引函數(shù)微分與反函數(shù)微分

1、隱函數(shù)微分與反函數(shù)微分,,隱函數(shù)的微分(Implicit Differentiation),雖然方程式 中的x和y並沒有函數(shù)關(guān)係,但若我們將y限制為大於等於0,則x和y有函數(shù)關(guān)係 且 (如下圖的圖(b)所示)。,圖1,由此函數(shù)關(guān)係,我們可求y對於x,|x|<r的微分為所以對於圓( r≠0 )上的一點(diǎn)

2、 我們可得其切線為,但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數(shù)的範(fàn)圍以獲得明確的函數(shù)關(guān)係,進(jìn)而求取方程式所代表之曲線上某一點(diǎn)的切線。但不管如何我們都可限制變數(shù)的範(fàn)圍而使得兩變數(shù)具有一種函數(shù)關(guān)係,此種利用限制方程式中的變數(shù)範(fàn)圍所獲得的函數(shù)關(guān)係我們稱之為隱函數(shù)。,如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0, 若我們?nèi)↑c(diǎn) 附近的一段如虛線框框所示的曲線,則如圖2(b)

3、所示y和x將有函數(shù)關(guān)係y=y(x),利用微分法則我們可求得其微分。,圖2,(a),(b),例如上例中y對x, |x|<r的微分,利用微分法則可得,例1: (a) 求 (folium of Descartes) 中的 。(b) 求曲線 在點(diǎn)(3,3)的切線。(c) 在曲線 上的何點(diǎn),

4、 其切線為水平。解: (a) 利用隱微分(隱函數(shù)微分), 可得,(b) 當(dāng)x=y=3,曲線 在點(diǎn)(3,3)的切線為y-3=-1(x-3) 或 x+y=6,(c) 當(dāng)切線為水平時, , 故得代入 , 可得 將上式化簡成 , 可解得x=0或 。經(jīng)由上述

5、的計(jì)算,我們可知在曲線 上的點(diǎn)(0,0)和 , 其切線為水平。,例2: 求 中y對x的微分 。解: 將 兩邊同對x微分。,例3: 求 的隱微分 。解:,例4: 求

6、 的隱微分 。解:,例5: 求 的隱微分 。解:,例6: 求曲線 上通過點(diǎn)(0,1)的切線。解:,將(0,1)代入上式,得曲線上通過點(diǎn)(0,1)的切線斜率為 ,故切線為,例7: 方程式xy=c, c≠0代表一組雙曲線。方程式

7、 , k≠0 代表另一組雙曲線, 其漸進(jìn)線為y=x。驗(yàn)證這兩組雙曲線互相垂直, 亦即其交點(diǎn)的切線互相垂直。解: 將方程式xy=c做隱微分, 可得,將方程式 做隱微分, 可得由於 故兩組雙曲線交點(diǎn)的切線互相垂直。,例8: 利用隱微分驗(yàn)證橢圓在點(diǎn) 的切線為,解:,將點(diǎn) 代入上

8、式, 可得橢圓過點(diǎn) 的切線斜率為切線則為,將上式兩邊同除以 ,可得,例9: 求雙曲線在點(diǎn) 的切線方程式。解: 利用隱微分,將點(diǎn) 代入上式, 可得雙曲線過點(diǎn) 的切線斜率為,切線則為將上式兩邊同除以 ,可得,例10: 求橢圓

9、 過點(diǎn)(1,1)的切線。解: 利用隱微分, 可得,將點(diǎn)(1,1)代入上式, 可得橢圓 過點(diǎn)(1,1)的切線斜率為切線則為,例11: 求拋物線 過點(diǎn)(1,2)的切線。解: 利用隱微分, 可得,將點(diǎn)(1,2)代入上式, 可得拋物線 過點(diǎn)(1,2)的切線斜率為切線則為,,例12

10、: 若 , 且f (1)=2, 求 。解: 利用隱微分, 可得,將f(1)=2代入上式, 可得,例13: 求 的隱微分 。解:,例14: 驗(yàn)證曲線 上任一點(diǎn)的切線, 其x-截距和y-截距之和等於c。解: 設(shè)

11、 為曲線 上的一點(diǎn)。,將點(diǎn) 代入上式, 可得曲線 過點(diǎn) 的切線斜率為切線則為,x-截距為y-截距為,x-截距+y-截距等於,例15: 利用隱微分驗(yàn)證以O(shè)為原點(diǎn)的圓,此圓上的任一點(diǎn)P, 其切線垂直半徑OP。解: 設(shè)O對應(yīng)直角座標(biāo)的原點(diǎn)(0,0), 而此圓的

12、半徑為r, 其所對應(yīng)的方程式為 。 由於幾何性質(zhì)不受座標(biāo)選取的影響, 故我們可設(shè)P點(diǎn)的座標(biāo)為(x,y),且x≠0, y≠0 。利用隱函數(shù)微分, 可得,,線段OP的斜率為 , 而切線斜率為 , 兩者的乘積為故得証。,,例16: 求 的隱微分 。解:,例17: 利用隱微分求曲線

13、上點(diǎn) 的切線。解:,將點(diǎn) 代入上式可得切線斜率為故切線為,例18: 利用隱微分求曲線 上點(diǎn) 的切線。解:,將點(diǎn)(3,1)代入上式可得切線斜率為,曲線 過點(diǎn)(3,1)的切線為,例19: 利用隱微分求曲線 上點(diǎn) 的切線。解:將

14、點(diǎn) 代入上式, 可得曲線 過點(diǎn) 的切線斜率為,切線則為,例20: 求 的隱微分 。解:,例21: 求 的隱微分 。解:,例22: 利用隱微分求曲線 上點(diǎn) 的切

15、線。解:,將點(diǎn)(0,-2)代入上式可得切線斜率為切線則為,例23: 求 的隱微分 。解:,例24: 求曲線 上的點(diǎn), 其切線為水平。解:,切線為水平, 則切線的斜率為0, 故所以x=0或圓 上的點(diǎn)滿足

16、 。,將x=0代入 , 得,但是x=0,y=0這一點(diǎn)必須排除, 因?yàn)閷?0,0)代入 ,分母將為0, 故不合。,將 代入方程式可得,將 代入上式, 可得所以點(diǎn) 和點(diǎn) 的切線為

17、水平。,,例25: 求 的隱微分 。解:,例26: 求 的隱微分 。解:,反函數(shù)微分,定理1(反函數(shù)微分定理)設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I為嚴(yán)格遞增(或遞減)且可微分。若f在區(qū)間I內(nèi)的一點(diǎn)x,其微分值 則f的反函數(shù) 在x的對應(yīng)點(diǎn)y=f(x)為可微分,且,證明:

18、函數(shù)f在區(qū)間I為嚴(yán)格遞增(或遞減),則函數(shù)f為1對1函數(shù), 故其反函數(shù) 存在。根據(jù)微分的定義 令 , 但是由於 ,所以再根據(jù)反函數(shù)的定義,,將上述結(jié)果帶入,可得

19、由於y=f(x)為可微分, 故y=f(x)為連續(xù),亦即,,所以 將之帶入前面的式子, 可得,利用極限定理, 可得,定理得證。,,在第一單元裡我們已定義過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù), 以下我們將探討其微分。對於指數(shù)函數(shù) 的微分函數(shù),根據(jù)定義:,由上式可知若

20、 在x=0可微分,則 為可微分。以下我們接受在的事實(shí),其中的一個無理數(shù)滿足 故得 。,因?yàn)?,所以利用微分法則中的Chain Rule可得,我們利用前面的反函數(shù)微分定理求 的反函數(shù)

21、 的微分。令y=ln x,則 。由於所以,由於 ,所以,例27: 求 對x的微分。解: 利用Chain Rule, 令 ,則,例28: 求 對x的微分。解: 雖然我們可用微分除法法則(Quotient Rule)來求得解