第2章剛體力學(xué)

1、質(zhì)元之間的距離保持不變。,(理想模型),有質(zhì)量沒有大小和形狀的點---質(zhì)點,在任何情況下大小和形狀都不發(fā)生變化的物體---剛體,(理想模型),第二章 剛體力學(xué),1,平動：用質(zhì)心運動討論,剛體運動的兩種基本形式,平動---剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。,質(zhì)心的運動代表整個剛體的平動,一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動,2,2.1 剛體運動學(xué),轉(zhuǎn)動：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線做圓周運動.

2、 這條直線叫轉(zhuǎn)軸,定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。,3,剛體的一般運動,,,既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動,4,各質(zhì)元的位移、線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.,描述剛體整體的運動用角量方便。,二、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述,5,角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。,方向,單位：rad/s2,6,質(zhì)元的線量與角量的關(guān)系：,7,轉(zhuǎn)動的物體具有動能，其值等于各個質(zhì)元的動能的總和,J是衡量物體轉(zhuǎn)動

3、慣性的量,一、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能,2-2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,二、轉(zhuǎn)動慣量,8,質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量,國際單位制中轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克·米2（kg·m2）,轉(zhuǎn)動慣量的計算,單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量,轉(zhuǎn)動慣量與什么因素有關(guān)：,剛體的質(zhì)量 質(zhì)量的分布 轉(zhuǎn)軸的位置,9,注意,只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量,10,例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)

4、的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。,解：細圓環(huán),,J是可加的，所以若為薄圓筒, 結(jié)果相同。,11,例2 求質(zhì)量為m、半徑為R、高為l 的均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量。軸為圓柱體軸線。,解：取半徑為r高為l厚為dr的圓筒,,可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。,,,12,,例3. 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為,其體積：,其質(zhì)量：,其轉(zhuǎn)動慣量：,Z,13,

5、14,例4、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。,,,,,,,A,B,L,x,,,,,,,,A,B,L/2,L/2,C,x,解：取如圖坐標(biāo),dm=?dx,,15,平行軸定理,前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡?推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md 2。,這個結(jié)論稱為平行軸定理。,16,例5.

6、 求右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 . (棒長為L、球半徑為R）,17,1、力對轉(zhuǎn)軸的力矩,三、轉(zhuǎn)動定律,18,,,將切向分量式兩邊同乘以 ,,,2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律,19,m反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性,力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。,地位相當(dāng),20,轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例,例1 一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m

7、的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。,mg,21,mg,解：,22,,解：水平恒力F對過A端的豎直軸的力矩為,23,例2 質(zhì)量為m，長為l的水平勻質(zhì)細桿AB能自由地繞通過其A端的豎直軸旋轉(zhuǎn)。從某一時刻起, 在B端作用一個水平恒力F，該力在所有的時間內(nèi)總是垂直于桿靜止時的初始位置。求桿的角速度和它從初始位置轉(zhuǎn)過的角 的函數(shù)關(guān)系。,對上式求積分,,,由轉(zhuǎn)動定理有,,,24,例3、一個飛輪的

8、質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪(勻質(zhì)圓環(huán))，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.2。求: (1)從制動開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動這段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)? (2)閘瓦對飛輪的壓力N為多少？,25,解(1)從制動開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動,飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù),26,飛輪轉(zhuǎn)了41.67轉(zhuǎn)．,(2)閘瓦對飛輪的壓力N,27,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律,已知: m＝69k

9、g , R＝0.25m，µ=0.2, ?=-20.9rad/s2,力矩做功是力做功的角量表達式.,力矩的瞬時功率,對比：,,四、 力矩的功,28,,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。,對比：,當(dāng)θ=θ1時，ω=ω1 ； θ=θ2時，ω=ω2 所以：,五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,29,剛體的重力勢能是組成它的各個質(zhì)元的重力勢能之和.,1、剛體的重力勢能,剛體的重力勢能等于其重

10、力與質(zhì)心高度之積.,六 、包括剛體的系統(tǒng)的機械能守恒定律,30,若在剛體轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功, 則機械能守恒.,機械能守恒定律,2、定軸轉(zhuǎn)動的功能原理和機械能守恒定律,定軸轉(zhuǎn)動的功能原理,即如果合外力不做功，非保守內(nèi)力也不做功，或二者的功的代數(shù)和為零，機械能守恒.,31,32,例2、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺?角時的角加速度和角速度。,

11、解：外力矩為重力對O的力矩。 棒上取質(zhì)元dm, 該質(zhì)元的重力對軸的元力矩為,33,,整個棒的重力矩為,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律,34,35,例3 彈簧、定滑輪和物體的連接如圖所示, 彈簧的勁度系數(shù)為2.0 N·m-1, 定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg·m2,半徑為0.30m , 問當(dāng)6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時,它的速率為多大? 假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長．,解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，下落的過程

12、中，機械能守恒.,,,,36,以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點.,,,故有,37,質(zhì)點相對O點的矢徑 與質(zhì)點的動量 的矢積定義為該時刻質(zhì)點相對于O點的角動量，用 表示。,質(zhì)點,1、角動量,2-3 剛體角動量定理和角動量守恒定律,一、 剛體的角動量定理,38,質(zhì)點系對某點的角動量：,如果質(zhì)點系繞定軸轉(zhuǎn)動：,各質(zhì)點有相同的 ，,39,2、角動量定理,外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于

13、角動量的增量。,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，可得：,40,作用在物體上的外力對某軸的力矩之和為零，則物體對該軸的角動量守恒,,角動量守恒定律,角動量守恒定律的兩種情況：,1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。,例：回轉(zhuǎn)儀,,二 、 角動量守恒定律,,41,,2、轉(zhuǎn)動慣量可變的物體。,42,實際中的一些現(xiàn)象,藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合,Ⅰ、芭蕾舞演員的高難動作,43,,,Ⅱ 體操、跳水、運動員在空 中為了迅速翻轉(zhuǎn)總是曲體、 減小轉(zhuǎn)動慣

14、量、增加角速 度。當(dāng)落地時則總是伸直 身體、增大轉(zhuǎn)動慣量、使 身體平穩(wěn)地。,,,,,,,44,花樣滑冰運動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速.,45,例1 質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)動了多少角度？,已知：,求：,解：以M、m為研究對象,故角動量守恒,46,人和臺原來角動量為0,（1

15、）式×dt積分：,若人和轉(zhuǎn)臺的角速度分別為,47,48,,,,例2 一個質(zhì)量為M、半徑為R并以角速度ω轉(zhuǎn)動的飛輪(勻質(zhì)圓盤), 在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，如圖．假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能．,解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度,,,令v=0，得上升最大高度H為,,49,(2)碎片與破盤的總角動量

16、應(yīng)守恒，即,,,,式中ω'為破盤的角速度．于是,,,(角速度不變),50,圓盤余下部分的角動量為,,轉(zhuǎn)動動能為,,51,例3 空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動,如圖所示,其轉(zhuǎn)動慣量為J0 ,環(huán)半徑為R, 初始角速度為ω0 . 質(zhì)量為m的小球,原來靜置于A點,由于微小的干擾,小球向下滑動. 設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的,問小球滑到B點與C點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少?,解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當(dāng)小球滑至B點時，有,

17、,該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功,機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為vB，以B點為重力勢能零點，則有,,52,聯(lián)立①、②兩式，得,,,(2)當(dāng)小球滑至C點時，,,,故由機械能守恒，有,,,53,,例4 一質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓盤, 放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為μ)，圓盤可繞通過其中心O的光滑豎直固定軸轉(zhuǎn)動, 開始時, 圓盤靜止, 一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上, 求

18、:（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度。（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動。(忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩),54,解：（1）子彈擊中圓盤邊緣并嵌在一起，這段時間很短，子彈和圓盤所組的系統(tǒng)角動量守恒。有,,解上式得：,,（2）勻質(zhì)圓盤可看成一系列半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成，在離轉(zhuǎn)軸r處取一半徑為r ,寬度dr的細圓環(huán)，其質(zhì)量為,,55,,摩擦力矩為,,,由轉(zhuǎn)動定律有,,56,,,,圓盤在水平面上轉(zhuǎn)動時間為,57,例5、如圖所示,一質(zhì)

19、量為m的子彈以水平速度v0射入一靜止懸于頂端長棒的下端, 穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度?。已知棒長為l,質(zhì)量為M.,,解:以f 表示棒對子彈的阻力,對子彈有:,子彈對棒的反作用力f ' , 對棒有：,由兩式得,58,請問:1.子彈和棒的總動量守恒嗎? 為什么?,2.總角動量守恒嗎?若守恒, 其方程應(yīng)如何寫?,,59,例6、一長為l、質(zhì)量為M的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m ，速率為v

20、的子彈射入并嵌在距支點為a 的棒內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角度為θ=300，子彈的初速率為多少？,解：可分兩個運動過程來分析。,沖擊過程：,桿維持豎直 M合外=0 系統(tǒng)角動量守恒,60,擺動過程：,M合外≠0 系統(tǒng)角動量不守恒,只有重力作功， 系統(tǒng)機械能守恒,61,,,,,,,解:碰撞前單擺擺錘的速度v0,例7、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘質(zhì)量相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高

21、度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺,于豎直位置和直桿作彈性碰撞。求 碰撞后擺錘達到的高度h'和直桿下端達到的高度h。,62,令碰撞后直桿的角速度為?，擺錘的速度為v´。由角動量守恒，有,在彈性碰撞過程中動能也守恒:,63,按機械能守恒碰撞后擺錘達到的高度h',而桿的質(zhì)心上升的高度hc滿足,64,解：,65,碰撞 ? t 極小，對 m +盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：,則：,,,,,,

22、,,,66,67,一）何謂旋進,陀螺的運動,陀螺以角速度 繞自身對稱軸高速轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象—自轉(zhuǎn)。,在重力矩作用下，自轉(zhuǎn)軸以角速度 繞豎直軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象—旋進。,自轉(zhuǎn)角動量,三、陀螺的旋進(進動）,68,陀螺旋進的原因是什么？,是自旋與重力矩作用產(chǎn)生的結(jié)果。,重力矩為零——只有自轉(zhuǎn),重力矩不為零、但沒有自轉(zhuǎn)——倒下,69,,,,,當(dāng)陀螺繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)時具有角動量,受重力的力矩,二) 旋進的解釋,即剛體繞新的軸運動，產(chǎn)生了進動。,a,產(chǎn)生