數(shù)學(xué)史 (9)

1、數(shù)與形的完美結(jié)合——解析幾何的產(chǎn)生,高二三班王瑾 祁輝 王琦 楊瀚宇,笛卡爾,笛卡兒（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法國都蘭城。笛卡兒是偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。,笛卡爾生平,笛卡兒生于法國的一個(gè)貴族之家，笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會(huì)的議員，同時(shí)也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對(duì)周圍的事物充滿了

2、好奇，父親見他頗有哲學(xué)家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學(xué)家”。,父親希望笛卡兒將來能夠成為一名神學(xué)家，于是在笛卡兒八歲時(shí)，便將他送入拉弗萊什的耶穌會(huì)學(xué)校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書 。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。,在1634年寫了《論世界》，書中總結(jié)了他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和許多自然科學(xué)問題上的看法。1641年出版了《行而上學(xué)的沉思》，1644年又出版了《哲

3、學(xué)原理》等。他的著作在生前就遭到教會(huì)指責(zé)，死后又被梵蒂岡教皇列為禁書，但這并沒有阻止他的思想的傳播。 笛卡兒不僅在哲學(xué)領(lǐng)域里開辟了一條新的道路，同時(shí)笛卡兒又是一勇于探索的科學(xué)家，在物理學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域都有值得稱道的創(chuàng)見，特別是在數(shù)學(xué)上他創(chuàng)立了解析幾何，從而打開了近代數(shù)學(xué)的大門，在科學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。,笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果集中在他的“幾何學(xué)”中。當(dāng)時(shí)，代數(shù)還是一門比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。在笛卡兒之

4、前，幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個(gè)不同的研究領(lǐng)域。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認(rèn)為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對(duì)于當(dāng)時(shí)流行的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)

5、”。,1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了

6、變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。,最為可貴的是，笛卡兒用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點(diǎn)、線、面）和“數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有

7、了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。,笛卡兒在其他科學(xué)領(lǐng)域的成就同樣累累碩果。笛卡兒靠著天才的直覺和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻(xiàn)。從1619年讀了開普勒的光學(xué)著作后，笛卡兒就一直關(guān)注著透鏡理論；并從理論和實(shí)踐兩方面參與了對(duì)光的本質(zhì)、反射與折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個(gè)知識(shí)體系中最重要的部分。笛卡兒堅(jiān)信光是“即時(shí)”傳播的，

8、他在著作《論人》和《哲學(xué)原理》中，完整的闡發(fā)了關(guān)于光的本性的概念。,他還從理論上推導(dǎo)了折射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發(fā)現(xiàn)光的折射定律的榮譽(yù)。他還對(duì)人眼進(jìn)行光學(xué)分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設(shè)計(jì)了矯正視力的透鏡。在力學(xué)方面，他提出了宇宙間運(yùn)動(dòng)量總和是常數(shù)的觀點(diǎn)，創(chuàng)造了運(yùn)動(dòng)量守恒定律，為能量守恒定律奠定了基礎(chǔ)。他還指出，一個(gè)物體若不受外力作用，將沿直線勻速運(yùn)動(dòng)。,笛卡兒在其他的科學(xué)領(lǐng)域還有不少值得稱道的創(chuàng)見。他發(fā)展了宇宙演化論，

9、創(chuàng)立了漩渦說。他認(rèn)為太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動(dòng)著行星不斷運(yùn)轉(zhuǎn)。物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運(yùn)動(dòng)中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡兒的這一太陽起源的旋渦說，比康德的星云說早一個(gè)世紀(jì)，是17世紀(jì)中最有權(quán)威的宇宙論。他還提出了刺激反應(yīng)說，為生理學(xué)做出了一定的貢獻(xiàn)。 笛卡兒近代科學(xué)的始祖。笛卡兒是歐洲近代哲學(xué)的奠基人之一，黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學(xué)史上產(chǎn)生

10、了深遠(yuǎn)的影響。同時(shí)，他又是一位勇于探索的科學(xué)家，他所建立的解析幾何在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。笛卡兒堪稱17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”。,1649年冬，笛卡兒應(yīng)瑞典女王克里斯蒂安的邀請(qǐng)，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學(xué)家，為瑞典女王授課。由于他身體孱弱，不能適應(yīng)那里的氣候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。終年54歲。1799年法國大革命后，笛卡兒的骨灰被送到了法國歷史博物館。,一個(gè)為情感

11、所支配，行為便沒有自主之權(quán)，而受命運(yùn)的宰割。 當(dāng)感情只是勸我們?nèi)プ隹梢跃徯械氖碌臅r(shí)候，應(yīng)當(dāng)克制自己不要立刻作出任何判斷，用另一些思想使自己定一定神，直到時(shí)間和休息使血液中的情緒完全安定下來。讀一切好的書,就是和許多高尚的人說話。 愈學(xué)習(xí)，愈發(fā)現(xiàn)自己的無知。所有的好書，讀起來就像同過去世界上最杰出的人們談話。 讀一切好的書，就是和許多高尚的人說話。 恐懼的主要原因是驚奇，擺脫它的最好辦法是臨事先思考，并

12、使自己對(duì)所有不測(cè)事件（驚奇是由對(duì)它們的害怕引起的）有所準(zhǔn)備。 笛卡爾,解析幾何的誕生,文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了古希臘的幾何學(xué)，也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)。利學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點(diǎn)的方法”。 在《幾何學(xué)》卷一中，他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解

13、析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。,笛卡兒把幾何問題化成代數(shù)問題，提出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。 在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，

14、為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類。 《幾何學(xué)》一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。此后，人類進(jìn)入變量數(shù)學(xué)階段。,幾何學(xué),中國：學(xué)過數(shù)學(xué)的人，都知道它有一門分科叫作“幾何

15、學(xué)”，然而卻不一定知道“幾何”這個(gè)名稱是怎么來的。在我國古代，這門數(shù)學(xué)分科并不叫“幾何”，而是叫作“形學(xué)”?！皫缀巍倍郑谥形睦镌纫膊皇且粋€(gè)數(shù)學(xué)專有名詞，而是個(gè)虛詞，意思是“多少”。比如三國時(shí)曹操那首著名的《龜雖壽》詩，有這么兩句：“對(duì)酒當(dāng)歌，人生幾何？”這里的“幾何”就是多少的意思。那么，是誰首先把“幾何”一詞作為數(shù)學(xué)的專業(yè)名詞來使用的，用它來稱呼這門數(shù)學(xué)分科的呢？這是明末杰出的科學(xué)家徐光啟。,幾何學(xué)有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何

16、基于一組公設(shè)和定義，人們?cè)诠O(shè)的基礎(chǔ)上運(yùn)用基本的邏輯推理構(gòu)做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統(tǒng)的第一個(gè)范例，對(duì)西方數(shù)學(xué)思想的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。一千年后，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標(biāo)引入幾何，帶來革命性進(jìn)步。從此幾何問題能以代數(shù)的形式來表達(dá)。實(shí)際上，幾何問題的代數(shù)化在中國數(shù)學(xué)史上是顯著的方法。笛卡兒的創(chuàng)造，是否有東方數(shù)學(xué)的影響在里面，由于東西方數(shù)學(xué)交流史研究的欠缺，尚不得而知。歐幾里得幾何學(xué)的第五公設(shè)，由于

17、并不自明，引起了歷代數(shù)學(xué)家的關(guān)注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。,古代幾何學(xué),幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數(shù)學(xué)），古印度（參看古印度數(shù)學(xué)），和古巴比倫（參看古巴比倫數(shù)學(xué)），其年代大約始于公元前3000年。早期的幾何學(xué)是關(guān)于長(zhǎng)度，角度，面積和體積的經(jīng)驗(yàn)原理，被用于滿足在測(cè)繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實(shí)際需要。在它們中間，有令人驚訝的復(fù)雜的原理，以至于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家很難不用微積分來推導(dǎo)它們。例如，埃

18、及和巴比倫人都在畢達(dá)哥拉斯之前1500年就知道了畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺(tái)（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個(gè)三角函數(shù)表。中國文明和其對(duì)應(yīng)時(shí)期的文明發(fā)達(dá)程度相當(dāng)，因此它可能也有同樣發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)，但是沒有那個(gè)時(shí)代的遺跡可以使我們確認(rèn)這一點(diǎn)。也許這是部分由于中國早期對(duì)于原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。,平面幾何 立體幾何 非歐幾何 羅氏幾何 黎曼

19、幾何 拓?fù)鋵W(xué) 解析幾何 射影幾何 仿射幾何 代數(shù)幾何 微分幾何 計(jì)算幾何,費(fèi)馬,費(fèi)馬(Pierre de Fermat，1601～1665）法國著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”,費(fèi)馬的生平,費(fèi)馬（也譯為“費(fèi)爾馬”）1601年8月17日出生于法國南部。他的父親在當(dāng)?shù)亻_了一家大皮革商店，擁有相當(dāng)豐厚的產(chǎn)業(yè)，使得費(fèi)馬從小生活在富裕舒適的環(huán)境中。　　費(fèi)馬的父親

20、由于富有和經(jīng)營(yíng)有道，頗受人們尊敬，并因此獲得了地方事務(wù)顧問的頭銜，但費(fèi)馬小的時(shí)候并沒有因?yàn)榧揖车母辉６a(chǎn)生多少優(yōu)越感。費(fèi)馬的母親出身穿袍貴族。父母構(gòu)筑了費(fèi)馬極富貴的身價(jià)。　　費(fèi)馬小時(shí)候受教于他的叔叔，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛好，對(duì)他的性格也產(chǎn)生了重要的影響。直到14歲時(shí)，費(fèi)馬才進(jìn)入博蒙·德·洛馬涅公學(xué)，畢業(yè)后先后在奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。,費(fèi)馬生性內(nèi)向，謙抑好靜，不善推銷自己，不善展示自

21、我。因此他生前極少發(fā)表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版。他發(fā)表的一些文章，也總是隱姓埋名。《數(shù)學(xué)論集》還是費(fèi)馬去世后由其長(zhǎng)子將其筆記、批注及書信整理成書而出版的。我們現(xiàn)在早就認(rèn)識(shí)到時(shí)間性對(duì)于科學(xué)的重要，即使在l7世紀(jì)，這個(gè)問題也是突出的。費(fèi)馬的數(shù)學(xué)研究成果不及時(shí)發(fā)表，得不到傳播和發(fā)展，并不完全是個(gè)人的名譽(yù)損失，而是影響了那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)前進(jìn)的步伐。,對(duì)費(fèi)馬來說，真正的事業(yè)是學(xué)術(shù)，尤其是數(shù)學(xué)。費(fèi)馬通曉法語、意大利語、西班牙語、拉丁語和希

22、臘語，而且還頗有研究。語言方面的博學(xué)給費(fèi)馬的數(shù)學(xué)研究提供了語言工具和便利，使他有能力學(xué)習(xí)和了解阿拉伯和意大利的代數(shù)以及古希臘的數(shù)學(xué)。正是這些，可能為費(fèi)馬在數(shù)學(xué)上的造詣莫定了良好基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上，費(fèi)馬不僅可以在數(shù)學(xué)王國里自由馳騁，而且還可以站在數(shù)學(xué)天地之外鳥瞰數(shù)學(xué)。這也不能絕對(duì)歸于他的數(shù)學(xué)天賦，與他的博學(xué)多才多少也是有關(guān)系的。,對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn),費(fèi)馬獨(dú)立于勒奈·笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。,《平面與立體軌跡引論》中道出了費(fèi)馬的

23、發(fā)現(xiàn)。他指出：“兩個(gè)未知量決定的—個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)比勒奈·笛卡兒發(fā)現(xiàn)解析幾何的基本原理還早七年。費(fèi)馬在書中還對(duì)一般直線和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)行了討論。,◆對(duì)微積分的貢獻(xiàn)　　　　16、17世紀(jì)，微積分是繼解析幾何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，至少有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的發(fā)明做了奠基性的工作。但在諸多先驅(qū)者當(dāng)中，費(fèi)

24、馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，以致于在微積分領(lǐng)域，在牛頓和萊布尼茨之后再加上費(fèi)馬作為創(chuàng)立者，也會(huì)得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。,曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項(xiàng)工作較為古老，最早可追溯到古希臘時(shí)期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾借助于窮竭法。由于窮竭法繁瑣笨拙，后來漸漸被人遺忘、直到16世紀(jì)才又被重視。由于約翰尼斯開普勒在探索行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，遇到了如何確定橢圓

25、形面積和橢圓弧長(zhǎng)的問題，無窮大和無窮小的概念被引入并代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法并不完善，但卻為自卡瓦列里到費(fèi)馬以來的數(shù)學(xué)家開辟廠一個(gè)十分廣闊的思考空間?！　≠M(fèi)馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對(duì)微積分做出了重大貢獻(xiàn)。,費(fèi)馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險(xiǎn)些喪命。1665年元旦一過，費(fèi)馬開始感到身體有變，因此于1月l0日停職。第三天，費(fèi)馬去世。費(fèi)馬被安葬在卡斯特雷斯公墓，后來改葬在圖盧茲的家族墓地中。,1、射