工程數(shù)學(xué)第5講

1、1,工程數(shù)學(xué)第5講,本文件可從網(wǎng)址http://math.vip.sina.com上下載(單擊ppt講義后選擇'工程數(shù)學(xué)'子目錄),2,第四章 級(jí)數(shù),§1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),3,1. 復(fù)數(shù)列的極限 設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列, 其中an=an+ibn, 又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù). 如果任意給定e>0, 相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e), 使|an-a|N時(shí)成立, 則a稱為復(fù)數(shù)列{a

2、n}當(dāng)n??時(shí)的極限, 記作,此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.,4,定理一 復(fù)數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是,[證] 如果 , 則對(duì)于任意給定的e>0, 就能找到一個(gè)正數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí),,5,反之, 如果,6,2. 級(jí)數(shù)概念 設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列, 表達(dá)式,稱為無窮級(jí)數(shù), 其最前面n項(xiàng)的和sn=a1+a2+...

3、+an稱為級(jí)數(shù)的部分和. 如果部分和數(shù)列{sn}收斂,,7,定理二 級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是級(jí)數(shù) 和 都收斂[證] 因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+...+an, tn=b1+b2+...+bn分別為 和

4、 的部分和, 由定理一, {sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在, 即級(jí)數(shù) 和 都收斂.,8,定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題.,9,定理三,[證],10,11,12,13,§2 冪級(jí)數(shù),14,1. 冪級(jí)數(shù)的概念 設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式,稱為復(fù)變函數(shù)

5、項(xiàng)級(jí)數(shù). 最前面n項(xiàng)的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.,15,存在, 則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂, 而s(z0)稱為它的和. 如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...s(z)稱為級(jí)數(shù) 的和函數(shù),如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0, 極限,16,這種級(jí)數(shù)

6、稱為冪級(jí)數(shù).如果令z-a=z, 則(4.2.2)成為 , 這是(4.2.3)的形式, 為了方便, 今后常就(4.2.3)討論,當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí), 就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:,17,定理一(阿貝爾Abel定理),,,,,z0,x,y,O,18,[證],19,20,21,2. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍, 對(duì)一個(gè)

7、冪級(jí)數(shù)來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)收斂, z=b(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.,22,,,顯然a<b, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.,,O,a,b,Ca,

8、Cb,x,y,23,當(dāng)a由小逐漸變大時(shí), Ca必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心, R為半徑的圓周CR. 在CR的內(nèi)部都是紅色, 外部都是藍(lán)色. 這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓. 在收斂圓的外部, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內(nèi)部, 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 收斂圓的半徑R稱為收斂半徑. 所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域. 對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來說, 收斂范圍是以z=a為中心的圓域. 在收斂圓上是否收斂, 則不一定.,24

9、,例1 求冪級(jí)數(shù),的收斂范圍與和函數(shù).[解] 級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù), 部分和為,25,26,3.收斂半徑的求法,27,4. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣, 復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算. 設(shè),在以原點(diǎn)為中心, r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi), 這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加, 相減, 相乘, 所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.,28,29,更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算,這個(gè)代換運(yùn)算, 在把

10、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.,30,31,,,,O,x,y,,,a,b,當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂,32,33,3) f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即,34,§3 泰勒級(jí)數(shù),35,設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周, 它與它的內(nèi)部全含于D, 把它記作K, 又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).,,,,,z0,,K,,z,r,,z,36,按柯西積分公式, 有,其中K

11、取正方向, 且有,37,代入(4.3.1)得,由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式(3.6.1),上式可寫成,38,在K內(nèi)成立, 即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá),q與積分變量z無關(guān), 且0?q<1.,39,K含于D, f(z)在D內(nèi)解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|?M.,40,因此, 下面的公式在K內(nèi)成立.,稱為f(z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).圓周K的半徑可以任

12、意增大, 只要K在D內(nèi). 所以, 如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d, 則(4.3.4)在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立. 但這時(shí)對(duì)f(z)在z0的泰勒級(jí)數(shù)來說, 它的收斂半徑R至少等于d, 因?yàn)榉矟M足|z-z0|<d的z必能使(4.3.4)成立. 即R?d.,41,定理(泰勒展開定理) 設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),,42,,如果f(z

13、)在z0解析, 則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離, 即R=|a-z0|. 這是因?yàn)閒(z)在收斂圓內(nèi)解析, 故奇點(diǎn)a不可能在收斂圓內(nèi). 又因?yàn)槠纥c(diǎn)a不可能在收斂圓外, 不然收斂半徑還可以擴(kuò)大, 因此奇點(diǎn)a只能在收斂圓周上.,,,O,x,y,,,z0,a,43,任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的.這是因?yàn)? 假設(shè)f(z)在z0用另外的方法展開為泰

14、勒級(jí)數(shù): f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...,則f(z0)=a0.而f '(z)=a1+2a2(z-z0)+...于是f '(z0)=a1.同理可得,44,利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):,把f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù), 這被稱作直接展開法, 例如, 求ez在z=0處的泰勒展開式, 由于 (ez)(n)=ez, (ez)(n)|

15、z=0=1, (n=0,1,2,...)故有,因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為?.,45,同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:,因?yàn)閟in z與cos z在復(fù)平面上處處解析, 所以這些等式也在復(fù)平面內(nèi)處處成立.,46,除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)(定理四), 以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如

16、sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:,47,48,,例2 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.[解] ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn), 所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).,,,,,,,,-1,O,,R=1,x,y,49,50,51,作業(yè) 第四章習(xí)題,第143頁(yè)開始第11,12題,52,請(qǐng)?zhí)釂?53,定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)