剛體力學(xué)

1、第二章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),§1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一.剛體 ： 無(wú)形變。 物體內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)距離保持不變。 二.平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)1.平動(dòng)： 剛體內(nèi)任一給定直線在運(yùn)動(dòng)中其方位始終保持不變。 活塞、升降機(jī)等。特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全一樣。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定義： 剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，此直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸固定稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,三.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),特點(diǎn)：,各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度、角加速度都相同。,可用角

2、量進(jìn)行描述。,剛體的運(yùn)動(dòng)均可視為平動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。,四.角速度矢量：,定義：,轉(zhuǎn)軸上的有向線段。,,r,,,ω,,θ,,大小——線段長(zhǎng)短,方向 : 右手螺旋判定,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：ω 的方向？,可用正負(fù)表示方向。,,,,速度,m,§2 剛體的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一. 角動(dòng)量,1. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,觀察地球繞日運(yùn)動(dòng)：,,O,,,θ,rmvsinθ = 恒量,,地球的角動(dòng)量,定義：,L = r×mv

3、,大小和方向？,2.剛體的角動(dòng)量,各質(zhì)量元角動(dòng)量之和。,,,轉(zhuǎn)軸,,,,,,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,L= Jω,二.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,組成剛體各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。,三. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.定義：,若為連續(xù)分布：,2.物理意義：,J → m , 轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。,單位：kg m2,質(zhì)點(diǎn)系：,動(dòng)量: mv,角動(dòng)量： Jω,例題 P106 例4,,,r,,dm,,,在圓盤上取一半徑為 r 的圓環(huán),,r,,dJ = r2 dm = r2σ2πr dr

4、 = 2πσr3 dr,= ½ mR2,幾種剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見表 4—1,J 與哪些因素有關(guān)？,決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量  J = ∑miri2 或 J=∫r2 dm 是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，它的大小由物體的質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置三個(gè)因素來(lái)決定。     請(qǐng)看下面的實(shí)例。,o,,結(jié)論：  

5、0; (1) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置三個(gè)因素決定的。    (2) 同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，凡是提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的才有意義。,一.力矩,1.定義：,,f,,r,,,d,M = f d = f r sinθ,,θ,θ,,,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩的方向可用正負(fù)號(hào)表示。,若力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則如何？,2.合力矩,—— 代數(shù)和。,作用：,§3 力矩

6、 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,3.內(nèi)力的力矩,,o,z,取任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分析力矩。,,,,r1,,r2,,F’12,,F’21,,,d,,,θ1,,,θ2,∵ r1 sinθ1 = r2 sinθ2 = d,∴ M = F’21 r2 sinθ2－ F’12r1 sinθ1,= 0,所有的內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，所以有：,例題：有一大型水壩高110米，長(zhǎng)1000米，水深100米，求水作用在大壩上的力；及這個(gè)力通過(guò)大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的軸的力矩。,思路：力與力

7、矩均是變量，要分部分求和。,,,,,dF,dA,,y,h,dF = ［( P0 + ρg ( h－y )］dA,L,力矩：,Q,,y,dM = y dF,,x,二.轉(zhuǎn)動(dòng)定律,導(dǎo)出思路：牛頓第二定律。,取質(zhì)點(diǎn)Δmi ，其將繞oz軸作圓周運(yùn)動(dòng)。分析受力：,,Δmi,,0,z,,ri,,F’i,,Fi,切向：,同乘以 ri,法向力矩為零，內(nèi)力矩為零。,三.平行軸定理,zc,c,,過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸,z’,d,,m,J = Jc + md2,例題.

8、 一質(zhì)量為m=2.0kg的物體A，用細(xì)繩跨過(guò)一滑輪B和一彈簧C相連接，如圖所示。已知彈簧的勁度系數(shù)k=20N/m，滑輪的半徑R=0.1m，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.03kg·m2，設(shè)繩與滑輪之間不打滑，A與斜面間及滑輪轉(zhuǎn)軸處摩擦不計(jì)，繩輕且不可伸長(zhǎng)，斜面傾角為37°，取重力加速度g=10m/s2，求： A下滑的加速度 A下滑的最大速率 3.A從靜止釋放（此時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)）沿斜面下滑的最大距離。,θ,,

9、m,R J,k,分析： 這是一個(gè)由質(zhì)點(diǎn)、剛體和彈簧組成的系統(tǒng)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)A由靜止釋放后，A沿斜面下滑，滑輪B同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，彈簧被拉長(zhǎng)。A開始做邊加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧被拉到某一長(zhǎng),度時(shí)，作用在A上的合外力為零，作用在B上的合外力矩亦同時(shí)為零，此時(shí)A的速度最大，B的角速度最大。若此時(shí)A所處的位置為O，則物體A以O(shè)為平衡位置在斜面上做諧振動(dòng)。,處理這類問(wèn)題常用的方法有兩種： 方法一：應(yīng)

10、用牛頓定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 方法二：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。,,,,分析滑塊受力：,選圓盤B為研究對(duì)象，受力如圖 a 就等于滑輪邊緣的切向加速度 .,,T2 = kx,由以上四式解得：,當(dāng) x = 0.6 m 時(shí)，a = 0 x 0 方向沿斜面向下 x > 0.6 m 時(shí)，a < 0 方向沿斜面向上,由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系知,積分,得,當(dāng) a = 0 時(shí)， x = 0.6 m &

11、#160;     v = vm= 1.2 m/s,§4. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理,一. 力矩的功,力的功： dW = F ds (直線運(yùn)動(dòng)),力矩的功： dW = M dθ (定軸轉(zhuǎn)動(dòng)),導(dǎo)出：考慮力做功，見圖,,Δm,,f,,r,,,θ,,,,dθ,,,α,dW = f cosαds = f cosαr dθ,= f r sinθdθ= M

12、dθ,— 外力矩的功。,二.動(dòng)能定理,質(zhì)點(diǎn)： W外 + W內(nèi) = Ek － Ek0,剛體：,導(dǎo)出：,W— 外力矩的功，僅在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)成立。,例題 如圖，求1.桿處在水平位置的角加速度；2.豎直位置的角速度，角加速度；3.豎直位置質(zhì)心與端點(diǎn)的加速度。,,,解1.,o,,p,2. 重力矩做功：,,,,θ,重力矩為 0, α= 0,3.,豎直位置，只有法向加速度：,§3 角動(dòng)量 定理 角動(dòng)量守恒定律

13、,一.角動(dòng)量定理 — 力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng),動(dòng)量定理：,角動(dòng)量定理：,導(dǎo)出：,,角動(dòng)量定理,沖量矩,二. 角動(dòng)量守恒定律,若,則：,即可得：,L、ω均為恒量。,L、ω乘積為恒量。,例 題 求人在盤上跑一周，人與盤相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。,解： 見圖,,ω’,,ω,角動(dòng)量守恒：,Jω－ J’ω’= 0,人對(duì)臺(tái)的角速度：,人跑一周所需的時(shí)間：,人對(duì)地的角度：,車對(duì)地的角度：,,1.強(qiáng)相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持為一個(gè)整體，盡管質(zhì)子間存

14、在很大的排斥作用。,2.電磁力：長(zhǎng)程力，它使原子核與電子能聚集在一起形成原子。,3.弱相互作用：短程力，能引起粒子間的某些過(guò)程，例如中子和原子的放射性衰變，以及其它粒子的衰變。,4.引力：長(zhǎng)程力，在宇宙的構(gòu)造和演化過(guò)程中起主要作用。,小常識(shí)：自然界中的四種基本相互作用,,宏觀物體之間所能觀測(cè)到的，只有電磁力與引力。我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到物質(zhì)世界千變?nèi)f化的現(xiàn)象，歸根結(jié)底只通過(guò)這四種基本相互作用起作用。,類型,作用距離（m）,強(qiáng)相互作用,弱相互作用