工程數(shù)學(xué)第8講_第1頁(yè)
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1、1,第六章 共形映射,2,,本章先分析解析函數(shù)所構(gòu)成的映射的特性,引出共形映射這一重要概念.這種映射在實(shí)際問(wèn)題中,如流體力學(xué),彈性力學(xué),電學(xué)等學(xué)科中都有重要應(yīng)用。,3,,在許多物理應(yīng)用中,要求一個(gè)二元實(shí)函數(shù),它在已知區(qū)域調(diào)和,在邊界上滿足已知條件.在一些區(qū)域比較簡(jiǎn)單的情形,可從直接找到解析解,但當(dāng)區(qū)域復(fù)雜時(shí),可通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)墓残斡成浒驯容^復(fù)雜的區(qū)域映到比較簡(jiǎn)單的區(qū)域上去討論.,4,因?yàn)橐粋€(gè)拉普拉斯方程的解經(jīng)過(guò)共形映射仍是 相應(yīng)的拉普

2、拉斯方程的解:定理 如果,數(shù),這個(gè)函數(shù)仍滿足拉普拉斯方程,5,,注:可證明,6,§1 共形映射的概念,7,z平面內(nèi)的任一條有向連續(xù)曲線C可用z=z(t), a?t?b表示, 它的正向取為t增大時(shí)點(diǎn)z移動(dòng)的方向, z(t)為一連續(xù)函數(shù).如果z '(t0)?0,a<t0<b, 則表示z '(t)的向量(把起點(diǎn)放取在z0. 以下不一一說(shuō)明)與C相切于點(diǎn)z0=z(t0).,,,,z(t0),

3、z(a),z(b),z '(t0),8,事實(shí)上, 如果通過(guò)C上兩點(diǎn)P0與P的割線P0P的正向?qū)?yīng)于t增大的方向, 則這個(gè)方向與表示,的方向相同.,,,O,x,y,,,,,z(t0),P0,P,z(t0+Dt),C,(z),9,當(dāng)點(diǎn)P沿C無(wú)限趨向于點(diǎn)P0, 割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線. 因此, 表示,的向量與C相切于點(diǎn)z0=z(t0), 且方向與C的正向一致. 如果我們規(guī)定這個(gè)向量的方向作為C上點(diǎn)z0處的切線的正向,

4、 則我們有Arg z '(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點(diǎn)的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點(diǎn)處切線正向間夾角,10,,,,,x,y,o,,,,,z0,,11,12,1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), 且,,w =f(z),G,13,設(shè)C為z平面內(nèi)通過(guò)點(diǎn)z0的一條有向光滑曲線, 它的參數(shù)方程是: z=z(t), a

5、?t?b,它的正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向, 且z0=z(t0), z '(t0)?0, a<t0<b.,映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過(guò)點(diǎn)z0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G, 它的參數(shù)方程是w=f[z(t)], a?t?b 正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向.,14,根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法, 有w ' (t0)=f ' (z0)z ' (t0)?0因此, 在

6、G上點(diǎn)w0處也有切線存在, 且切線正向與u軸正向的夾角是,Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0),15,即 Arg w '(t0)-Arg z '(t0)=Arg f '(z0) (6.1.1)如果假定x軸與u軸, y軸與v軸的正向相同, 而且將原來(lái)的切線的正向與映射過(guò)后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角, 則

7、(6.1.1)式表明:,1)導(dǎo)數(shù)f '(z0)的輻角Arg f '(z0)是曲線C經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角;2)轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無(wú)關(guān). 所以這種映射具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性.,16,通過(guò)z0點(diǎn)的可能的曲線有無(wú)限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質(zhì), 即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度Arg f '(z0).,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0

8、,,,,,,,,,17,相交于點(diǎn)z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角, 在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對(duì)應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角, 所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,Z1(t),Z2(t),w1(t),w2(t),18,,證明:,19,此極限值稱為曲線C在z0的伸縮率.,,w

9、 =f(z),20,(6.1.3)表明:|f '(z)|是經(jīng)過(guò)映射w=f(z)后通過(guò)點(diǎn)z0的任何曲線C在z0的伸縮率, 它與曲線C的形狀及方向無(wú)關(guān). 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.,21,定理一 設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), 且f ' (z0)?0, 則映射w=f(z)在z0具有兩個(gè)性質(zhì):1)保角性. 即通過(guò)z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過(guò)映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變

10、2)伸縮率的不變性. 即通過(guò)z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f '(z0)|而與其形狀和方向無(wú)關(guān).,22,2. 共形映射的概念定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的, 在z0具有保角性和伸縮率不變性, 則稱映射w=f(z)在z0是共形的, 或稱w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點(diǎn)都是共形的, 就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射.,23,定理二 如果函數(shù)w=f(z)在z0解析, f

11、 '(z0)?0;且函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的, 則映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表示這個(gè)映射在z0的轉(zhuǎn)動(dòng)角, |f '(z0)|表示伸縮率.如果解析函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)處處有f '(z)?0;且是一一的, 則映射w=f(z)是D內(nèi)的共形映射.,24,,,定理一的幾何意義. 在D內(nèi)作以z0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小三角形, 在映射下, 得到一個(gè)以w0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小曲邊

12、三角形, 這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比近似為|f '(z0)|, 有一個(gè)角相等, 則這兩個(gè)三角形近似相似.,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,25,,,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,26,例,解,27,§2 分式線性映射,28,1. 分式線性映射的定義,,29,,30,兩個(gè)分式線性映射的復(fù)合

13、, 仍是一個(gè)分式線性映射. 例如,31,也可將一般的分式線性映射分解為一些簡(jiǎn)單映射的復(fù)合,,32,由此可見(jiàn), 一個(gè)一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射復(fù)合而成:,下面討論三種映射, 為了方便, 暫且將w平面看成是與z平面重合的.,33,i)w=z+b. 這是一個(gè)平移映射. 因?yàn)閺?fù)數(shù)相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離|b|后, 就得到w.,,,O,(z)?(w),,,,,,z,w,b,34,ii)w=az, a?0

14、. 這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)的映射. 設(shè)a=leia將z先轉(zhuǎn)一個(gè)角度a, 再將|z|伸長(zhǎng)(或縮短)l倍后, 就得到w.,,,O,(z)=(w),,,z,w,,,a,35,圓周的對(duì)稱點(diǎn),在以圓心為起點(diǎn)的一條半直線上,如果有兩點(diǎn)P, P'滿足:OP?OP ' =r2,則稱P與P'關(guān)于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn)..規(guī)定:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是圓心O.,P與P'關(guān)于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn),36,圓周的對(duì)稱點(diǎn),P與P'關(guān)

15、于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn),37,圓周的對(duì)稱點(diǎn),如果有兩點(diǎn)Z, Z'滿足:則Z與Z'關(guān)于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn)..,P與P'關(guān)于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn),38,,,,,,,,,,z,w1,w,,Z關(guān)于圓周 |Z|=1 對(duì)稱的點(diǎn)w1滿足,,,39,1.保角性,40,41,而i)與ii)構(gòu)成的復(fù)合映射w=az+b經(jīng)過(guò)類似的處理后也可以看作是在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面上共形的,而分式線性映射是上述三種映射復(fù)合而構(gòu)成的,因此有定理一 分式

16、線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的, 且具有保角性.,42,2.保圓性映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性, 這里將直線看作是無(wú)窮大半徑的圓,這種性質(zhì)稱作保圓性.,映射w=az+b顯然具有將圓周映射成圓周的特性,下面說(shuō)明w=1/z具有保圓性:,43,因此, 映射w=1/z將方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0變?yōu)榉匠蘢(u2+v2)+bu-cv+a=0,可能是 將圓周映射為圓周(當(dāng)a?0,d

17、?0); 將圓周映射成直線(當(dāng)a?0,d=0); 將直線映射成圓周(當(dāng)a=0,d?0)將直線映射成直線(當(dāng)a=0,d=0).,44,這就是說(shuō), 當(dāng)把直線看成經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周時(shí),映射w=1/z把圓周映射成圓周或者說(shuō), 映射w=1/z具有保圓性.,45,定理二 分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周, 即具有保圓性.,根據(jù)保圓性, 在分式線性映射下, 如果給定的圓周或直線上沒(méi)有點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)

18、點(diǎn), 則它就映射成半徑為有限的圓周; 如果有一個(gè)點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 它就映射成直線.,46,47,48,z1,z2是關(guān)于圓周C的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是經(jīng)過(guò)z1,z2的任何圓周G 都與C正交.,,,C,R,,,,,,z0,z1,z2,z',G,49,,定理三 設(shè)點(diǎn)z1,z2是關(guān)于圓周C的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn), 則在分式線性映射下, 它們的象點(diǎn)w1與w2也是關(guān)于C的象曲線C '的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn).[證] 設(shè)經(jīng)過(guò)w1與w2的任一圓

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