǎn)共圓，∴。</b></p><p>　　分析：證明1是錯(cuò)誤

28、的。因?yàn)橛深}設(shè)可位于的同側(cè)或異側(cè)，證明1考慮的是異側(cè)情況，而證明過(guò)程不完全適用于位于同側(cè)的情形，因此所證明的命題不是原命題的等價(jià)命題。證明2是正確的。因?yàn)樵谧C明的全過(guò)程中，其理由完全適合上圖的兩種情形，所以所證得命題與原命題等價(jià)。</p><p>　　例4．如果是小于的正數(shù)，而是這些數(shù)的某一種排列。那么，所有的數(shù)不可能都大于。</p><p>　　分析：取的情況，此時(shí)必有?！?。當(dāng)時(shí)可排序使

29、，∴不可能有兩個(gè)因子都大于。</p><p>　　對(duì)一般的，將作調(diào)整，可使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　∴不可能個(gè)因子都大于。</p><p>　　3.構(gòu)造輔助命題化歸</p><p>　　在很多情形中，往往需要構(gòu)造一下輔助命題去幫助解決原命題，下面是一些構(gòu)造輔助命

30、題的常用方法。</p><p>　　（1）構(gòu)造等價(jià)輔助命題</p><p>　　例5．已知>。求證：>。</p><p>　　證明：構(gòu)造函數(shù)。則>與原不等式等價(jià)。</p><p><b>　　當(dāng)>時(shí)，>。</b></p><p>　　所以在內(nèi)是增函數(shù)，得>。&l

31、t;/p><p>　　而，所以>。故原不等式成立。</p><p>　?。?）構(gòu)造一般化輔助命題</p><p>　　例6．試證：能被整除。</p><p><b>　　證明：構(gòu)造函數(shù)。</b></p><p>　　∵，∴為奇函數(shù)。而只含的偶次項(xiàng)，</p><p><

32、;b>　　必為整數(shù)。</b></p><p><b>　　故命題成立。</b></p><p><b>　?。?）構(gòu)造輔助方程</b></p><p>　　例7．已知。求證：三數(shù)等比數(shù)列。</p><p>　　證明：構(gòu)造方程。………</p><p>　　因其

33、系數(shù)和，故有根。</p><p>　　又由已知條件，知兩根相等，</p><p><b>　　∴,即，∴.</b></p><p><b>　　∴成等比數(shù)列。</b></p><p><b>　　（4）構(gòu)造輔助數(shù)列</b></p><p>　　例8．求和

34、 Sn= 。</p><p><b>　　解：設(shè)。</b></p><p><b>　　構(gòu)造輔助數(shù)列，</b></p><p><b>　　則.</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p><b>

35、;　　兩邊求和 ，</b></p><p><b>　　即，</b></p><p><b>　　故。</b></p><p><b>　　而，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p><

36、b>　　(5)構(gòu)造行列式</b></p><p>　　例9．已知不全為零，且</p><p><b>　　。求證：。</b></p><p><b>　　證明：要證，</b></p><p><b>　　只需證</b></p><p>

37、　　只需證 有非零解。</p><p>　　由已知條件，知上面齊次線(xiàn)性方程組有非零解。</p><p><b>　　故命題得證。</b></p><p>　　規(guī)律：具有形式的多項(xiàng)式可表示成一個(gè)行列式：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用這個(gè)代

38、換，可以解決一些多項(xiàng)式問(wèn)題，比如多項(xiàng)式的因式分解解方程等等。</p><p>　　定理：方程的所有解都是方程的解。</p><p>　　由定理可知的化歸是半等價(jià)化歸，</p><p>　　行列式方程的根必須代人原方程驗(yàn)根。</p><p>　?。?）微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造</p><p>　　在應(yīng)用中值定理證

39、題時(shí)，有時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)。</p><p>　　在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理時(shí)，分別利用了一下兩個(gè)輔助函數(shù)：</p><p><b>　　………①</b></p><p><b>　　………②</b></p><p>　　然后利用羅爾定理去證明。</p>

40、<p>　　由于微分和積分是互逆的運(yùn)算，因此可以從兩個(gè)中值定理的結(jié)論入手，通過(guò)積分去尋找輔助函數(shù)。事實(shí)上，由拉格朗日中值定理的結(jié)論：,,</p><p><b>　　兩邊取不定積分,</b></p><p><b>　　得.</b></p><p><b>　　將換成，得，</b><

41、/p><p>　　兩邊作差就是證明拉格朗日中值定理所需的輔助函數(shù)①。</p><p>　　同樣，對(duì)柯西中值定理兩邊積分，得</p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　　，從而得②。</b></p><p>　　這樣，就得到了解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的一

42、般方法，即從待證明的問(wèn)題結(jié)論出發(fā)，通過(guò)積分區(qū)尋求輔助函數(shù)。</p><p>　　例10．設(shè)在上可導(dǎo)，且，。</p><p><b>　　試證：必存在，使。</b></p><p>　　分析：由，將換為后取不定積分，得</p><p><b>　　，解得+c。</b></p><p

43、><b>　　所以得輔助函數(shù)。</b></p><p>　　證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，</p><p>　　易驗(yàn)證滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，</p><p><b>　　因此存在，使，</b></p><p><b>　　即得。</b></p><p><

44、b>　?。ǘ┯成浠瘹w</b></p><p><b>　　1.恒等變換</b></p><p>　　在集合中定義一個(gè)變換 ,即把每個(gè)中的元素與自身對(duì)應(yīng)起來(lái)，稱(chēng)為集合上的恒等變換。因此，集合中的恒等變換，是到的等價(jià)化歸。下面是常用的恒等變換方法。</p><p><b>　?。?）配方法</b></

45、p><p>　　配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形方法，在因式分解、根式化簡(jiǎn)、解方程、證明等式及不等式、求函數(shù)的極值、化簡(jiǎn)二元二次方程等方面都有廣泛的應(yīng)用。由于配方是在定義域不變的情況下進(jìn)行的，因此是等價(jià)化歸。</p><p>　　例11．已知。求的最小值。</p><p><b>　　解：由，得。</b></p><p>&

46、lt;b>　　∴。</b></p><p>　　∴當(dāng)時(shí)，，取得最小值。</p><p><b>　?。?）“1”的巧用</b></p><p>　　“1”在數(shù)系中占有重要地位，作為數(shù)域里面的元素，它是單位元。因此產(chǎn)生了許多關(guān)于“1”的恒等式，如：，</p><p>　　，等等。因此在解題時(shí)，有時(shí)利用這些

47、恒等式，往往事半功倍。</p><p><b>　　例12．解。</b></p><p><b>　　解：∵，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　例13．如圖，已知的邊，且 </p><p><b>

48、;　　的平分線(xiàn)交于,</b></p><p><b>　　求證：<。</b></p><p>　　證明：設(shè)。 </p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　又∵<，∴<<。<

49、/b></p><p><b>　　∴<。 故<。</b></p><p><b>　?。?）公式巧用</b></p><p>　　公式的逆用、變形時(shí)恒等變換的一個(gè)重要技巧。</p><p>　　例如：等比數(shù)列的求和公式，逆用便成了因式分解公式；二項(xiàng)式定理逆用便是一類(lèi)特殊數(shù)列的

50、求和公式；</p><p><b>　　隸莫佛公式</b></p><p><b>　　經(jīng)變形</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　，<

51、;/b></p><p>　　從而使復(fù)數(shù)運(yùn)算成為解決三角式化簡(jiǎn)、求值的有力工具。</p><p><b>　　例14．因式分解。</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　總結(jié)：本

52、題的解答，巧用了等比數(shù)列的求和公式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　?。?）恒等分割</b></p><p><b>　　=型，其框圖為：</b></p><p><b>　　例15．求。</b></p>

53、<p><b>　　解：</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　2. 點(diǎn)數(shù)映射化歸</b></p><p>　　我們把平面上的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的化歸，稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)映射化。歸。因此，可以建立平面上的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)偶集的映射。實(shí)數(shù)偶集到平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集的化歸是等價(jià)

54、化歸；平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)偶集的化歸也是等價(jià)化歸。因此，我們可以使幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題互相化歸。這種化歸，往往可以使欲解決的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。</p><p>　?。?）幾何問(wèn)題代數(shù)化</p><p>　　例16．已知分別是正方形的鄰邊和的中點(diǎn)，連結(jié)相交于點(diǎn)。求證：。 </p><p>　　證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

55、,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。 </p><p>　　所以，直線(xiàn)的方程為， </p><p>　　直線(xiàn)BN的方程為, </p><p>　　將兩方程聯(lián)立求得. </p><p&g

56、t;　　∴。 ∴。 </p><p>　　由此，可歸納出幾何問(wèn)題代數(shù)化的圖釋?zhuān)?lt;/p><p><b>　　映射</b></p><p>　　課題目的 代數(shù)計(jì)算</p><p><b>　　反演<

57、;/b></p><p>　　（2）代數(shù)問(wèn)題幾何化 </p><p>　　例17(1986年高考理科試題).在平面 </p><p>　　直角坐標(biāo)系中，軸的正半軸（坐標(biāo) </p><p>　　原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)，試在 </p><p>

58、　　軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求 ＇ </p><p>　　點(diǎn)，使取得最大值，并求出該最大值。</p><p>　　解：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作直線(xiàn)∥軸，以為圓心，</p><p>　　為半徑作弧交直線(xiàn)于，再以為圓心，為半徑作圓。</p><p>　　∵∥軸， ∴到軸的距離為。</p><p>

59、;　　∴圓過(guò)點(diǎn)且與軸相切。</p><p>　　設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)即為所求。</p><p>　　因?yàn)槿粼O(shè)點(diǎn)＇為軸正半軸上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，則＇必在圓 外，由平面幾何知識(shí)易知，。</p><p>　　現(xiàn)設(shè)，則由上述作法可知：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　

60、∴。</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　這種方法的模式為： 幾何表示</p><p>　　課題目的 幾何推理</p><p><b>　　反演</b></p>

61、<p><b>　　3.實(shí)復(fù)數(shù)映射化歸</b></p><p><b>　　關(guān)系圖：</b></p><p>　　實(shí)際上，三者可以相互化歸。</p><p>　　例18．求的最小值。</p><p><b>　　解：設(shè)。</b></p><p&g

62、t;<b>　　∴。</b></p><p>　　而在中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，</p><p><b>　　即 。</b></p><p><b>　　解得：。</b></p><p>　　∴當(dāng)時(shí)，的最小值為。</p><p><b>　　4.向

63、量化歸</b></p><p>　　復(fù)數(shù)集到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集的化歸是等價(jià)化歸，反之亦然。復(fù)數(shù)集到向量集的化歸是等價(jià)化歸，反之亦然。因此，平面點(diǎn)集、實(shí)數(shù)偶集、復(fù)數(shù)集、向量集之間可以互作等價(jià)化歸。</p><p>　　例19．如圖，設(shè)是平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)，于，于。求證：。</p><p>　　證明：取為基本向量， </p><

64、;p><b>　　則。</b></p><p>　　∵， </p><p><b>　　∴，</b></p><p>　　即。 </p><p><b&

65、gt;　　∴。</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　即。</b></p><p><b>　　由此得：。</b></p><p><b>　　5.反函數(shù)化歸</b></p><p&g

66、t;　　設(shè)函數(shù)是雙射，若的逆映射存在，則也是雙射，則稱(chēng)為的反函數(shù)。所以，函數(shù)的反函數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)是雙射。若函數(shù)存在反函數(shù)，則從的定義域到值域的化歸是等價(jià)化歸，從值域到定義域的化歸也是等價(jià)化歸。</p><p>　　例20．設(shè)是不等于的正數(shù)。證明：。</p><p>　　分析：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，而一個(gè)函數(shù)如果存在反函數(shù)，則是唯一的，即是惟一的，即函數(shù)與其反函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，因

67、此可以在兩者之間互相化歸，且這種化歸是等價(jià)化歸。</p><p><b>　　令則，</b></p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　三式相加，得， 即，∴，</p><p><b>　　即。</b></p><p>　　此外，在

68、處理反三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往采用反函數(shù)化歸，化問(wèn)題為三角函數(shù)討論。但解反三角函數(shù)問(wèn)題必須注意反函數(shù)的主值區(qū)間，否則函數(shù)不可逆，此時(shí)的化歸是半等價(jià)而不是等價(jià)的。</p><p><b>　?。ㄈ┳兞刻鎿Q</b></p><p>　　所謂變量替換，是指把一個(gè)數(shù)學(xué)式子中的某一些量以另一些與此相關(guān)的量去替代，從而使該數(shù)學(xué)式子變得較為簡(jiǎn)單或易于解決的化歸過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是數(shù)集到數(shù)集

69、的映射化歸。</p><p>　　變量替換是數(shù)學(xué)解題的一種重要化歸方法。在討論幾種常用的變量替換之前，首先了解一下變量替換的分類(lèi)。</p><p>　　一種分類(lèi)，根據(jù)替換的變?cè)膫€(gè)數(shù)，變量替換可分為一元和多元變量替換。 另一種，若是“以元代式”的替換則叫做第一類(lèi)變量替換，若是“以式代元”的替換則叫做第二類(lèi)變量替換。</p><p>　　由此，可以得出變量替換的化歸原

70、理：</p><p>　　這是一個(gè)互逆化歸過(guò)程。通過(guò)變換，可以把化歸為，這是第一類(lèi)變量替換；反之，通過(guò)，把化為，這是第二類(lèi)變量替換。</p><p>　　下面討論幾種常用的變量替換。</p><p><b>　　整式變換</b></p><p>　　在 中，若為整式，則稱(chēng)該

71、變換為整式變換。</p><p>　　例：在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解。</p><p><b>　　設(shè)，則原式=</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由上題可以看出，變量替換關(guān)鍵在于通過(guò)觀察式子的規(guī)律設(shè)出，使計(jì)算和證明過(guò)程加以簡(jiǎn)化。</p><p>

72、;<b>　　分式變換</b></p><p>　　在解方程、證明不等式、求函數(shù)值域、解不等式、證明恒等式等化歸中往往采用分式作變換替換，這種分式的變量替換包括第一類(lèi)變量替換和第二類(lèi)變量替換。以解方程為例，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程的解。采用倒數(shù)方法，方程兩邊同除以，得。令，得。當(dāng)，與原方程同解，解得，（舍去）。所以，即。故原方程的根為。</p><p><b>　

73、　無(wú)理變換</b></p><p>　　無(wú)理變換在解無(wú)理方程時(shí)經(jīng)常使用。下面是適用于無(wú)理變換的無(wú)理方程的形式及變換方法。</p><p><b>　?。?），設(shè)。</b></p><p><b>　?。?），設(shè)。</b></p><p><b>　?。?），設(shè)。</b&g

74、t;</p><p><b>　　例21．解方程。</b></p><p>　　解：根據(jù)分式變換，方程兩邊同除以，得。設(shè)，得。</p><p><b>　　解得，即。</b></p><p>　　經(jīng)驗(yàn)根，均為原方程的根。</p><p>　　形如，通常作代換（不同時(shí)為0）&l

75、t;/p><p><b>　　三角變換</b></p><p>　　下列形式，通常采用三角變換求解。</p><p>　?。?），其中是和的代數(shù)函數(shù)。</p><p><b>　　令或令。</b></p><p><b>　?。?），令或。</b></

76、p><p><b>　?。?），令</b></p><p><b>　　或令 。</b></p><p>　　以上變換均為第二類(lèi)變量替換，因此必須注意變換函數(shù)必須有反函數(shù)，否則，化歸不是等價(jià)化歸。</p><p><b>　　例22．求定積分。</b></p><

77、;p><b>　　解：設(shè)，則</b></p><p><b>　　原式=。</b></p><p><b>　　參數(shù)變換</b></p><p>　　下面是兩種主要的參數(shù)變換方法。</p><p>　　參數(shù)方程與普通方程的互化</p><p>　　

78、若曲線(xiàn)的參數(shù)方程為t為參數(shù)，其中</p><p>　　，則可化歸為。這就使曲線(xiàn)的參數(shù)方程變成了普通方程。</p><p>　　在中，令，則，也就是將普通方程化為了參數(shù)方程。若普通方程不是顯函數(shù)式給出，而是隱函數(shù)，則可令，或。于是，或，由此解出或，就得曲線(xiàn)的參數(shù)方程。</p><p><b>　　恒等參數(shù)變換</b></p><

79、;p>　　一般地，一個(gè)方程如果與某一個(gè)三角恒等式同型，那么選角為參數(shù)作變換，可將變?yōu)樵撊呛愕仁?。因?yàn)檫@個(gè)變換時(shí)恒等變換，因此我們稱(chēng)這個(gè)變換為恒等參數(shù)變換。例如，方程，其恒等變形后得與三角恒等式同型，因此可令。恒等參數(shù)變換的好處在于：可以降維，而且變換后的方程比變換前的方程少了一個(gè)元，這樣就可能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，減少計(jì)算步驟和計(jì)算量；變換后成了三角式，而三角函數(shù)的公式多，這就為解題提供了多種渠道。</p><p&g

80、t;　　另外，還有一種較為常用的化歸方法——待定系數(shù)法。如果兩個(gè)一元多項(xiàng)式恒等，即</p><p>　　，那么，由這個(gè)方程組成的方程組，可以確定待定的系數(shù)。待定系數(shù)法在因式分解、求函數(shù)解析式、分式化為部分分式、解方程等化歸中都有著重要應(yīng)用，其方法就是依據(jù)題意列出一般表達(dá)式，歸納整理之后比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，組成方程組并求解。</p><p>　　三、化歸方法的實(shí)際應(yīng)用</p>&l

81、t;p>　　上面介紹了許多常用的數(shù)學(xué)化歸方法及其具體在數(shù)學(xué)解體中的應(yīng)用?；瘹w不僅存在于幾乎所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之中，在我們的實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，僅以下例——數(shù)學(xué)化歸在家電設(shè)計(jì)中的應(yīng)用加以說(shuō)明。</p><p>　　例23．設(shè)衣服洗滌充分?jǐn)Q干后殘存水量為千克，其中含污物千克，漂洗用的清水千克，我么把千克水分成次使用，每次用量依次是千克。經(jīng)過(guò)次漂洗后，衣服上還有多少污物呢？怎樣合理使用這千克水，才能把衣服

82、洗得最干凈（殘留污物量最少）？</p><p>　　分析：第一次，把帶有千克污物的千克水的衣服放到千克水中，充分搓洗，使千克污物溶解或均勻懸浮于千克水中，把污水倒掉，衣服擰“干”后，由于千克污物均勻分布于千克水中，所以衣服上的殘留污物量與殘留的水量成正比。</p><p>　?。ㄒ路系臍埩粑畚锪浚?（原來(lái)殘留污物量） =（擰“干”后殘存水量）/（）<

83、/p><p><b>　　即：。</b></p><p>　　完全類(lèi)似的分析可知，漂洗兩次之后衣服上的殘余污物量為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　依次繼續(xù)漂洗，當(dāng)?shù)趎次漂洗完后，設(shè)衣服上殘余的污物量為</p><p><b>　　則有：…

84、……①</b></p><p><b>　　公式①表明：</b></p><p>　?。?）原來(lái)衣服上殘存污物越多，最后殘存污物也會(huì)越多， 衣服就越難洗凈！</p><p>　?。?）越小, 就越小，即每次擰得越“干”，最后殘余物會(huì)越少。</p><p>　　公式①是“理想情況下的洗衣效果”公式。

85、因?yàn)槲覀兗俣嗣看蜗礈熘?，污物都能充分均勻的溶于水中，?shí)際上這是不容易做到的。公式①就是洗滌衣服的“數(shù)學(xué)模型”，我們只要對(duì)公式①進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析處理，就會(huì)得出有關(guān)的結(jié)論。比如可以回答下面的問(wèn)題：</p><p>　　是不是把水分得越勻，洗得越干凈？</p><p>　　（2）是不是洗得次數(shù)越多越干凈？</p><p>　　先看（1），其數(shù)學(xué)描述是，對(duì)于固定的，如何

86、選取，才能使為最??？這里的條件是。</p><p>　　由公式①可知，要最小，則須乘積最大，注意。</p><p>　　當(dāng)固定時(shí)，為定值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)個(gè)正數(shù)</p><p>　　之和為定值時(shí)，問(wèn)這個(gè)數(shù)的乘積何時(shí)最大？</p><p>　　根據(jù)算術(shù)——幾何平均不等式，可知</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，&l

87、t;/b></p><p>　　這表明：每次用水量相等時(shí)，可使乘積取最大值，從而根據(jù)①，殘余污物取最小值。</p><p>　?。?）的數(shù)學(xué)描述是，當(dāng)增大時(shí)，的最小值增大還是減小，或是按什么規(guī)律變化？</p><p>　　若把洗n次后殘余最少的污物量記為，則：</p><p><b>　　，同理。</b></

88、p><p>　　根據(jù)算術(shù)——幾何平均不等式，可知：</p><p>　　，所以這說(shuō)明：把水分成次用要比分成次洗會(huì)更好。</p><p>　　那么，當(dāng)水量一定時(shí)，是不是只要洗的次數(shù)足夠多，就可以使 任意小呢？用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：為定值，當(dāng)時(shí),嗎？</p><p>　　由于時(shí)，，只要令,則。</p><p><b>　　

89、當(dāng)時(shí),有，則</b></p><p><b>　　……②</b></p><p>　　這說(shuō)明：不是無(wú)窮小量，即當(dāng)總水量一定時(shí)，無(wú)論分多少次漂洗都做不到一點(diǎn)污物都不殘留，但從②可以看到：若總水量充分大，而且洗衣服的次數(shù)充分多，可以使任意小，但是這與節(jié)約用水相矛盾，實(shí)際上也不必要。事實(shí)上，總水量與殘余水量的比設(shè)為：，即時(shí)殘余物的最小值</p>&

90、lt;p><b>　　一般的也就夠用了。</b></p><p>　　很顯然，在解決這道“洗衣服的數(shù)學(xué)”問(wèn)題時(shí)，我們是將</p><p>　　洗衣問(wèn)題A 數(shù)學(xué)問(wèn)題B</p><p>　　解答A 解答B(yǎng)</p><p>　　這是對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的充分利用，在知曉怎樣將

91、衣物洗得干凈又不違背節(jié)約的情形下我們就能夠更好的生活。而且對(duì)于家電設(shè)計(jì)部門(mén)來(lái)說(shuō)，在設(shè)計(jì)洗衣機(jī)時(shí)，便有規(guī)可依，有矩可尋，能將洗衣機(jī)設(shè)計(jì)得更加合理實(shí)用。</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　在當(dāng)代社會(huì)，化歸思想不僅存在于幾乎所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之中，而且廣泛地應(yīng)用于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，人口增長(zhǎng)模型、新產(chǎn)品銷(xiāo)售模型、選票模型等等數(shù)學(xué)化歸模型都為我們

92、研究人類(lèi)的生活提供了途徑。掌握數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧不僅有利于數(shù)學(xué)學(xué)科的研究和學(xué)習(xí)，而且對(duì)于我們的日常生產(chǎn)和生活以及思考問(wèn)題的方式方法都大有益處，它可以化繁為簡(jiǎn)，以簡(jiǎn)馭繁，化未知為已知，以已知的知識(shí)為基礎(chǔ)，探索解決未知的領(lǐng)域，可見(jiàn)數(shù)學(xué)化歸思想的重要性。如果我們恰如其分的應(yīng)用了它，我們的生活就會(huì)更加美好。因此我們要注重積累學(xué)習(xí)和生活中的素材，從中提煉數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧，并不斷地在實(shí)踐中加以應(yīng)用，使數(shù)學(xué)化歸真正成為我們解決問(wèn)題的強(qiáng)有力的武器

93、！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]喻平：《數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸理論與方法》，廣西師范大學(xué)出版社，1998。</p><p>　　[2]張順燕：《數(shù)學(xué)的思想方法和應(yīng)用》，北京大學(xué)出版社，2003。</p><p>　　[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，2001。&