《最優(yōu)化方法》課件

1、《最優(yōu)化方法》碩士研究生課程,計劃學時數(shù)：36學時教材：最優(yōu)化方法，解可新，韓立興，林友聯(lián)，天津大學出版社，1998。主要參考書目：[1]最優(yōu)化原理與方法，薛嘉慶，冶金工業(yè)出版社，1986。[2]最優(yōu)化計算方法，席少霖，趙鳳治，上?？茖W技術出版社，1983。[3]非線性方程組解法與最優(yōu)化方法，王德人，高等教育出版社，1985。[4]非線性規(guī)劃，胡毓 達，高等教育出版社，1990,最優(yōu)化原理與方法第一章 最優(yōu)化原理建模

2、與數(shù)學預備知識,最優(yōu)化技術是一門較新的學科分支。它是在本世紀五十年代初在電子計算機廣泛應用的推動下才得到迅速發(fā)展，并成為一門直到目前仍然十分活躍的新興學科。最優(yōu)化所研究的問題是在眾多的可行方案中怎樣選擇最合理的一種以達到最優(yōu)目標。 將達到最優(yōu)目標的方案稱為最優(yōu)方案或最優(yōu)決策，搜尋最優(yōu)方案的方法稱為最優(yōu)化方法，關于最優(yōu)化方法的數(shù)學理論稱為最優(yōu)化論。 最優(yōu)化問題至少有兩要素：一是可能的方案；二是要追求的目標。后

3、者是前者的函數(shù)。如果第一要素與時間無關就稱為靜態(tài)最優(yōu)化問題，否則稱為動態(tài)最優(yōu)化問題。 本科程專門講授靜態(tài)最優(yōu)化問題。,§1 引言,最優(yōu)化技術應用范圍十分廣泛，在我們?nèi)粘Ｉ钪?，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會經(jīng)濟、國防、航空航天工業(yè)中處處可見其用途。 比如我們自己所接觸過的課題有：結構最優(yōu)設計、電子器件最優(yōu)設計、光學儀器最優(yōu)設計、化工工程最優(yōu)設計、標腔最優(yōu)配方、運輸方案、機器最優(yōu)配備、油田開發(fā)、水庫調(diào)度、飼料最優(yōu)

4、配方、食品結構優(yōu)化等等。,因此，我們在學習本科程時要盡可能了解如何由實際問題形成最優(yōu)化的數(shù)學模型。 為了便于大家今后在處理實際問題時建立最優(yōu)化數(shù)學模型，下面我們先把有關數(shù)學模型的一些事項作一些說明。,最優(yōu)化技術工作被分成兩個方面，一是由實際生產(chǎn)或科技問題形成最優(yōu)化的數(shù)學模型，二是對所形成的數(shù)學問題進行數(shù)學加工和求解。對于第二方面的工作，目前已有一些較系統(tǒng)成熟的資料，但對于第一方面工作即如何由實際問題抽象出數(shù)學模型，目前很少有系統(tǒng)的資料，

5、而這一工作在應用最優(yōu)化技術解決實際問題時是十分關鍵的基礎，沒有這一工作，最優(yōu)化技術將成為無水之源，難以健康發(fā)展。,所謂數(shù)學模型就是對現(xiàn)實事物或問題的數(shù)學抽象或描述。 建立數(shù)學模型時要盡可能簡單，而且要能完整地描述所研究的系統(tǒng)，但要注意到過于簡單的數(shù)學模型所得到的結果可能不符合實際情況，而過于詳細復雜的模型又給分析計算帶來困難。因此，具體建立怎樣的數(shù)學模型需要豐富的經(jīng)驗和熟練的技巧。即使在建立了問題的數(shù)學模型之后，通常也

6、必須對模型進行必要的數(shù)學簡化以便于分析、計算。 一般的模型簡化工作包括以下幾類： （1）將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量。 （2）將非線性函數(shù)線性化。 （3）刪除一些非主要約束條件。,建立最優(yōu)化問題數(shù)學模型的三要素： （1）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機性的。 （2）約束或限制條件。 由于現(xiàn)實系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量

7、限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學函數(shù)形式來表示的。 （3）目標函數(shù)。 這是作為系統(tǒng)決策變量的一個數(shù)學函數(shù)來衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標。,§2 最優(yōu)化問題,最優(yōu)化在物質(zhì)運輸、自動控制、機械設計、采礦冶金、經(jīng)濟管理等科學技術各領域中有廣泛應用。下面舉幾個專業(yè)性不強的實例。 例1.把半徑為1的實心金屬球熔化后，鑄成一個實心圓柱體，問圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最?。?

8、解：決定圓柱體表面積大小有兩個決策變量：圓柱體底面半徑r、高h。 問題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即,即 即 問題追求的目標是圓柱體表面積最小。即 min 則得原問題的數(shù)學模型： s.t.

9、 Subject to.固定. 利用在高等數(shù)學中所學的Lagrange乘子法可求解本問題 分別對r.h.λ求偏導數(shù),并令其等于零.有:,此時圓柱體的表面積為 例2.多參數(shù)曲線擬合問題 已知兩個物理量x和y之間的依賴關系為: 其中 和 待定參數(shù),為確定這些參數(shù),,對x.y測得m個實驗點:試將確定參數(shù)的問題表示成最優(yōu)化問題.解:很顯

10、然對參數(shù) 和 任意給定的一組數(shù)值,就由上式確定了 y關于x的一個函數(shù)關系式,在幾何上它對應一條曲線,這條曲線不一定通過那m個測量點,而要產(chǎn)生“偏差”.將測量點沿垂線方向到曲線的距離的平方和作為這種“偏差”的度量.即顯然偏差S越小,曲線就擬合得越好,說明參數(shù)值就選擇得越好，從而我們的問題就轉(zhuǎn)化為5維無約束最優(yōu)化問題。即：,,,,,,,,例3：兩桿桁架的最優(yōu)設計問題。

11、由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載為2p，兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為B，桿的比重為ρ，彈性模量為E，屈吸強度為δ。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,受力分析圖,圓桿截面圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,桁桿示意圖,,,,,,,解：桁桿的截面積為 ： 桁桿的總重量為：

12、 負載2p在每個桿上的分力為： 于是桿截面的應力為： 此應力要求小于材料的屈吸極限，即 圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：壓桿穩(wěn)定的臨界應力為 由此得穩(wěn)定約束：,另外還要考慮到設計變量d和h有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數(shù)學模型：例4.（混合飼料配合）以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。下面舉一個簡化了的例子予以說

13、明。 設每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng),,配料,,每磅配料中的營養(yǎng)含量,鈣,蛋白質(zhì),纖維,每磅成本（元）,石灰石谷物大豆粉,0.380 0.00 0.000.001 0.09

14、 0.020.002 0.50 0.08,0.0164 0.0463 0.1250,,,,,解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學模型如下:設 是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,,成分為：,§3

15、.最優(yōu)化問題的基本概念,n維歐氏空間 向量向量變量實值函數(shù)： 無約束最優(yōu)問題： 向量變量向量值函數(shù)：其中 是向量變量實值函數(shù)則有m個式約束的最優(yōu)化問題為：,在本課程我們討論的是如下形式的靜態(tài)最優(yōu)化問題：其中 均為向量Z

16、的實值連續(xù)函數(shù)，有二階連續(xù)偏導數(shù)，采用向量表示法即為：其中 這就是最優(yōu)化問題的一般形式，又稱非線性規(guī)劃。 注意等式約束通常可用不等式約束表示出來，有時,因此，一般不考慮等式約束。 稱滿足所有約束條件的向量Z為容許解或可行解，容許點的集合稱為容許集或可行集。 在容許集中找一點 ，使目標函數(shù) 在該點取最小值，即滿足：

17、 的過程即為最優(yōu)化的求解過程。 稱為問題的最優(yōu)點， 稱為最優(yōu)值， 稱為最優(yōu)解。 最優(yōu)化問題模型統(tǒng)一化： 在上述最優(yōu)化問題的一般式中只是取極小值，如果遇到極大化問題，只須將目標函數(shù)反號就可以化為求極小的問題。 例如：函數(shù)

18、 在 有極大值 ， 將它改變符號后， 在同一點 處 有極小值 由此可見： 有相同最優(yōu)點。,因此后面專門研究最小化問題。,,,,,,,,

19、,如果約束條件中有“小于等于“的，即 則轉(zhuǎn)化為 ，另外，等式約束 可以由下面兩個不等式來代替：因而最優(yōu)化問題的一般形式又可寫成： 對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：,其中求解一維無約束問題的方法稱為一維搜索或直線搜索，這在最優(yōu)化方法中起十分重要的作用。,二維最優(yōu)化問題具有鮮明的幾何解釋，并且可以象征性地把這種解

20、釋推廣到n維空間中去。因此我們簡要介紹一下圖解法對于以后理解和掌握最優(yōu)化的理論和方法是很有益處的。例1.求解這是定義在 平面 上的無約束極小化問題，其目標函數(shù)在 三維空間中代表一個曲面 。,§4.二維問題的圖解法,,常用數(shù)學軟件,MATLABMAPLEMATHEMATICAN (Mathematics) SASSPSS,