概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率分布

1、2024/3/8,1,第二章 概率分布,2024/3/8,2,引 言,由于存在個(gè)體差異，即使從同一總體中抽取的兩份樣本之間也會(huì)有所不同，因此需要對(duì)總體特征做出描述。隨機(jī)變量的分布常見的有三種類型：,正態(tài)分布（normal distribution）二項(xiàng)分布（binominal distribution）Poisson 分布（ Poisson distribution）,,,離散型變量,連續(xù)型變量,,,2024/3/8,3,了

2、解正態(tài)分布的密度函數(shù)二項(xiàng)分布的應(yīng)用 Poisson分布的應(yīng)用,掌握正態(tài)分布曲線的特征及應(yīng)用二項(xiàng)分布的概念與特征Poisson分布的概念與特征,【教學(xué)目的】,2024/3/8,4,概念頻率密度圖的繪制例：隨機(jī)調(diào)查某醫(yī)院1402例待分娩孕婦，測(cè)得她們的體重。體重在各組段的頻數(shù)分布見表1第2列，并求得體重落在各組段的頻率（表1的第3列）?，F(xiàn)以體重測(cè)量值為橫軸，以頻率與組距的比值為縱軸作出直方圖。由于該直方圖的縱軸表示在每個(gè)組段

3、內(nèi)單位長所占有的頻率，相當(dāng)于頻率密度，因此我們將此圖稱為頻率密度圖（見圖1）。,一、正態(tài)分布,2024/3/8,5,表1 某醫(yī)院1402例分娩孕婦體重頻數(shù)分布,圖1 體重頻率密度圖,2024/3/8,7,若將各直條頂端的中點(diǎn)順次連接起來,得到一條折線。當(dāng)樣本量n越來越大時(shí)，組段越分越細(xì)，此時(shí)直方漸進(jìn)直條，這條折線就越來越接近于一條光滑的曲線（見圖1、2），我們把這條呈中間高，兩邊低，左右基本對(duì)稱的“鐘型”曲線稱為正態(tài)分布曲線，近似于數(shù)

4、學(xué)上的正態(tài)分布（高斯分布; Gauss）。,2024/3/8,8,圖1 體重頻率密度圖,圖2 概率密度曲線示意圖,2024/3/8,9,正態(tài)分布的密度函數(shù),,式中，m為總體均數(shù)，s為總體標(biāo)準(zhǔn)差，p為圓周率，e為自然對(duì)數(shù)的底，僅x為變量。 當(dāng)x確定后， f(x)為X相應(yīng)的縱坐標(biāo)高度，則X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布(normal distribution)，記作X~N( m, s2)。,2024/3/8,10,一般地，若連

5、續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)其概率密度函數(shù)為 ，則X取值落在區(qū)間 內(nèi)的累積概率為概率密度曲線下位于 的圖形面積，等于其概率密度函數(shù) 在 到x上的積分，記作 。,,,,,稱 為正態(tài)分布 的概率密度函數(shù)。其值表示變量落在區(qū)間 的概率，對(duì)應(yīng)于從-∞到x概率密度曲線下的陰影的面積（常稱為左側(cè)

6、尾部面積），見圖3。,,2024/3/8,12,圖3 正態(tài)分布的概率密度函數(shù),2024/3/8,13,,于是，利用概率密度函數(shù) 可以計(jì)算正態(tài)分布變量取值在任意區(qū)間（a,b）的概率為,,P(a≤X<b)=,,2024/3/8,14,,,,,,2024/3/8,15,2.正態(tài)分布的特征,對(duì)稱性：正態(tài)分布為單峰、對(duì)稱分布，以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱。正態(tài)分布的圖形由均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)參數(shù)決定。 位置參數(shù)m，即集中趨勢(shì)的位置；變異

7、度參數(shù)s，表示正態(tài)變量取值的離中程度。概率密度函數(shù)f(x)在x取均值時(shí)達(dá)到最大，峰值為隨機(jī)變量X的取值從-∞到+∞，相應(yīng)的概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線位于x軸上方，并與X軸永不相交；,2024/3/8,16,圖4 正態(tài)分布位置變換示意圖,2024/3/8,17,圖5 正態(tài)分布形態(tài)變換示意圖,2024/3/8,18,,正態(tài)分布曲線下的面積分布有一定規(guī)律：正態(tài)曲線與橫軸所夾的面積為1。 位于

8、 內(nèi)的面積為0.90； 位于 內(nèi)的面積為0.95； 位于 內(nèi)的面積為0.99。,2024/3/8,19,圖6 正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律示意圖,2024/3/8,20,3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,為了實(shí)際應(yīng)用的方便，設(shè)U=(x-m)/s或Z=(x-m)/s，即將原點(diǎn)移到m的位置，橫軸尺度以s

9、為單位，使m=0，s=1，則將原正態(tài)分布變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。,2024/3/8,21,,,正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,2024/3/8,22,統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)不同的U值編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積表(見附表)，這樣一般正態(tài)分布N(m, s2)的概率計(jì)算問題借助于標(biāo)準(zhǔn)化變換，并通過查附表就完全解決了。,2024/3/8,23,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線與分布函數(shù)示意圖,2024/3/8,24,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

10、曲線下面積規(guī)律,1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-1，1）的面積占總面積的68.26% 。2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-1.96，1.96）的面積占總面積的95% 。3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-2.58，2.58）的面積占總面積的99% 。,2024/3/8,25,例:已知某地正常成年女子的血清總蛋白數(shù)服從正態(tài)分布，調(diào)查了該地110名正常成年女子，得樣本血清總蛋白均數(shù)為72.8(g/L)，標(biāo)準(zhǔn)差為3.8(g/L)，試估計(jì)該地正常成年女子血清總蛋白

11、介于66.0~75.0(g/L)之間的比例，以及110名正常成年女子中血清總蛋白介于66.0~75.0(g/L)之間的人數(shù)。,2024/3/8,26,解：本例由于是大樣本，可用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體m、s的估計(jì)值，即將該地正常成年女子的血清總蛋白數(shù)近似看作服從N(72.8,3.82)的正態(tài)分布。作如下標(biāo)準(zhǔn)化變換：,,,2024/3/8,27,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：,,,于是,,,2024/3/8,28,故估計(jì)該地區(qū)正常成年女子血清總

12、蛋白介于66.0~75.0 (g/L)之間的比例為68.23%。估計(jì)110名正常成年女子中血清總蛋白介于66.0~75.0 (g/L)之間的人數(shù)約為 人。,,2024/3/8,29,4.1 制定醫(yī)學(xué)參考值范圍 參考值范圍（reference range)是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動(dòng)范圍。制定參考值范圍時(shí)，首先要確定一批樣本含量足

13、夠大的“正常人”。所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群。其次需根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰担Ｓ?5%。,4.正態(tài)分布的應(yīng)用,2024/3/8,30,制定觀察指標(biāo)參考值范圍的一般步驟：,依據(jù)觀察指標(biāo)的特點(diǎn)、背景和已知的影響因素，確定抽樣的入選標(biāo)準(zhǔn)和排除標(biāo)準(zhǔn)；根據(jù)指標(biāo)特點(diǎn)決定單側(cè)或雙側(cè)；確定范圍：一般為95%；按資料特點(diǎn)選取不同方法計(jì)算

14、正常值范圍的上下限。,2024/3/8,31,雙側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)尾部面積之和等于α?xí)r所對(duì)應(yīng)的正側(cè)變量值稱為雙側(cè)臨界值，記作Za/2或 Ua/2。,單側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單側(cè)尾部面積等于α?xí)r所對(duì)應(yīng)的正側(cè)變量值稱為單側(cè)臨界值，記作Za或Ua。,2024/3/8,32,參考值范圍的制定方法：,(1)正態(tài)分布法 適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料； 雙側(cè)界值 單側(cè)上界 單側(cè)下界,2024/3/8,33,參

15、考值范圍的制定方法：,(2)百分位數(shù)法：特別適用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。如95%參考值范圍： 雙側(cè)界值：P2.5和P97.5 單側(cè)上界：P95 單側(cè)下界：P5,2024/3/8,34,,例：調(diào)查某地120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示其分布近似正態(tài)分布， 試估計(jì)該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍。,2024/3/8,35,因

16、血紅蛋白過高、過低均為異常，所以按雙側(cè)估計(jì)95%醫(yī)學(xué)參考值范圍： 上限為： 下限為：,2024/3/8,36,注意：95%醫(yī)學(xué)參考值范圍僅告訴我們某特定人群中，95%的個(gè)體該指標(biāo)測(cè)定值在此范圍內(nèi)，并不能說明在此范圍內(nèi)都“正?！保灰膊荒苷f明凡不在此范圍內(nèi)都 “不正?！?，因此醫(yī)學(xué)參考值范圍在臨床上只能作為參考。,2024/3/8,37,表2　常用參考值范圍的制定,2024/3/8,38,,計(jì)算某地正常女子血清總蛋白的95%參考值

17、范圍。由于該地正常成年女子血清總蛋白近似服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分步法計(jì)算，因血清總蛋白過多過少均屬異常，故計(jì)算95%參考值范圍的上下限為：,2024/3/8,39,例：某地調(diào)查120名健康成年男性的第一秒肺通氣量得均數(shù) =4.2(L), 標(biāo)準(zhǔn)差S =0.7(L)，試據(jù)此估計(jì)該地健康成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。,,2024/3/8,40,解：由于該地健康成年男子第一秒肺通氣量近似服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分布法計(jì)算。

18、因第一秒肺通氣量僅過低屬異常，故只需求出下限。 即該地健康成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為不低于3.05(L)。,,2024/3/8,41,,4.2 估計(jì)頻數(shù)分布,2024/3/8,42,為了控制實(shí)驗(yàn)中的檢測(cè)誤差，常以 作為上下警戒值，以 作為上下控制值。這里的2s和3s可視為1.96s和2.58s的約數(shù)。,4.3 進(jìn)行質(zhì)量控制,2024/3/8,43,2

19、024/3/8,44,（1） t分布、F分布、 分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，u檢驗(yàn)也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。（2） t分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來處理。,4.4 正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)：,2024/3/8,45,二、二項(xiàng)分布,1. 二項(xiàng)分布的含義 在醫(yī)學(xué)研究中，許多觀察或試驗(yàn)的可能結(jié)果可以歸結(jié)為二個(gè)相互排斥的結(jié)果。如檢查的結(jié)果為陽性或陰性，治療的

20、結(jié)果可以為有效或無效，也可以為治愈或未治愈等。,一個(gè)袋子里有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)為黃色，3 個(gè)為白色。每次摸1個(gè)球，然后放回再摸。先后摸100次，摸到黃球的次數(shù)X=0，1，2，3，……的概率有多大？,P (x=0)= ?P (x=1)= ?P (x=2)= ?……P (x=100)= ?,2024/3/8,47,該實(shí)驗(yàn)有三個(gè)特點(diǎn)：,各次摸球彼此獨(dú)立；每次摸球只有兩種可能的結(jié)果（黃球或白球）每次摸到黃球的概率（0.4）是固定

21、的。,2024/3/8,48,若變量X在n此獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，具有：各觀察單位只能具有相互對(duì)立的兩種結(jié)果之一。已知發(fā)生某一結(jié)果（陽性）的概率為π，其對(duì)立結(jié)果的概率為1-π。 n次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行，且各個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果相互獨(dú)立。則稱變量X服從二項(xiàng)分布，記作：B(X;n,?),2024/3/8,49,例：假設(shè)注射某種免疫疫苗會(huì)有10%的人出現(xiàn)不適反應(yīng)。問3人接種后各種可能后果的概率是多少？ 假定這3人接種后出現(xiàn)不適反映的可

22、能性相同，則概率均為10%，用X表示發(fā)生不適反應(yīng)的次數(shù)，則X的取值為0，1，2和3，求隨機(jī)變量各個(gè)可能的取值所對(duì)應(yīng)的概率。,2024/3/8,50,2. 二項(xiàng)分布的概率函數(shù)和概率分布,n和?是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，n決定了X的取值范圍，n和?決定了X的概率分布。,2024/3/8,51,3. 二項(xiàng)分布的性質(zhì)與特征,⑴形態(tài)取決于π和n：當(dāng)π接近0.5時(shí)，分布對(duì)稱，π離0.5越遠(yuǎn)，分布對(duì)稱性越差；但當(dāng)n增大時(shí), 分布趨于對(duì)稱。⑵高峰在 ?＝

23、n?處。⑶二項(xiàng)分布的總體均數(shù)?＝n?，方差為 。⑷當(dāng)n?>5，且n(1-?)>5時(shí)，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。,,圖7 二項(xiàng)分布的概率分布示意圖,2024/3/8,53,4. 二項(xiàng)分布的應(yīng)用,4.1 應(yīng)用條件各觀察單位只具有相互對(duì)立的兩種結(jié)果；已知發(fā)生某一結(jié)果的概率為p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為1-p； n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果相互獨(dú)立。4.2 應(yīng)用概率計(jì)算；,2024/3/

24、8,54,,例：據(jù)報(bào)道，有10%的人對(duì)某藥有腸道反應(yīng)。為考察此藥的質(zhì)量，現(xiàn)隨機(jī)選5人服用此藥，試求： (1)其中k個(gè)人(k=0,1,2,3,4,5)有反應(yīng)的概率；(2)不多于2人有反應(yīng)的概率；(3)有人有反應(yīng)的概率。,例：設(shè)在人群中感染某種疾病的概率為20%，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A注射了15人后無一感染，用疫苗B注射15人后有1人感染，設(shè)人群沒有相互傳染疾病的可能，問：應(yīng)該如何評(píng)價(jià)這兩種疫苗？解：假設(shè)疫苗A、B完全無效，那么注

25、射后感染的概率仍為20%，則15人中染病人數(shù)X~B(15，0.20)。X=0的概率為,X≤1的概率為,2024/3/8,56,Poisson分布是一個(gè)重要的離散型概率分布。一般地，Poisson分布應(yīng)用于觀察例數(shù)n很大、而p發(fā)生的概率很小的情況。如，交通事故發(fā)生數(shù)，某些罕見疾病發(fā)生數(shù)，單位容積中的細(xì)菌計(jì)數(shù)、細(xì)胞計(jì)數(shù)，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射的粒子數(shù)，單位空間的粉塵個(gè)數(shù)等等。此時(shí)，隨機(jī)變量X（發(fā)生數(shù)等）所有可能的取值以及相應(yīng)的概率分布即

26、為Poisson分布。,三、Poisson分布,歷史上， Poisson分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家Poisson引入 。,近年來， Poisson分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。,在實(shí)際生活中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布。,在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)等問題中 , 泊松分布是常見的。如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交通事故次數(shù)等, 都服從泊松分布。,泊松分布的圖形,圖8 Po

27、isson分布的示意圖,2024/3/8,60,1. Poisson分布的概率函數(shù)：,此處m>0，是某一常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，稱X服從參數(shù)為m的Poisson分布，記為X~P(m),,可見，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的極限而得到。換言之，如果X~B(n,p)，當(dāng)p很小，而n很大時(shí)，可以認(rèn)為X近似服從m=np的Poisson分布P(m)。,2024/3/8,61,Poisson分布屬于離散型分布，?是Poisson分布的總

28、體參數(shù)，也是唯一的參數(shù)。方差s2與均數(shù)?相等，即m=s2。這是Poisson分布的一個(gè)非常重要而且非常獨(dú)特的性質(zhì)，經(jīng)常用于判斷某隨機(jī)事件是否服從Poisson分布。設(shè) 且 ，并且X1與X2相互獨(dú)立，則 服從總體均數(shù)為 的Poisson分布。當(dāng)λ＞20時(shí)，poisson分布近似正態(tài)分布,2.

29、 Poisson分布的特性,,,,,2024/3/8,62,3. 應(yīng)用,應(yīng)用條件：由于Poisson分布可以看作二項(xiàng)分布的極限分布，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是Poisson分布的應(yīng)用條件。此外，Poisson分布還要求試驗(yàn)次數(shù)n很大，而所關(guān)心的事件發(fā)生的概率p很小。,2024/3/8,63,概率計(jì)算,例: 為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)，共得400個(gè)，記錄如下表：,表5 某社區(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù),試分析飲用水

30、中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從Poisson分布。若服從，計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)，并將次數(shù)分布與Poisson分布做直觀比較,2024/3/8,64,,得：經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù) =0.5，方差S2=0.496。兩者接近，近似服從Poisson分布。,,2024/3/8,65,例如某均勻的溶液中，每ml含有3個(gè)細(xì)菌，即X～P（3）。現(xiàn)考慮5ml溶液中的細(xì)菌的分布情況。由于X i～P(3) i=1，2，3，4，5。據(jù)

31、Poisson分布的可加性可得： X1 ＋ X2 ＋ X3 ＋ X4 ＋ X5 ～P(15) 即5ml溶液中的細(xì)菌數(shù)仍然服從Poisson分布，均數(shù)為15。,2024/3/8,66,[選擇題],1. 理論上，二項(xiàng)分布是一種A 連續(xù)性分布 B 離散分布 C 均勻分布 D 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

32、 2. 在樣本例數(shù)不變的情況下，下列何種情況時(shí)，二項(xiàng)分布越接近對(duì)稱分布。A 總體比例π越大 B 樣本比例P越大 C 總體比例π越接近0.5 D 總體比例π越小,2024/3/8,67,3.某種人群（如成年男子）的某個(gè)生理指標(biāo)（如收縮壓）或生化指標(biāo)（如血糖水平）的正常值范圍一般 A.該指標(biāo)在所有人中的波動(dòng)范圍 B.該指標(biāo)在所有正常人中的波動(dòng)范圍 C.該指標(biāo)在絕

33、大部分正常人中的波動(dòng)范圍 D.該指標(biāo)在少部分正常人中的波動(dòng)范圍   E.該指標(biāo)在一個(gè)人不同時(shí)間的波動(dòng)范圍,2024/3/8,68,4. 正態(tài)分布的特點(diǎn)有A.算術(shù)均數(shù)=幾何均數(shù) B.算術(shù)均數(shù)=中位數(shù)C.幾何均數(shù)=中位數(shù) D.算術(shù)均數(shù)=幾何均數(shù)=中位數(shù)E.以上都沒有,2024/3/8,69,5. 正態(tài)分布曲線下右側(cè)5％對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)為A.μ+1.96σ B.μ-1.96σC.μ+2.58σ D.μ