數(shù)學史選講

1、數(shù)學史選講,魯東大學數(shù)學與信息學院范永順2008年7月17日,,,一、圓周率的計算,1、劉徽的成就《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀魏晉時人，并于公元263年撰《九章算術注》。 《九章算術注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨立的著作，奠定了這位數(shù)學家在中國數(shù)學史上的不朽地位。,劉徽數(shù)學成就中最突出的是“割圓術”和體積理論 。,劉徽在《九章算術》方田章“圓田術”注中，提出割圓

2、術作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎。割圓術的要旨是用圓內接正多邊形去逐步逼近圓。劉徽從圓內接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計算逐次得到的正多邊形的面積和周長。他指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?劉徽從圓內接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一直計算到192邊形，得出了圓周率的精確到小數(shù)點后二位的近似值 ，化成分數(shù)為 ，這就是有名的“徽率”。,,2 祖沖之

3、關于圓周率的貢獻,祖沖之（公元429-500，如圖）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學家之一。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法《大明歷》，這在當時是最先進的歷法.,祖沖之關于圓周率的貢獻記載在《隋書》中，《隋書﹒律歷志》說：,“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二

4、秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間”。,也就是說，祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：.,《隋書﹒律歷志》還記載了祖沖之在圓周率計算方面的另一項重要結果：“密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，周二十二”。這就是說祖沖之還確定了圓周率的分數(shù)形式的近似值：約率 ；密率 。,在現(xiàn)代數(shù)論中，如果將圓周率 表示成連分數(shù)，其漸近分數(shù)是：,第4項正是密率，它是分子、分母不超過1000的分數(shù)中最接近 真值

5、的分數(shù)。“密率”也稱“祖率”。,3 阿爾·卡西求圓周率 阿爾·卡西(?—1429)求圓周率π=3.1415926535897932。精確到小數(shù)點后16位 計算圓面積、周長，實際上都在計算圓周率。 計算圓面積、周長都利用了遞推關系。,二 球體積,1 劉徽的成就 劉徽首先證明了《九章算術》中的球體積公式是不正確的，并在《九章算術》“開立圓術”注文中指出了一條推算球體積公式

6、的正確途徑。 劉徽創(chuàng)造了一個新的立體圖形，他稱之為“牟合方蓋”，并指出：一旦算出牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得。在一立方體內作兩個互相垂直的內切圓柱。這兩個圓柱體相交的部分，就是劉徽所說的“牟合方蓋”。牟合方蓋恰好把立方體的內切球包含在內并且同它相切。如果用同一個水平面去截它們，就得到一個圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）。,劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之

7、比都等于 ，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應該等于 。,劉徽在這里實際已用到了西方微積分史著作中所說的“卡瓦列利原理”，可惜沒有將它總結為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢？劉徽終于未能解決。,最后他說：“敢不闕疑，以俟(si)能言者!”,劉徽雖然沒有推證出球體積公式， 但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法，成為后來祖沖之父子在球體積問題上取得突破的先導。,劉徽《九章算術注》還有其他許多數(shù)學成果，特別是他在《九章算術》“

8、勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術注》第十卷，后來單獨刊行，稱為《海島算經》。,,用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （π/4） V牟。,2、 祖沖之與祖暅的成就,“小方蓋差” 與球體積公式,,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設為a，UQ是球半徑r，UP是高h。根據(jù)勾股定理得 a

9、2 = r2 – h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2,根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,,概言之，祖暅推導幾何圖形體積公式的方法是以下列兩條原理為基礎：,（1）出入相補原理；,（2）祖氏原理：冪勢既同，則積不容異。,祖氏原理在西方文獻中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學家卡瓦列利(B.Cavalier

10、i)獨立提出，對微積分的建立有重要影響。,劉徽和祖沖之父子的工作，思想是很深刻的，它們反映了魏晉南北朝時代中國古典數(shù)學中出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達到的高度。祖沖之父子的方法都記載在《綴術》中?！毒Y術》在隋、唐時期曾與《九章算術》一起被列為官學教科書，但《隋書﹒律歷志》中已說：“學官莫能究其深奧”了！《綴術》于公元10世紀在中國本土完全失傳。,3 阿基米德的數(shù)學成就,全部歷史上任何三個“最偉大”的數(shù)學家的名單都將包括阿基米德（Arc

11、himedes,公元前287-前212）的名字(通常與他相聯(lián)系的另外兩個名字是牛頓和高斯)。,阿基米德的著述極為豐富，但多以類似論文手稿而非大部巨著的形式出現(xiàn)。這些著述內容涉及數(shù)學、力學及天文學等，其中流傳于世的有：,(1)《圓的度量》；,(2)《拋物線求積》；,(3)《論螺線》；,(4)《論球和圓柱》；,(5)《論劈錐曲面和旋轉球體》；,(6)《引理集》；,(7)《處理力學問題的方法》；,(8)《論平面圖形的平衡或其重心》；,(9)《

12、論浮體》；,(10)《沙粒記數(shù)》；,(11)《牛群問題》。,阿基米德的數(shù)學著作集中探討與面積和體積計算相關的問題。在《圓的度量》中，阿基米德將窮竭法應用于圓的周長和面積公式。他從圓內正接三角形出發(fā)，邊數(shù)逐次加倍，計算到正96邊形而得到圓周率 的近似 。在《球和圓柱》中，他運用窮竭法證明了與球的面積和體積有關的公式。他證明的命題包括：任一球面積等于其大圓面積的四倍；以球的大圓為底，以球直徑為高的圓柱，其體積是球體積的 ，

13、其包括上、下底在內的表面積是球面積的 ；等等。,阿基米德的數(shù)學工作是嚴格證明與創(chuàng)造技巧相結合的典范，這在其《處理力學問題的方法》中有充分的體現(xiàn)?！斗椒ā钒ㄓ?5個命題，集中闡釋了發(fā)現(xiàn)求積公式的方法，這種通常稱為“平衡法”的方法，實質上是一種原始的積分法。它是將需要求積的量（面積、體積等）分成許多微小的單元（如微小線段、薄片等），再用另外一組微小單元來進行比較，而后一組微小單元的總和比較容易計算。只不過這兩組微小單元的比較是借助于

14、力學上的杠桿平衡原理來實現(xiàn)的。因此，平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，可以說是阿基米德數(shù)學研究的最大功績。阿基米德本人用它解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。,例：平衡法求球體積 當然，平衡法本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到他的方法在嚴密性上的不足，所以當他用平衡法求出一個面積或體積之后，必再用窮竭法給以嚴格的證明。這種發(fā)現(xiàn)與求證的雙重方法，是阿基米德獨特的思維模式，也可以說是他勝歐幾里得一籌之處。,設球的半

15、徑為R，如圖作球、圓柱、圓錐的軸截面。延長SN到T使TN=2R。在與N距離為x處割出厚度為△x的三個薄片（可看成近似的圓柱體），它們的體積分別是：球薄片:圓柱薄片： ，圓錐薄片： 將球薄片與圓錐薄片的重心吊在點T處，圓柱薄片的重心仍在原處，以N為支點考慮兩邊的力矩：,,,,左力矩=[ + ]2R= 右力矩= 將所有這些薄片繞

16、N點的力矩加在一起便得：（球體積+圓錐體積）2R= 4（圓柱體積）R ，球體積=2圓柱體積-圓錐體積,,,,,4、開普勒求體積開普勒把球看成是由無窮多個棱錐組成的，每個棱錐的頂點都在球心，底面在球的表面上，高等于球半徑r．把這些棱錐的體積加起來，由棱錐體積公式立即得到 用無窮多個同維的無限小元素之和來確定曲邊形面積和體積，這是開普勒求積術的核心，是他對積分學的最大貢獻．他的許多后繼者都吸取了這一精華．,5 卡瓦列里的工作伽

17、利略的學生卡瓦列里(1598—1647)不僅繼承了開普勒與伽利略的思想，而且有明顯的變革． 第一，他不再把幾何圖形看作同維無窮小元素所組成，而是看作由維數(shù)較低的無窮小元素所組成，并把這些無窮小元素稱為“不可分量”．例如，體積的不可分量是無數(shù)個平行的平面． 第二，他建立起兩個給定幾何圖形的不可分量之間的一一對應關系，若每對量的比都等于同一個常數(shù)，則他斷定兩個圖形的面積或體積也具有同樣比例． 所謂卡瓦列里原

18、理便是在此基礎上提出的，下面，我們以他對球體積的推導為例，說明他是怎樣通過不可分量的比較來求積的．,如圖11．3，設DHC是以O為圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形．以OH為旋轉軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐，而弧HC畫出半球面．用平行于底面的任意平面去截這些圖形，則產生以G為圓心的半徑分別為RG、FG和EG的圓，它們分別為圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在如下關系： OE2=GO2＋EG2即