數學史-第04講-希臘數學史

1、第四講 希臘數學史,希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數學家們創(chuàng)造的數學。是一個習慣用語，并不等同于希臘這個國家或地區(qū)所創(chuàng)造的數學。,希臘數學一般指從公元前600年至公元600 年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數學家們創(chuàng)造的數學。是一個習慣用語，并不等同于希臘這個國家或地區(qū)所創(chuàng)造的數學

2、。,希臘數學分期：雅典時期：B.C.600年～B.C.323年（亞歷山大帝亡）代表人物：泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖亞歷山大時期：B.C.323年～A.D.600年代表人物：三大幾何學家（歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼）,希臘主要學派介紹,1.愛奧尼亞學派（米利都學派）創(chuàng)始人：泰勒斯（公元前625－前547年），被稱為“希臘哲學、科學之父”。哲學觀：水生萬物，萬物歸于水。數學貢獻：創(chuàng)數學命題邏輯證明之先河，希臘幾何學的鼻祖，最

3、早留名于世的數學家，測量過金字塔的高度，預報了公元前585年的一次日食。,2.畢達哥拉斯學派（米利都學派）創(chuàng)始人：畢達哥拉斯（約公元前560年－前480年），在薩摩斯鳥建立了具有宗教、哲學、科學性質的學派，致力于哲學和數學的研究，繁榮興旺達一個世紀以上。哲學觀：萬物皆為數。數學貢獻：數學研究抽象概念的認識歸功于畢達哥拉斯學派，畢達哥拉斯定理，完全數、親和數，正五角星作圖與“黃金分割”，發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”。,3.伊利亞學派代表人

4、物：芝諾（給公元前490－前430年）數學貢獻：芝諾悖論的提出，把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續(xù)和離散的關系以非數學的形態(tài)提出，并進行了辯證的考察。,4.詭辯學派（智人學派）活躍于公元前5世紀下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，故亦稱智人學派。代表人物有：安蒂豐（約公元前480－前411年）、希比阿斯、布里松等。數學貢獻：安蒂豐的“窮竭法”；古典幾何三大作圖問題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。,5.柏拉圖學派創(chuàng)始人：柏

5、拉圖（約公元前427－前347年）對于歐洲的哲學乃至整個文化的發(fā)展，有著深遠的影響。柏拉圖說：“不懂幾何者免進”，認為打開宇宙之謎的鑰匙是數學與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數學知識的思想。柏拉圖不是數學家，卻贏得了“數學家的締造者”的美稱，創(chuàng)辦雅典學院（前387－公元529年），講授哲學與數學。,希臘著名數學家介紹,泰勒斯（科學之祖）約公元前624 --- 公元前547或546年古希臘時期的思想家、科學家、哲學家，米

6、利都學派的創(chuàng)始人，希臘七賢之一，西方思想史上第一個有記載有名字留下來的思想家。哲學觀點：“水生萬物，萬物復歸于水” 。數學貢獻：引入命題證明的思想；發(fā)現(xiàn)并證明了許多幾何學基本定理。天文學貢獻：對太陽的直徑進行了測量和計算；確定一年為365天；正確解釋日食原因并預測了一次日食。,歐幾里得（約公元前330年—前275年） “幾何之父” 生于雅典，從小接受了希臘 古典數學和各種科學文化，30歲就成了有名的學者。數學貢獻：《幾何原本》

7、、《數據》、《論剖分》、《現(xiàn)象》、《光學》、《鏡面反射》等。,阿基米德(約前287～前212) “數學之神”“流體靜力學之父”。出生于西西里島的敘拉古 ，其父親是天文學家兼數學家。數學貢獻：確定了拋物線弓形、螺線、圓形的面積以及橢球體、拋物面體等各種復雜幾何體的表面積和體積的計算方法；科學的研究圓周率的第一人；首創(chuàng)了記大數的方法；提出了著名的阿基米德公理 。 天文學貢獻：發(fā)明了用水利推動的星球儀，并用它模擬太陽、行星和月亮的運行

8、及表演日食和月食現(xiàn)象；他認為地球是圓球狀的，并圍繞著太陽旋轉，這一觀點比哥白尼的“日心地動說”要早一千八百年。限于當時的條件，他并沒有就這個問題做深入系統(tǒng)的研究。 力學貢獻：浮力原理 、杠桿原理 等。,阿波羅尼(公元前262~公元前190）出生于小亞細亞的珀爾加。數學貢獻：《圓錐曲線論》。,丟番圖（246～330） “代數學之父”亞歷山大的丟番圖對代數學的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數論學者有很深的影響。丟番圖的《算術》是講數

9、論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程?，F(xiàn)在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。引入未知數，創(chuàng)設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。,丟番圖的墓志銘“此墓地安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了他所經歷的人生。上帝給予他童年占一生的六分之一，又過二分之一，他兩頰長須，再過七分之

10、一，點燃了婚姻的蠟燭。五年之后喜得貴子，可憐他的暮生兒，享年僅是他的一半，便進入了冰冷的墳墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途?！?希帕蒂婭(約370--415)出生在埃及。是古希臘著名數學家。人稱世界上第一位女數學家。 數學貢獻：希帕蒂婭同父親一起，對《幾何原本》進行修訂、潤色、加工及其大量評注，成為當今各種文字的《幾何原本》的始祖。獨立寫了一本《丟番圖〈算術〉評注》。評注了阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》，并在

11、此基礎上寫出適于教學的普及讀本。與父親合寫了《天文學大成評注》，獨立寫了《天文準則》等．,希臘數學代表著作,歐幾里得的《幾何原本》,古希臘數學家歐幾里得是與他的巨著——《原本》一起名垂千古的。在《原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，并把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學論證方法，

12、形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。,歐幾里得所著的《原本》大約成書于公元前300年，原書早已失傳，如今見到的《幾何原本》是經過后來的數學家們修改過的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，書中大部分內容有關圖形的知識（即幾何知識）。兩千多年來，《幾何原本》一直是學習數學幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的

13、成就。,1582年，意大利人利瑪竇到中國傳教，帶來了15卷本的《原本》。1600年，明代數學家徐光啟（1562- 1633）與利瑪竇相識后，便經常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》。后9卷是1857年由中國清代數學家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞力譯完的。,,《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）

14、。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最后一條公設就是著名的平行公設），這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。,五條公設,1.過兩點能作且只能作一直線；2.線段(有限直線)可以無限地延長；3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；

15、4.凡是直角都相等；5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小于180°，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交。（近代數學不區(qū)分公設，公理，統(tǒng)一稱為公理）最后一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。值得注意的是，第五公設既不能說是正確也不能說是錯誤，它所概括的是一種情況。非歐幾何則在推翻第五公設的前提下

16、進行了另外情況的討論。,第一卷：幾何基礎。重點內容有三角形全等的條件（全等三角形判定定理），三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個命題是畢達哥拉斯定理（又稱畢氏定理）的正逆定理；第二卷：幾何與代數。講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當于余弦定理。第三卷：本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。第四卷：討論圓內接四邊形和外切多邊形的尺規(guī)作圖作法和性質；

17、第五卷：討論比例理論，多數是繼承自歐多克斯的比例理論,被認為是"最重要的數學杰作之一"。,第六卷：講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質。第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術的理論；第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內容以及立體幾何的相關體積、側面積、表面積的計算與證明。 從這些內容可以看出，目

18、前屬于中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬于《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐氏幾何。,意義影響,在幾何學上的影響和意義在幾何學發(fā)展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的“根據”和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開

19、全部幾何學，這項工作，前人未曾作到?！稁缀卧尽返恼Q生，標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學方法的學科。并且《幾何原本》中的命題1.47，證明了在西方是歐幾里德最先發(fā)現(xiàn)的勾股定理，從而說明了歐洲是西方最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的大洲。（中國發(fā)現(xiàn)勾股定理的是商高，時間為公元前1120年，比歐洲早約八百余年。）,論證方法上的影響關于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候

20、成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發(fā)，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。,作為教材的影響從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到如今，已經過去了兩千多年，盡管科學技術日新月異，由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、

21、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。,《原本》的缺憾但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推

22、理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。,丟番圖的《算術》,對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。亞歷山大時期的丟番圖對代數學的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數論學者有很深的影響。丟番圖的《算術》是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程?，F(xiàn)在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數，而只要求是正有理數

23、。 從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍。代數學區(qū)別于其它學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算。就引入未知數，創(chuàng)設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。,希臘數學自畢達哥拉斯學派后，興趣中心在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式

24、之中。直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆。他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數學中獨樹一幟。他被后人稱為『代數學之父』不無道理。,《算術》共有13卷，但15世紀發(fā)現(xiàn)的希臘文本僅6卷。1973年伊朗境內的馬什哈德又發(fā)現(xiàn)了4卷阿拉伯文，這樣，現(xiàn)存的算術只有10卷，共290個問題。[2] 《算術》具有東方的色彩，用純分析的角度處理數論問題。這是希臘算術與代

25、數的最高途徑。它傳到歐洲是比較晚的。16世紀，胥蘭德翻譯出版了拉丁文《算術》。其后，巴歇出版了經他校訂的希臘文——拉丁文對照本，這使得費馬走向近代數論之路，他在這個本子上寫了許多批注，包括著名的費馬大定理。費馬的兒子將全部批注插入正文，與1670年再版。,阿波羅尼的《圓錐曲線論》,《圓錐曲線論》是一部非凡的巨著，其主要成就是建立了完善的圓錐曲線論。它先設若干定義，再依次證明各個命題，推理十分嚴謹。其篇幅很長，前七卷有387個命題，完全用

26、文字來表達，沒有使用符號和公式。命題的敘述較冗長，言辭有時也較含混，這是希臘數學著作中較難讀的一本書。,阿波羅尼是第一個從同一圓錐的切面上來研究圓錐曲線的人。第一卷：以一個平面按不同的角度與圓錐相交，分別得出拋物線、橢圓和雙曲線，并予以定義。第二卷：描述漸近線的性質和求圓錐曲線的直徑、拋物線的軸、橢圓和雙曲線的軸和中心的方法，還說明了做曲線的切線的各種方法。第三卷：給出一些定理，包括關于面積的定理，極點和極軸的調和性質，相交弦線段

27、乘積定理等，還介紹了一些有關軌跡的問題，最后敘述了有心二次曲線的焦點性質。但在著作中沒有講到圓錐曲線的準線性質和拋物線的焦點。,第四卷：討論圓錐曲線相交的定理，也證明了極點和極軸的調和性質的逆命題。第五卷：論述從一定點到圓錐曲線所能作的最短和最長的線，并由此引出法線的概念。第六卷：主要講全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形等問題。第七卷：給出了一批涉及共軛直徑的定理，包括在一對共軛直徑的端點作有心圓錐曲線的切線，四條切線構成的

28、平行四邊形的面積恒等的定理。第八卷：已失傳。,《圓錐曲線論》是一部經典巨著，它代表了希臘解析幾何的最高水平。直到17世紀的笛卡爾和帕斯卡，才在圓錐曲線的理論方面有所超越。雖然當時阿波羅尼尚無坐標概念，但在他的討論中已隱含了坐標的意思。在以后的解析幾何和射影幾何這兩個方向的數學思想和基本原理，幾乎都可以在阿波羅尼的工作中找到。,希臘數學的衰落,希臘數學從興旺到衰退，歷時一千多年，最后的終結是一以下幾件事作為標志的：1.公元415年，女

29、數學家，新柏拉圖學派的領袖希帕提婭()遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標志著希臘文明的衰弱，亞歷山大里亞大學有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復返了。2.公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼(J)下令關閉雅典的學校，嚴禁研究和傳播數學，數學發(fā)展再次受到致命的打擊。3.公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚(第一次是在公元前46年)，希臘數學悠久燦爛的歷史，至此終結。,希臘數學衰落的內因,希臘數學的衰落除了政治原因外，希臘數學傳

30、統(tǒng)的局限性也阻礙它繼續(xù)繁榮。1.古希臘數學家過分強調邏輯性與嚴密性。2.偏愛幾何輕代數，即使是代數問題也要幾何來加以證明，束縛了非幾何分支的發(fā)展。3.古希臘數學大多數（也有少數例外，如阿基米德）鄙視應用，熱衷于抽象，堵塞了從實際問題中提煉數學概念、理論與解法的渠道。,中國古代數學與古希臘數學對比,1、數學產生的自然、社會背景不同。古希臘由希臘半島和一群多巖石島嶼組成，土地貧瘠，農業(yè)落后，但其三面環(huán)海的地理位置十分有利于航海貿易，

31、航海旅行擴大了各種文化的交流，使其可以學習各地文化的精華，并通過展開討論研究，發(fā)展起自己的科學理論體系。中國大部分位于內陸地區(qū)，土地廣博，物產豐饒，自給自足，形成了穩(wěn)定、封閉、保守的社會環(huán)境，在這樣的農業(yè)社會形態(tài)下，獨立發(fā)展起了自己的一個較完整的、 以注重實用為特點的算法體系。古希臘由眾多小城邦組成，財富和權力分散，使得民主政體得以發(fā)展，在寬松的社會環(huán)境中，知識階層進行著廣泛的接觸和交流，唯理論研討的氣氛濃厚，促進了數學的發(fā)展。中

32、國在約公元前2000年左右，即進入了中央集權的奴隸占有制社會，實行小農經濟，講究血緣關系，等級觀念森嚴，在這種封建家長制的約束下，新思想很難形成氣候，束縛了數學的發(fā)展。,2、 研究重點不同。古希臘學者把形式和數量關系從實物中提取出來加以認識，使數學擺脫了對實物的依賴，明顯出現(xiàn)了哲理探求的端倪，表現(xiàn)出推理的意欲，但重理論輕物質，把理論高居于實用之上，不屑于搞數的計算，導致實用算術和代數長期落后。中國古典數學以直覺邏輯思維和直觀形象思維

33、為主，著重于研究和解決實際問題，出現(xiàn)了實用性傾向，但缺乏理論研究和哲理思考，自覺性程度和抽象化意識不夠。,3、 代表著作比較歐幾里德的《幾何原本》，將古希臘時代許多數學發(fā)現(xiàn)作了系統(tǒng)而成功的整理，用嚴格的公理演繹方法來推理，深刻提示了數學的本質特征，并提供了無懈可擊的論證，還補充了若干新命題。缺陷主要在于其邏輯結構不夠嚴密和完整。劉徽注的《九章算術》總結了我國從先秦到西漢的數學成果，初步形成了以問題為中心的算法體系，劉徽注文突出體現(xiàn)其

34、哲理思考，開創(chuàng)了中國古代數學系統(tǒng)論證的先河，明顯有了推理和論證的意識，將中國古代數學的理論化進程大大向前推進了一步。局限性在于缺乏線條清晰的、結構化的邏輯系統(tǒng)。,4、 優(yōu)劣性比較古希臘的數學對后世的影響是深遠的，它產生了一種理性精神，增強了人們用理性思維獲取成功的信念。這種思想造就了一代代數學家，并由他們進一步形成了一套公理化方法，使數學的各個分支相繼得到發(fā)展，并滲透到其它科學領域。但是這種排斥數學應用的思潮所潛伏的危機也日益明顯凸現(xiàn)

35、出來。中國古典數學注重計算實際問題的技術，不講究數學的邏輯體系，很少提到思辨性要求。這種思想有利于把數學同生產實踐緊密結合起來，充分發(fā)揮數學的應用價值。但是這種思想的弊端也是明顯的，只是把數學作為一種技術，沒有充分注意數學的嚴密邏輯性和高度抽象性，因而使認識只能停留在經驗型的直觀感悟層次上。,5.造成衰退的原因的比較： 　　　希臘數學自公元前150年開始衰落，原因有以下幾點：　　　設備、理論和假說有待于檢驗。公元前31年羅馬戰(zhàn)勝埃

36、及之后，政府的支持減少。奴隸勞動使用的增加，沒有必要考慮節(jié)省勞動的辦法，科學家失去了創(chuàng)造發(fā)明的動力。興趣轉向哲學、文學和宗教；宗教首領常與科學的追根究底的精神互相對立。公元529年，最后一所希臘學?！诺鋵W校被關閉。,中國數學從14世紀開始，處于緩慢發(fā)展階段。其原因有以下幾點：　　　中國數學本身的弱點。例如，無適應性的符號，不便于運算等。數學家的思想或世界觀的影響。例如，用唯心主義思想解釋數學產生等。社會原因。例如，知識分子地位低下，

37、廢除科舉制，自由思想窒息等。,總括而言，希臘數學的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財富，不論從數量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數學家取得具體成果更重要的是：希臘數學產生了數學精神，即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及自然界依數學方式設計的信念，為數學乃至科學的發(fā)展起了至關重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恒的不可抗拒的規(guī)律性等一系列思想，則在人類文化發(fā)展史上占據了重要的地位。成就有：,1.希臘

38、人將數學抽象化，使之成為一種科學，具有不可估量的意義和價值。希臘人堅持使用演繹證明，認識到只有用勿容置疑的演繹推理法才能獲得真理。要獲得真理就必須從真理出發(fā)，不能把靠不住的事實當作已知。從《幾何原本》中的10個公理出發(fā)，可以得到相當多的定理和命題。2.希臘人在數學內容方面的貢獻主要是創(chuàng)立平面幾何、立體幾何、平面與球面三角、數論，推廣了算術和代數，但只是初步的，尚有不足乃至錯誤。3.希臘人重視數學在美學上的意義，認為數學是一種美，是和