數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(2)

1、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育,第二章 數(shù)論與方程 本章以方程為主線，來(lái)討論數(shù)學(xué)歷史上的第二次抽象 —— 符號(hào)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，內(nèi)容涉及初等數(shù)論和初等代數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。其中所要關(guān)注的焦點(diǎn)有兩個(gè)，一是當(dāng)人們初步完成由具體事物向數(shù)字抽象(數(shù)的第一次抽象)之后，勢(shì)必會(huì)對(duì)數(shù)的本身的性質(zhì)產(chǎn)生興趣，這就是有關(guān)數(shù)論的問(wèn)題；另一個(gè)焦點(diǎn)是數(shù)的進(jìn)一步符號(hào)化(數(shù)的第二次抽象)，即以字母表示數(shù)，從而導(dǎo)致代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。,數(shù)論與方程,§2.1數(shù)的性質(zhì)

2、§2.2數(shù)論的發(fā)展歷史 §2.3方程的歷史 §2.4方程的發(fā)展,§2.1數(shù)的性質(zhì),一.數(shù)的崇拜與禁忌 ?遠(yuǎn)古時(shí)代人們往往把認(rèn)識(shí)到的數(shù)與環(huán)境、自然現(xiàn)象以及生活勞動(dòng)進(jìn)行聯(lián)系，以此用來(lái)表達(dá)自已的喜好和厭惡。由于無(wú)法認(rèn)識(shí)和解釋自然界的種種奇特現(xiàn)象，因而產(chǎn)生強(qiáng)烈的神秘感，轉(zhuǎn)而演化成對(duì)數(shù)的崇拜。 ?如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就對(duì)數(shù)表現(xiàn)出一種非同一般的崇拜。他們把自已的哲學(xué)原理、理論基礎(chǔ)乃至精神

3、支柱都集于一個(gè)如此簡(jiǎn)單而渺小的 “數(shù)”的身上，這在整個(gè)哲學(xué)史上也是獨(dú)一無(wú)二的。 ?又如中國(guó)古代對(duì)“九”寵愛(ài)有加。再如古巴比倫對(duì)六十崇拜也有突出的表現(xiàn)。,§2.1數(shù)的性質(zhì),二.數(shù)與文化 ?中國(guó)古代把數(shù)分為兩類，一類為陽(yáng)數(shù)(后來(lái)稱之為奇數(shù))象征白(色)、晝(白大)、熱、日、火，同樣畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為奇數(shù)不可分，因而是陽(yáng)性的、屬天的；另一類為陰數(shù)(后來(lái)稱之為偶數(shù))則象征著黑(色)、夜、冷、月、水，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也

4、認(rèn)為偶數(shù)是可以分解的，因而是陰性的、屬地的。,§2.1數(shù)的性質(zhì),三.親合數(shù)與完全數(shù) ?一個(gè)數(shù)的真因子的和是另一個(gè)數(shù)，而另一個(gè)數(shù)的真因子的和恰好又等于這個(gè)數(shù),具有這樣性質(zhì)的一對(duì)數(shù)稱為親和數(shù)(也稱相親數(shù))。 ?如果要問(wèn)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒誰(shuí)是他的朋友，他將毫不遲疑地問(wèn)答說(shuō)：“就象220和284一樣?！??從畢達(dá)哥拉斯給出親和數(shù)220,284之后，費(fèi)爾馬(P.Fermat，法國(guó)，1601～1665)

5、于1637年才發(fā)現(xiàn)了另一對(duì)親和數(shù)，即17926和18416。事隔兩年，笛卡爾給出了第三對(duì)親和數(shù)：9,363,584和9,437,056。 ?如果一個(gè)數(shù)等于其真因子的和，則稱之為完全數(shù)。如，6=(1+2+3)， 28，496，以及8128。,§2.1數(shù)的性質(zhì),〖問(wèn)題2.1〗 1.人們對(duì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)具有特殊性質(zhì)的數(shù)主要是 什么數(shù)？它們各具有什么性質(zhì)？

6、 2.數(shù)學(xué)是人類文化的表現(xiàn)形式之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中你將如何體現(xiàn) 數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵？,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,按照上述的有關(guān)內(nèi)容的介紹可以看出，對(duì)數(shù)的崇拜和好奇是促使人們?nèi)パ芯繑?shù)的原始推動(dòng)力，這樣一部以整數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)為研究對(duì)象的學(xué)科也就涎生了，它就是數(shù)論。人們大致贊同數(shù)論的研究在內(nèi)容上是從數(shù)的可約性開(kāi)始的。如果“可約”則它是一個(gè)整除性問(wèn)題，如果“不可約”則為余數(shù)問(wèn)題。因而整除性理論被稱作是數(shù)論中最古老的內(nèi)

7、容。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,一.整除理論 ?對(duì)整除理論作出杰出貢獻(xiàn)的是古典時(shí)期的希臘人。 ? Euclid在他的《幾何原本》中給出了最古老的算術(shù)基本定理：任 一合數(shù)都為某質(zhì)數(shù)量盡。 ?備受人們推祟的是他對(duì)命題；“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的”(質(zhì)數(shù)的數(shù)目 比任何指定的數(shù)目都要多)的證明。 ?而四百年后的尼可馬修斯(Nichomachus，希臘，約公元1

8、00年)所 寫的《算術(shù)入門》卻成為了數(shù)學(xué)歷史上第一部數(shù)論典籍。 ?書中介紹了如何尋找不大于給定的自然數(shù)N的所有質(zhì)數(shù)的辦 法．即著名的愛(ài)拉多塞(埃拉托色尼，Eratesthenes，希臘，公元前 230年)“篩法”。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,二.中國(guó)剩余定理 ?中國(guó)剩余定理也稱“孫子定理”,起源于《孫子算經(jīng)》(約公元400午)中的個(gè)著名的問(wèn)題(卷下第26題)：

9、 “今有物個(gè)知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?” ?這個(gè)問(wèn)題涉及到的即為同余理論，它是由我國(guó)最早研究并取得輝 煌的理論成就的數(shù)論課題。 ?秦九韶在《數(shù)書九章》第—章“大衍術(shù)”中給出了如何求一次同余式 組的方法，而他所構(gòu)造的同余式的右邊均為一，所以他的這一方法 被稱為“大衍求一術(shù)”。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,?但是“大衍求—術(shù)

10、”后來(lái)竟失傳達(dá)五百年之久，遲至清朝由黃宗憲(?)等人，經(jīng)過(guò)艱苦努力終于被重新挖掘出來(lái)。 ?中國(guó)剩余定理從發(fā)現(xiàn)(孫子問(wèn)題)到理論形成(求—術(shù))經(jīng)失傳而后重新挖掘，雖然歷時(shí)—千多年的時(shí)間，但在世界上—直處于領(lǐng)先地位，遲至1801年高斯(K．P．Gauss,德，1777～1855)的《算術(shù)研究》才作出了與秦九韶相同的結(jié)果。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,三. 數(shù)論的發(fā)展 1．費(fèi)爾馬與數(shù)論 ?現(xiàn)代數(shù)論的發(fā)展源于一些人

11、對(duì)算術(shù)問(wèn)題的偏好。對(duì)數(shù)論問(wèn)題的教早研究的人應(yīng)屬費(fèi)爾馬（P.Fermat,法國(guó)，1601～1665）。 ?費(fèi)爾馬是一個(gè)不折不扣的數(shù)學(xué)業(yè)余好者，但他既是解析幾何的發(fā)明者(與笛卡爾共有)，也是概率論的開(kāi)創(chuàng)者(與帕斯卡同享)，還是數(shù)論領(lǐng)域中的先驅(qū)者。 ?1640年費(fèi)爾馬給出—個(gè)定理：形如4n+l的—個(gè)質(zhì)數(shù)可能而且只能以—種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和。同年Fermat在給朋友的一封信中指出后來(lái)被稱為“費(fèi)爾馬小定理” 的斷言：若p

12、是質(zhì)數(shù)且a與p互質(zhì)，則p ︱ (ap - a)。 ?另外一個(gè)特別的問(wèn)題就是著名的“費(fèi)爾馬大定理” ：設(shè)整數(shù)n＞2，則沒(méi)有正整數(shù)解。這一問(wèn)題直到1994年9月，年輕的英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯(Andrew．Wiles)(時(shí)年41歲)最終完成了證明過(guò)程。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,2.高斯與數(shù)論分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 ?盡管費(fèi)爾馬作為現(xiàn)代數(shù)論先驅(qū)者的地位不可動(dòng)搖，然而現(xiàn)代數(shù)論的統(tǒng)一理論的創(chuàng)建者卻是天才數(shù)學(xué)家高斯。 ? 177

13、7年高斯（Gauss）生于德國(guó)，死于1855年。1801年，年僅24歲的高斯編寫了《算術(shù)研究》，這部著作的出版標(biāo)志著費(fèi)爾馬時(shí)代的那種“問(wèn)題式” 數(shù)論的結(jié)束，而—種全新的 —— 純理論的數(shù)論研究方式的正式開(kāi)始，它把數(shù)論研究提高到了—個(gè)更高的境界，因此歷史上一般認(rèn)為1801為現(xiàn)代數(shù)論的誕生之年。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,四.哥德巴赫猜想 ?也許費(fèi)爾馬大定理的征明與否并不重要，但人們長(zhǎng)期艱苦的探索卻大大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)、特別

14、是數(shù)論方面的發(fā)展，其歷史意義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其定理本身。而在數(shù)論領(lǐng)域內(nèi)與之具有相似作用的“預(yù)言”，便是“哥德巴赫猜想”。 ?1742年德國(guó)一位名叫哥德巴赫(Glodbach，1690～1764)的教師在對(duì)正整數(shù)分拆成幾個(gè)數(shù)之和時(shí)發(fā)現(xiàn)，可能每個(gè)偶數(shù)(大于2)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，為此他對(duì)許多偶數(shù)作了驗(yàn)證，結(jié)果都是對(duì)的，(如36=17+19)。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,?1918年布朗(Brown，又譯布潤(rùn)，F(xiàn).Bru

15、n，栩6威)采用“篩法”證明了 如下結(jié)論：每個(gè)大偶數(shù)都是9個(gè)素因子之積加上9個(gè)素因子之積。簡(jiǎn) 記作命題〖9+9〗。 ?二十世紀(jì)三十年代，數(shù)學(xué)家們證明了命題〖6+6〗；1956年維諾格 拉多夫(俄，189l～1983)證明了命題〖3+3〗 ?1957年中國(guó)數(shù)學(xué)家王元證得命題〖3+2〗。 ?至1948年開(kāi)始，數(shù)學(xué)家采用另一種方式，即證明命題〖1+c〗來(lái)尋

16、 求突破的方向。蘭恩(Lane，匈牙利)，潘承洞，王元，以及勃姆別 里（Bombieri）分別證明了命題〖1+6〗,〖1+5〗,〖1+4〗,〖1+3〗。 ?1966年陳景潤(rùn)（1933～1996）經(jīng)過(guò)艱苦的努力終于證明了命題 〖1+2〗，1973年正式以題目《大素?cái)?shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及不超過(guò)兩個(gè)素 數(shù)積之和》發(fā)表， 這—偉大成就被譽(yù)為“光輝的頂點(diǎn)”，并命名為“陳 氏定理”。,§

17、2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,五.數(shù)論發(fā)展歷史的啟示意義 1.從歷史的角度來(lái)看，由于深刻的文化內(nèi)涵附著于數(shù)之身上，使得 看似枯燥的數(shù)字蘊(yùn)藏著豐富的思想內(nèi)容。 2.好奇心與好勝心往往是人類探索奧秘的原動(dòng)力。 3.數(shù)學(xué)歷史上的“問(wèn)題”有千千萬(wàn)萬(wàn)，惟獨(dú)數(shù)論“問(wèn)題”使人們樂(lè)此不 疲、如痢如醉。這個(gè)現(xiàn)象容易促使我們關(guān)注“問(wèn)題”的類型、特點(diǎn)

18、 和方式對(duì)人們的導(dǎo)向作用。,§2.2 數(shù)論的發(fā)展歷史,〖問(wèn)題2.2〗 1.現(xiàn)代數(shù)論的誕生之年是哪一年？它是以什么事件作為標(biāo)志的？ 2.歐幾里德關(guān)于命題“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的”的證明對(duì)“反證法”的教 學(xué) 具有什么啟示？ 3.通過(guò)數(shù)論發(fā)展歷史的啟示，如何認(rèn)識(shí)“問(wèn)題教學(xué)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的 作用？ 4. 試用愛(ài)拉

19、多塞的“篩法”找出所有四十以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。 5. 運(yùn)用“大衍求一術(shù)”求解楊輝的問(wèn)題“二數(shù)余一，五數(shù)余二，七數(shù) 余三，九數(shù)余四，問(wèn)原數(shù)幾何?”,§2.3 方程的歷史,一.方程的產(chǎn)生1.中國(guó)的方程 ?早在《九章算術(shù)》第八章“方程”章中就出現(xiàn)“方程”二字。劉徽注釋時(shí)，對(duì)其解釋說(shuō)：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂

20、之方程?！逼渲小罢n”為比較的意思，而“程”則為表達(dá)的意思。 ?可見(jiàn)，按照“方程”的原義可以把它理解為“方形表達(dá)式”，與現(xiàn)在 的“增廣矩陣”類似。,§2.3 方程的歷史,?1683年日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和(1642～1708)于《解伏題之法》中給出行 列式的概念。 ?1750年克萊姆(G.Cramer，瑞士，1704～1752)著《線性代數(shù)分析導(dǎo) 言》,系統(tǒng)而完整地闡述了行列式理

21、論，其中包括現(xiàn)在大家所熟知的 克萊姆法則。 ?1850年西勒維斯特(J.Sylvest，英，1814～1897年)“搶得頭功”提出 了矩陣概念，其意即為“矩形陣式”。 ?但1855年凱雷(A．Cayley，英 1821～1895年，西勒維斯特的好友) 把矩陣從線性方程組中獨(dú)立出來(lái)，建立了系統(tǒng)的矩陣?yán)碚摚蔀榱司仃嚨膭?chuàng)始人。,§2.3 方程的歷史,2.西學(xué)的方程

22、 ?現(xiàn)代意義上的“方程”的原意是“等式”，拉丁文表達(dá)為oequatio，英 文equation則由它演變而來(lái)。 ?1850年李善蘭第一次把equation翻譯為“方程式”，后于二十世紀(jì)五 十年代，才把“方程式”簡(jiǎn)稱為“方程”，表示“含有未知數(shù)的等式”。 ?印度于公元四世紀(jì)在巴克沙里手稿中就發(fā)現(xiàn)有關(guān)一元一次方程的 記載。阿拉伯人在代數(shù)方面具有獨(dú)到之處。 ?特別

23、是花拉子模（Al-Khowarijmi，公元780～850年）的著作《代 數(shù)學(xué)》對(duì)方程作了較為系統(tǒng)地論述，而且他是歷史上第—個(gè)把“未知 量”叫做“硬幣”、“東西”和“根”(植物的根)的人。 ?另外現(xiàn)在的代數(shù)學(xué)“A1gebra”就源于此書中一個(gè)描述“還原”的詞語(yǔ) “al-jabr”。,§2.3 方程的歷史,二.一元一次方程 1.試位法 ? “試位法”

24、是通過(guò)對(duì)所求的數(shù)先進(jìn)行“試探”然后得出結(jié)果的方法。 因?yàn)槠溥^(guò)程采用了一次假?zèng)],故也叫“單假設(shè)法”。 ?在歷史上，印度是較早使用上述方法的國(guó)家,約公元前4世紀(jì)的巴克 沙里手稿中就有記錄解一元一次方程的方法。 2.盈不足術(shù) ?“盈不足術(shù)”也叫契丹算法、萬(wàn)能算法及“雙假設(shè)法”。 ?《九章算術(shù)》第七章即為“盈不足”。李籍《音義》說(shuō)：“盈者，滿 也。不足者，虛也。滿虛

25、相推，以求其適，故曰盈不足?！?§2.3 方程的歷史,二.不定方程 ?不定方程原指解為不確定的方程，其特點(diǎn)是方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。 ?在實(shí)際解不定方程中，一是求某一類的解，如前述同余式的解；二是對(duì)所求解設(shè)定某一個(gè)范圍(如僅求方程的正整數(shù)解)。 1.中國(guó)古代的不定方程 ?中國(guó)古代研究不定方程的歷史非常悠久，前述同余式就是一個(gè)突出的表現(xiàn)。其實(shí)早在們《九章算術(shù)》中就載有類似的問(wèn)題。如其中 “

26、方程”章之問(wèn)〖一十三〗“五家共井”便是不定方程問(wèn)題，而且它是歷史上最古老的不定方程。 ?另外，南北朝時(shí)期(公元420—520年)的《張丘建算經(jīng)》載有著名的 “百錢買百雞”問(wèn)題則是典型的不定方程問(wèn)題。,§2.3 方程的歷史,2．古希臘的不定方程 ?古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖對(duì)不定方程頗有研究。 ?出自他的《Arithmetica》 (算術(shù))的而后引出費(fèi)爾馬大定理的著名 問(wèn)題

27、： “一個(gè)平方數(shù)可分解為兩個(gè)平方數(shù)之和” 便是一個(gè)不定方程問(wèn)題。  3．印度的不定方程 ?印度人熱衷于尋求一個(gè)不定方程的所有整數(shù)解，并且把這些結(jié)果 用于實(shí)際之中。 ?印度數(shù)學(xué)家阿耶波多(ryabhata)早先就對(duì)諸如“求不定方程 ax±by=c(a，b，c是正整數(shù))的整數(shù)解”等問(wèn)題作過(guò)研究。 ?而后婆羅摩芨多、婆什迦羅也對(duì)不

28、定方程研究的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。,§2.3 方程的歷史,四、方程的歷史啟示意義 1.方程的產(chǎn)生完全是出于實(shí)際的需要，即為了解決實(shí)際生活中的 問(wèn)題。 2.由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，實(shí)則為人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的基本規(guī)律，對(duì)古人如此， 對(duì)現(xiàn)今學(xué)生亦如此。,§2.3 方程的歷史,〖問(wèn)題2.3〗 1.人們?yōu)榱私鉀Q實(shí)際生活中的相關(guān)問(wèn)題，早期形成了許多解方程的 方法，其中較

29、為典型的方法有哪些？ 2. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)“方程”的研究歷史非常悠久，如何理解其含義？ 3. 目前所知世界上最早的不定方程出自于哪個(gè)國(guó)家？什么著作？ 4. 研究中國(guó)古代的“盈不足術(shù)”對(duì)現(xiàn)今方程與函數(shù)的教學(xué)有何指導(dǎo)作 用？ 5.試述方程產(chǎn)生的歷史對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示意義。,§2.4 方程的發(fā)展,與代數(shù)的其它內(nèi)容一樣，方程的發(fā)展在很大程度上

30、依賴于符號(hào)的創(chuàng)造、使用和推廣?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)中使用的符號(hào)幾乎都是十五世紀(jì)以后產(chǎn)生的。古代數(shù)學(xué)主要是由各地、各民族自己的文字語(yǔ)言直接描述客觀現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系，這樣也就極大地阻礙了方程的發(fā)展。,§2.4 方程的發(fā)展,一.符號(hào)化的嘗試 —— 天元術(shù) ?中國(guó)古代算學(xué)成就輝煌，而在符號(hào)方面則相對(duì)落后。但值得我們關(guān)注的是，中國(guó)古代“設(shè)末知數(shù)列方程”的思想方法，卻是對(duì)代數(shù)方程理論發(fā)展的一大貢獻(xiàn)，這個(gè)方法在中國(guó)被稱為“天元術(shù)”。

31、?十三世紀(jì)(金元時(shí)期)數(shù)學(xué)家李治 (河北人，1192-1279)，在前人的基 礎(chǔ)上簡(jiǎn)化天元術(shù)，并整理成系統(tǒng)的“天元術(shù)”理論。這種“設(shè)末知數(shù)列方程”的方法，直到十六世紀(jì)才于歐州出現(xiàn)。,§2.4 方程的發(fā)展,二．一元二次方程的來(lái)源 ?據(jù)考證，古巴比倫的楔形文獻(xiàn)中就記有相當(dāng)于的一元二次方程的實(shí)例和解法。 ?古希臘數(shù)學(xué)家海倫(Heron，約公元75年)曾給出這樣的問(wèn)題“給定一正方形，知其面積與周長(zhǎng)之和為8

32、96尺(應(yīng)該是平方尺)，求其一邊。 ?《九章算術(shù)》第九章勾股章第二十題也是一個(gè)一元二次方程問(wèn)題。 在阿拉伯人那里，有關(guān)一元二次方程的問(wèn)題逐漸被剝離去了實(shí)際的內(nèi)容，而變成“純數(shù)字的游戲”。,§2.4 方程的發(fā)展,三．一元二次方程的解法 1.幾何解法 ?也許是由于一元二次方程問(wèn)題主要產(chǎn)生于幾何的原因，幾何解法成為古代解一元二次方程最常見(jiàn)的方法。 2.“開(kāi)帶從平方法”

33、——中國(guó)式的“公式法” ?由于中國(guó)古代缺乏代數(shù)符號(hào)，因而沒(méi)有現(xiàn)代符號(hào)形式上的“公式法”，但對(duì)形如x2+bx的數(shù)進(jìn)行開(kāi)方頗有研究，其結(jié)果實(shí)質(zhì)上就是“公式法”，即開(kāi)帶(有)從(從法)平方法。,§2.4 方程的發(fā)展,?除《九章算術(shù)》中記有“開(kāi)帶從平方法”外，公元三世紀(jì)，趙爽在《勾股圓方圖注》對(duì)形如-x2+bx=c(b﹥0、c﹥0)用“開(kāi)帶從平方法”給 出求解的步驟,其結(jié)果相當(dāng)于求根公式。

34、 ?唐代僧人張遂(達(dá)開(kāi))，法號(hào)一行，擅長(zhǎng)天文、數(shù)學(xué)，公元729年著《大衍歷》，在其中用“開(kāi)帶從平方法”求得方程x2+bx=c(b﹥0、c﹥0) 的一個(gè)正根。 ?而后南宋楊輝也給出了求解x2-bx=c(b﹥0、c﹥0)的步驟。,§2.4 方程的發(fā)展,3. 配方法 ?最早的“配方法”很可能是古希臘數(shù)學(xué)家海倫給出的。因?yàn)樵谒蟠蠹s二百多年(公元三世紀(jì))丟番圖在其《算術(shù)》中所作解法與之完全

35、相同。 ?與古希臘“傳統(tǒng)解法”——幾何解法不同，海倫使用幾乎是“純代數(shù)” 的方法解形如ax2+bx=c的方程。 ?印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)一元二次方程的不同“形式” 作了研究，最終給出了(或者說(shuō)相當(dāng)于給出了)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0的求根公式。,§2.4 方程的發(fā)展,四. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 ?說(shuō)起一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們自然想到法國(guó)數(shù)學(xué)家佛

36、 蘭西斯(弗朗西瓦)·韋達(dá)(F．Vieta，1540～1603)。 ? 1591年著《分析術(shù)入門》(也譯作《分析術(shù)引論》)，此書一般被 認(rèn)為是一部最早的符號(hào)代數(shù)的著作。1615年發(fā)表《方程的認(rèn)識(shí)》 在第十四章中提出四個(gè)定理，闡明了方程的根與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān) 系。 ?雖然韋達(dá)定理家喻戶曉，可韋達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)更重要的貢獻(xiàn)卻在于符號(hào)!

37、 他被認(rèn)為是“第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母符號(hào)的人”。,§2.4 方程的發(fā)展,五. 一元三次方程的歷史 1.一元三次方程的早期探索 ?早在公元前1800年古巴比倫的楔形文獻(xiàn)中，就有三次方程問(wèn)題的 記錄。當(dāng)然其解的方法依然是“湊和法”，如解x3 +x2=36，因?yàn)?33+32=27+9=36，所以x=3。 ?中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在解三次方程的問(wèn)題時(shí)，

38、同樣具有自己的特色,即 沿著“開(kāi)帶從平方法”的思路，由開(kāi)立方術(shù)引出“開(kāi)帶從立方法”。 ?北宋年間(公元十一世紀(jì))，賈憲創(chuàng)造了簡(jiǎn)潔、程序化的“增乘開(kāi)方 法”(亦稱“增廣開(kāi)方法”)。 ?賈憲在解方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)了關(guān)于(a+b)n(n為正整數(shù))展開(kāi)式的系數(shù)規(guī) 律，制作了一張數(shù)表，稱作“開(kāi)方作法本源”，即“賈憲三角形”，又 稱“楊輝三角”。,§2.4 方

39、程的發(fā)展,? 1654年帕斯卡(法Pascal)用所謂的Pascal三角陣得出二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)，因此西方把“賈憲三角形”稱為“Pascal三角形(陣)”。 ?在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中，則把三次方程與圓錐曲線相聯(lián)系。 例如，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家?jiàn)W瑪爾·海雅姆(Omar Khayyam，1044～1123)解三次方程x3+Bx=C(B﹥0，C﹥0)就是采用拋物線和圓相交作出的。 ?古代中國(guó)人和阿拉伯人，一個(gè)從算術(shù)（開(kāi)

40、立方），一個(gè)從幾何（圓錐曲線）這兩條不同的路徑走向了相同的結(jié)果，真可謂有異曲同工之妙。,§2.4 方程的發(fā)展,2．一元三次方程的公式解 ?十六世紀(jì)意大利成立了一個(gè)名叫波落那的數(shù)學(xué)學(xué)派，其代表人物 費(fèi)爾洛(Ferro,又譯弗羅，1465～1526)于1515年(一說(shuō)1505年)得出了形如x3 +px=q的—元三次方程的根，但沒(méi)有公布與眾。 ?布雷西亞青年尼可拉·方丹納(Nicolo．Fontano, 又

41、名塔塔利亞Tartaglia,1500～ 1557)，聽(tīng)到此事深受鼓舞，決定自己求解此方程。 ? 1530年塔塔利亞對(duì)他人提出的兩個(gè)一元三次方程的求解問(wèn)題作了解答,但只給出了答案，沒(méi)有公開(kāi)其解答過(guò)程。,§2.4 方程的發(fā)展,?1539年意人利數(shù)學(xué)家卡丹(G．Cardano,1501～1576年)向塔塔利亞 求教，塔塔利亞答應(yīng)了他的要求，但條件是不得向任何第三者泄露這個(gè)秘密?？ǖち⑾率难院螅K于得到了一份他渴望已久的一

42、元三次方 程解法手稿。 ?1545年卡丹把塔塔利亞的關(guān)于一元三次方程的解法在《大術(shù)》 (Ars Magna)一書中發(fā)表。 ?解決了一元三次方程的問(wèn)題之后，解四次方程則變成了輕而易舉的事了。這個(gè)工作是由卡丹的學(xué)生費(fèi)拉里(L．Ferrari，意大利，1522～1565年)完成的。,§2.4 方程的發(fā)展,六.方程發(fā)展過(guò)程的啟示 1. 教學(xué)過(guò)程完整化 ?完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程應(yīng)該包括數(shù)學(xué)知

43、識(shí)內(nèi)容的來(lái)源背景、理論形成和推廣應(yīng)用這三方面的內(nèi)容。 2. “數(shù)形結(jié)合”的啟示 ?從方程發(fā)展的歷史可以看出，數(shù)學(xué)中的許多代數(shù)問(wèn)題與幾何是緊密相連的，而且一些代數(shù)問(wèn)題本身就來(lái)自于幾何。事實(shí)上,許多歷史實(shí)例就是最自然、最和諧的“數(shù)形結(jié)合”的范本。 3. 發(fā)散性思維的培養(yǎng) ?前人探索問(wèn)題的過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的思維多樣性，在如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維方面等問(wèn)題上，為我們提供了豐富的歷史素材。,&

44、#167;2.4 方程的發(fā)展,〖問(wèn)題1.7〗 1.為什么說(shuō)一元二次方程來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題？ 2.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家海雅姆的一元三次方程的解法給我們帶來(lái)什么樣的 啟發(fā)？ 3.在歷史上，一元二次方程主要的解法有哪些？它們各有什么特色？ 對(duì)中學(xué)一元二次方程的教學(xué)各有什么啟示意義？ 4.試從方程發(fā)展的歷史來(lái)分析，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的背景, 對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義。