應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程第1章--概述2016_第1頁(yè)
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1、,主講教師:何松華 教授聯(lián)系電話:(0731)82687718 13973132618電子信箱:13973132618@139.com,,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程(通信專業(yè))Applied Statistics and Random Process,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,1. 概 述[兼《概率論》復(fù)習(xí)] (6學(xué)時(shí)),,1.1,,不確定性事件,1.2,,通信

2、與電子系統(tǒng)中的不確定性,1.3,,含噪信號(hào)的最優(yōu)處理問(wèn)題,1.4,,隨機(jī)變量及其數(shù)字特征,1.5,,隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度分布,1.6,,隨機(jī)變量的特征函數(shù),不確定性事件,1.1,客觀世界中的兩大類規(guī)律:1.確定性事件中蘊(yùn)涵的確定性規(guī)律2.不確定性事件中蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律,確定性事件及確定性規(guī)律:1.因果律 確定的原因產(chǎn)生確定的\可預(yù)知的結(jié)果“如果蘋果從樹上掉下(B),則肯定往下掉到地上(A)” if B then A

3、 Prob{A|B}=100%, Prob{ā|B}=0%,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,2.排中律 事物歸屬關(guān)系的確定性,“非此即彼” “我(x)現(xiàn)在是湖南大學(xué)的教師(A)” I:論域(被討論的對(duì)象的全體范圍) A∩B=?(空集),A∪B=I if x?A then uA(x)=100%,x?B, uB(x)=0% if x?B then uB(x)=10

4、0%,x?A, uA(x)=0%,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,3.恒等律 事物(A,B,C,…)之間相互約束關(guān)系的確定性 “三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180度” R(A,B,C,…)= Constant,,,4.守恒律 事物(A,B,C,…)(a,b,c,…)之間轉(zhuǎn)換或交換過(guò)程中的確定性 “物質(zhì)不滅,能量守恒” R1(A,B,C,…)= R2(a,

5、b,c,…),5.周期律 事物在有限域內(nèi)變化的重復(fù)性 “物極必返” if ‖A‖=N,M≧N,xi∈A(i=1,2,…,M) then 存在 i1≠i2,1?i1,i2?M,xi1=xi2毛澤東:打破周期率;習(xí)近平:建立舉國(guó)創(chuàng)新體制,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,,不確定性事件及不確定性:1.隨機(jī)性,因果律的一種破缺 隨機(jī)試驗(yàn):可以在相同

6、條件下重復(fù)進(jìn)行,每次試驗(yàn)的結(jié)果是事先不可預(yù)測(cè)的,所有可能的結(jié)果不止一個(gè),但每次試驗(yàn)的結(jié)果是唯一的, 這樣的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 隨機(jī)事件:在隨機(jī)試驗(yàn)中,對(duì)于1次試驗(yàn)可能發(fā)生也可能不發(fā)生、但在大量重復(fù)的試驗(yàn)中按一定規(guī)律發(fā)生的某種事情,稱為隨機(jī)事件。 基本事件:在隨機(jī)試驗(yàn)中,最簡(jiǎn)單、不可再分、互不相容的事件稱為基本事件。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,例如:不同的人通過(guò)測(cè)量蘋果落地的時(shí)間

7、獲得樹的高度,,“隨機(jī)試驗(yàn)”舉例:袋中有編號(hào)為0到5的6個(gè)乒乓球,從里面隨機(jī)地拿出一個(gè),以拿出的球的編號(hào)為試驗(yàn)結(jié)果;觀察結(jié)果后再放回;反復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)。 6種基本事件:(1)拿到編號(hào)為0的球;(2)拿到編號(hào)為1的球;(3)拿到編號(hào)為2的球;(4)拿到編號(hào)為3的球;(5)拿到編號(hào)為4的球;(6)拿到編號(hào)為5的球。 “隨機(jī)事件”舉例:拿到編號(hào)大于等于4的球(在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生;在大量重復(fù)的試驗(yàn)中發(fā)生的比例約為1/3

8、;無(wú)窮次試驗(yàn)中發(fā)生的比例為1/3) “基本事件”是隨機(jī)事件的特例。 所有基本事件的組合稱為隨機(jī)試驗(yàn)的“樣本空間”。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,,不確定性事件及不確定性:2.模糊性,排中律的一種破缺 事物之間歸屬關(guān)系的不確定性,不能確定某個(gè)對(duì)象肯定屬于某個(gè)集合或肯定不屬于某個(gè)集合,但能夠確定或定義對(duì)象屬于某個(gè)集合的程度。 模糊性舉例:論域 I={各種不同年齡x的人

9、} 模糊集合 Ã ={年輕人} 1 (0 ? x? 24) uÃ(x)= {1+[(x-25)/5]2}-1(25 ? x) 年齡x越大,則歸屬于年輕人Ã的隸屬度uÃ(x)就越小。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,,通信與電子系統(tǒng)中的不確定性(隨機(jī)性),1.2,湖南大學(xué)

10、教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,由于信道噪聲的存在(電子的布朗運(yùn)動(dòng)),確定的傳輸系統(tǒng)對(duì)確定的傳輸信號(hào)并不產(chǎn)生確定的響應(yīng)。,傳輸系統(tǒng)h(t),,傳輸信號(hào)X(t),,響應(yīng) Y(t),,信道噪聲?(t),Y(t)= X(t)?h(t)+ ?(t) (卷積)?(t)的取值是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的,則Y(t)也是隨機(jī)的、不確定的。,,通信電子系統(tǒng)中的不確定性所帶來(lái)的問(wèn)題:(通信與電子系統(tǒng)工程師要解決的問(wèn)題舉例)1

11、.信號(hào)的檢測(cè)問(wèn)題 在數(shù)字通信中,0,1編碼用不同的兩種波形 X0(t)、 X1(t)進(jìn)行傳輸;接收端信號(hào)為Y(t) H0:(傳輸 0 編碼信號(hào)) Y(t)= X0(t)?h(t) + ?0(t) H1:(傳輸 1 編碼信號(hào)) Y(t)= X1(t)?h(t) + ?1(t) 怎樣從接收信號(hào)Y(t)中判斷出發(fā)送端傳輸?shù)男盘?hào)是X0(t) 還是X1(t) ? 如何將假設(shè)檢驗(yàn)理論應(yīng)用于信號(hào)的假設(shè)檢驗(yàn)?,

12、湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,,2.信號(hào)及系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,系統(tǒng)h(t,õ2),A(t,õ)+ ?(t),a(t,õ1),,,Y(t)=a(t,õ1)? h(t,õ2) + ?(t) õ1:信號(hào)的未知參數(shù)矢量(K個(gè)參數(shù)) õ2:系

13、統(tǒng)的未知參數(shù)矢量(M個(gè)參數(shù))問(wèn)題:Y(t)、 ?(t)是不可預(yù)知的隨機(jī)過(guò)程,怎樣從接收信號(hào)Y(t)的有限個(gè)采樣值Y(0)、Y(T)、…Y[(N-1)T]求得õ1、 õ1的最佳估計(jì)呢?簡(jiǎn)單的方程[K+M個(gè)]聯(lián)立為什么不能求得統(tǒng)計(jì)意義上的最佳估計(jì)?,3.最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,問(wèn)題:Y(t)、 ?(t)是不可預(yù)知的隨機(jī)過(guò)程,采用什么樣的濾波器h1(t

14、),使得含噪失真信號(hào)Y(t)通過(guò)該濾波器后,其輸出信號(hào)與X(t)最逼近? minimum E{[Y(t)? h1(t)-X(t)]2} h1(t),傳輸系統(tǒng)h(t),,傳輸信號(hào)X(t),,響應(yīng) Y(t),,信道噪聲?(t),濾波器h1(t),,含噪失真信號(hào)Y(t),,恢復(fù)信號(hào)Z(t),如果沒(méi)有信道噪聲如何求解?,4.系統(tǒng)的性能評(píng)估以及信號(hào)波形參數(shù)的設(shè)計(jì)問(wèn)題(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程

15、 概述,已知信道噪聲?(t)的統(tǒng)計(jì)特性[平均值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率分布等],要求在給定接收端檢測(cè)性能的情況下對(duì)傳輸信號(hào)的波形進(jìn)行設(shè)計(jì)。舉例:軍用雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)H0:(無(wú)目標(biāo)) Y(t)= ?(t)H1:(有目標(biāo)) Y(t)= kA?s?(t-2R/c)+ ?(t) s?(t):寬度為?的正弦脈沖,R:目標(biāo)距離,c:光速,k:信號(hào)傳輸衰減系數(shù);要求虛警概率Pf=P(H1┃H0)=10-7,已知?(t)服從N(0,?2

16、),如何對(duì)發(fā)射信號(hào)的幅度A、脈沖寬度?進(jìn)行設(shè)計(jì)?,5.噪聲背景中的最優(yōu)預(yù)測(cè)問(wèn)題(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,舉例:軍用雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)(距離、速度)預(yù)測(cè)測(cè)量方程:Y(n)= A(n) + ?(n) n?[0,N-1] Y(n):n時(shí)刻目標(biāo)距離的測(cè)量值(已知) A(n):n時(shí)刻實(shí)際的目標(biāo)距離值(未知) ?(n):測(cè)量誤差(隨機(jī)

17、過(guò)程,概率分 布密度函數(shù)及相關(guān)特性已知) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程:A(n+1)=A(n)+T?V(n)+ (1/2)T2?W(n) V(n+1)=V(n)+T?W(n) V(n):目標(biāo)第n個(gè)時(shí)刻的速度(未知) T :時(shí)間采樣間隔 W(n):目標(biāo)的加速度擾動(dòng)(隨機(jī)過(guò)程,概率密度、相

18、 關(guān)性已知),假設(shè)為帶有加速度擾動(dòng)的勻速運(yùn)動(dòng),如何根據(jù)目標(biāo)當(dāng)前狀態(tài)預(yù)測(cè)目標(biāo)未來(lái)狀態(tài)? A(n+1),V(n+1),,社會(huì)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題舉例1.19世紀(jì)末中華民族無(wú)人能解的一個(gè)難問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,加拿大山貓年捕獲量數(shù)據(jù) (1821-1878),269,321,585,871,1475,2821,3928,5943,4950,2577

19、,523,98,184,279,409,2285,2685,3409,1824,409,151,45,68,213,546,1033,2129,2536,957,361,377,225,360,731,1638,2725,2871,2119,684,299,236,245,552,1623,3311,6721,4254,687,255,473,358,784,1594,1676,2251,1426,756,299,假設(shè)今年為18

20、78年,請(qǐng)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型, 得到明年及1880,1881,1882,1883五年內(nèi)的山貓捕獲量的預(yù)測(cè).,有限次差分后平穩(wěn),2. 現(xiàn)在一個(gè)很容易解決的問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,舉例: 某城市居民季度用煤消耗量 ( 單位: 噸 ),請(qǐng)預(yù)測(cè)1997年度每個(gè)季度的用煤消耗量,非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程: (1)趨勢(shì)項(xiàng); (2)季節(jié)(周期)項(xiàng),含噪信號(hào)的最優(yōu)處理問(wèn)題,1.3,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)

21、計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,信號(hào)處理的主要研究?jī)?nèi)容 從噪聲背景中檢測(cè)感興趣的信號(hào)、提取信息或?qū)π盘?hào)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[圖像處理、語(yǔ)音信號(hào)處理、數(shù)據(jù)處理],最優(yōu)信號(hào)處理方法 信號(hào)處理的方法不僅與信號(hào)本身的特性有關(guān),還與噪聲背景的統(tǒng)計(jì)特性(概率密度分布、功率譜等)密切相關(guān);從事通信與電子系統(tǒng)領(lǐng)域研究的人員除了掌握確定性的《信號(hào)與系統(tǒng)》分析方法外,必須了解噪聲等隨機(jī)過(guò)程的特性,掌握各種統(tǒng)計(jì)方法在信號(hào)處理中的應(yīng)用,信號(hào)處理方法

22、舉例1:最優(yōu)預(yù)測(cè),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,設(shè)x(n)(n=1,2,…)為離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào),n為采樣時(shí)刻;該隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)及功率譜定義為,(數(shù)學(xué)期望),如果該隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)為,則最優(yōu)的因果IIR 3步預(yù)測(cè)方程為,根據(jù)x(n),x(n-1), x(n-3),… 預(yù)測(cè)x(n+3);n為當(dāng)前時(shí)刻,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,其中,(逆z變換),

23、如果該隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)為,則最優(yōu)的因果IIR 3步預(yù)測(cè)濾波器應(yīng)修正為,隨機(jī)信號(hào)的最優(yōu)預(yù)測(cè)方法與其統(tǒng)計(jì)特性有關(guān),信號(hào)處理方法舉例2:最優(yōu)估計(jì),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,利用氣壓計(jì)對(duì)某棟高樓的高度進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)甲班各個(gè)學(xué)生的測(cè)量結(jié)果,該樓高度的測(cè)量值的平均值為h0,變化的范圍(方差)為?02 ,測(cè)量值分布接近高斯分布。,現(xiàn)由乙班對(duì)該樓高度h進(jìn)行測(cè)量,N個(gè)學(xué)生中第n個(gè)學(xué)生的測(cè)量值xn, 第n

24、個(gè)學(xué)生的測(cè)量?jī)x器的精度(誤差的方差)為?n2;誤差服從正態(tài)分布,各觀測(cè)相互獨(dú)立。 (1) 不參考甲班的測(cè)量結(jié)果,且假設(shè)乙班不同儀器的測(cè)量精度相同, ?12= ?22=…= ?N2,則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(簡(jiǎn)單平均),(2) 不參考甲班的測(cè)量結(jié)果,但乙班每個(gè)學(xué)生的測(cè)量?jī)x器的精度不同,則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,(加權(quán)平均,精度越高,方差越小,加權(quán)系數(shù)越大),(3)

25、參考甲班的測(cè)量結(jié)果,則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,信號(hào)處理方法舉例3:正弦信號(hào)的參數(shù)估計(jì),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(?已知),假設(shè)觀測(cè)噪聲?(n)服從零均值正態(tài)分布,各觀測(cè)值之間相互獨(dú)立,求A、B的最優(yōu)估計(jì)值,頻率已知、幅相未知的正弦信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)獲得了正弦信號(hào)在N個(gè)不同時(shí)刻的觀測(cè)值,為什么不能解方程?,僅僅兩個(gè)參數(shù)而已?,信號(hào)處理方法舉例4:數(shù)據(jù)的最優(yōu)平滑(維納濾波器),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)

26、用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,x(n):測(cè)量數(shù)據(jù)(已知); s(n):需要恢復(fù)的信號(hào)數(shù)據(jù)(未知)?(n):測(cè)量誤差(未知且隨機(jī))。如何恢復(fù)s(n)?,濾波器h(n),,含噪數(shù)據(jù)x(n),,恢復(fù)的數(shù)據(jù)s1(n),求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題:,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,其中:,(信號(hào)相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換,信號(hào)功率譜),(噪聲相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換,噪聲功率譜),濾波器的單位脈沖響應(yīng),

27、社會(huì)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理方法1. 統(tǒng)計(jì)描述方法 對(duì)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理,計(jì)算綜合性的統(tǒng)計(jì)指標(biāo),描述所研究的隨機(jī)現(xiàn)象的總體數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系2. 統(tǒng)計(jì)推斷方法 在對(duì)已獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述的基礎(chǔ)上,建立預(yù)測(cè)模型,對(duì)未知的或未來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)研究的作用 (1) 提供決策咨詢服務(wù);(2)提供監(jiān)督服務(wù);(3)提供其他形式的信息服務(wù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,

28、社會(huì)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)舉例: 移動(dòng)通信公司之客戶保持 已知?dú)v史客戶(包括離網(wǎng)客戶、忠誠(chéng)客戶)的基本屬性,例如:性別、年齡、職業(yè)類型、在網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)、發(fā)展渠道、繳費(fèi)方式、繳費(fèi)途徑、平均每次繳費(fèi)金額、平均每月話費(fèi)、所選套餐類型、...(1)如何確定影響客戶是否離網(wǎng)的最主要屬性(因素)?(2)如何根據(jù)歷史客戶數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型,預(yù)測(cè)目前在網(wǎng)客戶的離網(wǎng)可能性?(3)對(duì)離網(wǎng)可能性比較大的目前在網(wǎng)客戶,如何進(jìn)行合理的分類,應(yīng)采

29、取何種針對(duì)性的營(yíng)銷或客戶保持措施,以最低的活動(dòng)成本實(shí)現(xiàn)客戶保持?,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量及其數(shù)字特征,1.4,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量 (事件?變量,物理描述?數(shù)學(xué)問(wèn)題) 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間 S={e},如果對(duì)于每一個(gè)e∈S,有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)和它對(duì)應(yīng),這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值實(shí)函數(shù)X(e),稱X(e)為隨機(jī)變量,一

30、般簡(jiǎn)記為X。,舉例1:拋擲硬幣(隨機(jī)試驗(yàn)E) 樣本空間 S={正面朝上,反面朝上} 定義:如果正面朝上,則 X=0;反面朝上,則X=1 則X為隨機(jī)變量,且取值為離散的,稱為離散隨機(jī)變量,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,舉例1(續(xù)) P(X=0)=0.5 (X取值為0的概率); P(X=1)=0.5,舉例2:用標(biāo)尺測(cè)量長(zhǎng)度,最小刻度單位1mm樣本空間S={長(zhǎng)度測(cè)量誤差的分布范圍} 設(shè)X為

31、測(cè)量值與實(shí)際值之間的誤差,則X為隨機(jī)變量,且取值范圍為連續(xù)區(qū)間[-0.5mm,0.5mm] ,稱為連續(xù)隨機(jī)變量。 對(duì)于本例,P{x≤X<y}=min{y,0.5}-max{x,-0.5} (隨機(jī)變量X取值落在區(qū)間[x,y)內(nèi)的概率),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,古典概率模型,若某一隨機(jī)事件可以分解為某些基本事件的組合,則該事件發(fā)生的概率為這些基本事件發(fā)生概率的和。舉例:

32、設(shè)離散隨機(jī)變量X有只有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求X<1.5這一事件的發(fā)生概率。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,幾何概率模型,若向有界區(qū)域G內(nèi)投擲質(zhì)點(diǎn),所有質(zhì)點(diǎn)落在G中任何一點(diǎn)是等可能的(均勻分布),若g是G中一部分,則質(zhì)點(diǎn)落在g中的概率:P = g的區(qū)域?qū)挾?G的區(qū)域?qū)挾?。舉例:設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X在[-3,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布;求X<0.2這

33、一事件的發(fā)生概率。,聯(lián)系前面的舉例2,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,全概率公式與貝葉斯公式舉例,設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E[例如:從n個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取1個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)]的樣本空間[例如:{抽到車間1的正品,抽到車間1的劣品,抽到車間2的正品,抽到車間2的劣品,…,抽到車間n的正品,抽到車間n的劣品}] (2n個(gè)基本事件),設(shè)A1、A2、…、An為S的一個(gè)劃分[例如事件Ai:“抽到

34、車間i的產(chǎn)品”],即,空集,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,設(shè)B為任意的隨機(jī)事件[例如:抽到劣品}],則B發(fā)生的概率為,P(A1)、P(A2) 、…、P(AN)稱為先驗(yàn)概率[例如P(Ai) 為車間i的產(chǎn)品占總產(chǎn)品的比例], P(B|Ai)為似然概率(條件概率)[例如:車間i的產(chǎn)品是劣品的概率],全概率公式,假如B已經(jīng)發(fā)生[例如抽到劣品],則該事件在多大的可能性上應(yīng)由Ai負(fù)責(zé)?[例如:“抽到的劣品是車

35、間i的產(chǎn)品的概率”(與“車間i的產(chǎn)品是劣品的概率”并不等價(jià))],如何計(jì)算P(Ai|B),貝葉斯公式,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,P(Ai|B)稱為后驗(yàn)概率[事件發(fā)生后對(duì)事件各種起因的可能性的概率性推斷],P(Ai,B)稱為聯(lián)合概率[例如:既是劣品又是車間i的產(chǎn)品的概率],貝葉斯公式,顯然,B肯定來(lái)源于劃分中的其中某一個(gè) [例如:劣品肯定來(lái)自某個(gè)車間,劣品來(lái)自于各車間的概率和為1],湖南大學(xué)教學(xué)課

36、件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,例題:已知某地區(qū)銷售的計(jì)算機(jī)主板有20%來(lái)自供應(yīng)商1,50%來(lái)自供應(yīng)商2,30%來(lái)自供應(yīng)商3。假定這三個(gè)供應(yīng)商所生產(chǎn)的主板的不合格率已知,分別為0.01、0.004和0.008,請(qǐng)計(jì)算每個(gè)供應(yīng)商應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任(主板返修費(fèi)用)比例。市場(chǎng)上的主扳S由3家供應(yīng)商的產(chǎn)品A1,A2,A3組成,隨機(jī)抽取一件為不合格產(chǎn)品(事件B)的概率,與商1比,雖然不合格比例較低,但產(chǎn)品量較大,承擔(dān)責(zé)任不一定

37、少,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù),(x的單調(diào)非減函數(shù)),概率分布函數(shù),概率密度分布函數(shù),關(guān)系,根據(jù)幾何概型,為什么是x+,非負(fù)函數(shù),可能存在不連續(xù)點(diǎn),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例1,設(shè)離散隨機(jī)變量X有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求其概率分布

38、函數(shù)及概率密度分布函數(shù),解:根據(jù)古典概型,注意定義及開閉區(qū)間,單位階躍函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,單位階躍函數(shù)(詳見《信號(hào)與系統(tǒng)》),在x=0處不連續(xù),u(0)=1,u(0-)=0,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,其中,?()為單位沖激函數(shù),滿足,在信號(hào)與系統(tǒng)理論中,采用單位沖激函數(shù)解決不可微問(wèn)題,其他任何位置的導(dǎo)數(shù)為零,x=0,1,2三處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮

39、大(不同的無(wú)窮大),對(duì)無(wú)窮大的約束,沖激強(qiáng)度為1,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的關(guān)系,,,u(x),x,0,,1,,,兩個(gè)1的區(qū)別,偶函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,舉例:利用沖激函數(shù)的積分性質(zhì)求概率分布函數(shù),(1),(2),在,內(nèi)的x=0處有一個(gè)沖激,其他位置處的積分和為零,+號(hào)可省去,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程

40、 概述,沖激強(qiáng)度分別為0.2,0.5,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,推廣到離散隨機(jī)變量的更一般情況,設(shè)離散隨機(jī)變量X有I種可能的取值x1,x2,…,xI;其中第i(i=1,2,…,I)種取值出現(xiàn)的概率為pi;則其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù)分別為,參見前面FX(x)圖,根據(jù)古典概型,附錄:沖激函數(shù)積分性質(zhì):設(shè)g(x)在x0處連續(xù),則,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程

41、 概述,概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例2,設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布;求其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù),解:根據(jù)幾何概型,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度分布函數(shù),設(shè)X1、X2、…XN為不同的隨機(jī)變量,則其聯(lián)合概率分布函數(shù)以及概率密度分布函數(shù)定義為,多個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生的概率,一般省去“+”,湖南大學(xué)教學(xué)課件

42、:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,多維連續(xù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì),(練習(xí):根據(jù)幾何概型證明其為所有變量的單調(diào)非減函數(shù)),事件,等價(jià)于事件,下面考察如何由高維的聯(lián)合分布得到低維的聯(lián)合分布。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,邊緣分布,上式兩邊對(duì)x1,x2,…,xn-1求偏導(dǎo),再作積分變量置換,采用遞推方法不難得到:,根據(jù)概率分布函數(shù)定義:,思考:n個(gè)隨機(jī)變量中的任意k個(gè)變量的情況?,

43、思考:n個(gè)隨機(jī)變量中的任意k個(gè)變量的情況?,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立的定義,如果,或,則這n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立,要求對(duì)所有可能取值組合(x1,x2,…,xn),對(duì)于離散型隨機(jī)變量,聯(lián)合概率分布或分布律定義為,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,(1)均值(數(shù)學(xué)期望),(連續(xù)隨機(jī)變量),(有I種取值

44、的離散隨機(jī)變量),(2)方差,(連續(xù)),(離散),或,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(3)k階原點(diǎn)矩,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),(4)k階中心矩,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),1階原點(diǎn)矩即為均值,二階中心矩即為方差;二階原點(diǎn)矩稱為均方值,滿足,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(5)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),(6

45、)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)函數(shù),(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),附錄(證):,思考:為什么乘積的數(shù)學(xué)期望可以表示相關(guān)性?,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(離散隨機(jī)變量),(9)多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,(8)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,(連續(xù)隨機(jī)變量),(7)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差函數(shù),對(duì)于零均值變量,協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)等價(jià),顯然,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程

46、 概述,隨機(jī)變量之間不相關(guān)及正交的定義,若,則稱兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y互不相關(guān),若,則稱兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互正交,在零均值情況下,正交與不相關(guān)等價(jià),或,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量數(shù)字特征的性質(zhì),以c為變量的拋物線在c軸上方的充要條件,A:,根據(jù) 同理可得,B:對(duì)稱性,附錄,證:根據(jù)定義以及乘法的交換率(練習(xí)),為

47、什么?,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,數(shù)學(xué)期望\方差\協(xié)方差函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),A,B,C,常數(shù)b只影響均值,不影響方差,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,概率密度函數(shù)的全積分為1,附錄:,邊緣分布,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì),利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)(將整個(gè)函數(shù)作為新的隨機(jī)變量),當(dāng)各隨機(jī)

48、變量不相關(guān)時(shí),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(10)多維隨機(jī)矢量的均值矢量,定義由n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,則其均值矢量定義為,各隨機(jī)變量的均值所構(gòu)成的矢量,(10)多維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣(n行n列對(duì)稱矩陣),協(xié)方差矩陣的第i行第j列元素值為,矩陣對(duì)稱性Cij=Cji,列矢量,行矢量,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄:(證明)若兩個(gè)變量相互獨(dú)立,則必然不

49、相關(guān)(反之不一定),證:設(shè)X、Y兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,即,則:,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,正態(tài)分布以及多維聯(lián)合正態(tài)分布的定義,設(shè)X為隨機(jī)變量,如果其概率密度函數(shù)為,則稱X服從均值為u,方差為?2的正態(tài)分布或高斯分布,容易證明(參見后面附錄):,概率密度函數(shù)的積分性質(zhì),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,當(dāng)u=0, ?2=1時(shí),此時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,

50、x,0,,fX(x),,mX=u,,u,,,x=u+?,,x=u-?,最大值點(diǎn)(均值u處)、最大值、兩個(gè)拐點(diǎn)、對(duì)稱性、漸近線\平移參數(shù)u,形狀參數(shù)?(方差的性質(zhì)?),,x,u,,fX(x),? =1,? =1.5,? =3,,,,,,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄,直角坐標(biāo)系內(nèi)的積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系內(nèi)的積分,練習(xí):在此式的基礎(chǔ)上運(yùn)用常規(guī)的積分方法證明前面的3個(gè)式子(全積分,均值,方差),湖南大

51、學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,如果這n個(gè)隨機(jī)變量的多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)滿足,下面介紹多維聯(lián)合正態(tài)分布。定義n維隨機(jī)矢量,定義隨機(jī)變量取值所構(gòu)成的矢量,C:n?n的正定對(duì)稱方陣、對(duì)角線元素值大于0;||:行列式值,n維常數(shù)列矢量,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,則稱這n個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布,且均值矢量以及協(xié)方差矩陣滿足,容易證明(見第4章ppt附錄):,對(duì)除

52、xi外的所有變量積分(n-1重積分),矩陣的數(shù)學(xué)期望的概念,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,結(jié)論1:若多個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布,則其中的任意變量服從正態(tài)分布(反之則不一定),進(jìn)一步,若C為對(duì)角矩陣,即各個(gè)變量之間不相關(guān),對(duì)稱矩陣,于是可得到如下結(jié)論:,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,結(jié)

53、論2:若多個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布,且各變量互不相關(guān),則這些變量相互獨(dú)立,其他分布不一定滿足此性質(zhì),則多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,結(jié)論2的推論:若多個(gè)隨機(jī)變量各自服從正態(tài)分布,且相互獨(dú)立(充分條件,并非必要條件) ,則其聯(lián)合分布為聯(lián)合正態(tài)分布。二維情況的充分必要條件為:,容易證明:若隨機(jī)變量X、Y分別服從均值、方差分別為(mX,?X2)、(mY,?Y2)的正態(tài)分布,

54、且在X=x的情況下,Y的條件概率密度分布為如下的正態(tài)分布,則X、Y服從聯(lián)合正態(tài)分布,且r為兩變量的相關(guān)系數(shù),即,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(相關(guān)系數(shù)),練習(xí),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度分布,1.5,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,1. 單調(diào)單變量函數(shù)的概率密度分布 設(shè)隨機(jī)變量X和Y存在

55、單調(diào)函數(shù)關(guān)系Y=g(X),存在唯一反函數(shù)X=h(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+dy)內(nèi)變化時(shí),X在(h(y), h(y)+ dy)區(qū)間內(nèi)變化,這兩個(gè)事件的概率相等,即,(dy、dx可能為負(fù),但區(qū)間的長(zhǎng)度是正的,取絕對(duì)值),得到,,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,證(附錄):設(shè),性質(zhì):若X服從正態(tài)分布,Y是X的線性函數(shù),則Y也服從正態(tài)分布,則有:,正態(tài)?均值?方差,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用

56、統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄:實(shí)際應(yīng)用中,可利用上述性質(zhì)以及概率論中數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì),直接寫出Y的概率密度分布函數(shù),則有:,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),方差的性質(zhì),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,2. 多值單變量函數(shù)的概率密度分布 設(shè)隨機(jī)變量X和Y存在函數(shù)關(guān)系Y=g(X),除個(gè)別的Y值外,存在多個(gè)反函數(shù)(以2個(gè)為例)X=h1(Y)、X=h2(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+d

57、y)內(nèi)變化時(shí),則X 可以在兩個(gè)區(qū)間(h1(y),h1(y)+ dy)、(h2(y),h2(y)+ dy)區(qū)間內(nèi)變化,這兩個(gè)事件的概率相等,即,得到:,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,隨機(jī)變量Y和X間的關(guān)系為Y=sin(X),X在區(qū)間 -??X??內(nèi)服從均勻分布。求隨機(jī)變量Y的概率密度,多值函數(shù)概率密度分布函數(shù)舉例,解:-1≤Y≤1,對(duì)于任意一個(gè)Y值(0除外),有兩個(gè)X值與之對(duì)應(yīng),有

58、,值域范圍?,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄:,當(dāng)-?/2<x1<?/2時(shí),cos(x1)非負(fù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,3. 多變量函數(shù)的概率密度分布,如果存在唯一的反函數(shù),對(duì)于多維隨機(jī)變量的函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,其中 表示矩陣J的行列式值的絕對(duì)值,J為如下的矩陣(雅可比

59、矩陣),“超體積”放大系數(shù),根據(jù)高等數(shù)學(xué)(積分變換):,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,(附錄)以二維為例,當(dāng)矢量 的終點(diǎn)在2維平面上由如下四個(gè)頂點(diǎn)組成的長(zhǎng)方形區(qū)域(面積為dy1dy2)內(nèi)時(shí),則矢量 的終點(diǎn)落在由如下四個(gè)頂點(diǎn)組成四邊形區(qū)域內(nèi)(邊之間不一定垂直,也可能是曲邊),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄:可以證

60、明(高等數(shù)學(xué)),該四邊形區(qū)域的面積為,對(duì)于二維情況,根據(jù)等概率事件原理,有,矩陣的行列式值的絕對(duì)值,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,定理:若X1、X2、...、Xn服從聯(lián)合正態(tài)分布,則這些隨機(jī)變量的任意非退化線性組合(其中的任意組合不能由其他組合確定)之間服從聯(lián)合正態(tài)分布,定義由n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,設(shè)A為任意的可逆矩陣 (n行n列),定義另外的n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,令:,顯然,任意的Yi都是X

61、1、X2、…、Xn的線性組合,滿秩非退化方陣,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,于是可以得到,設(shè):,其中:,矩陣A-1的第i行,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,于是有,其中:,由,得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,矩陣及行列式的各種性質(zhì)以及C的正定性,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述

62、,于是得到Y(jié)1、Y2、…、Yn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,結(jié)論:n維隨機(jī)矢量 服從均值矢量為 ,協(xié)方差矩陣為 的n維聯(lián)合正態(tài)分布;根據(jù)前面的結(jié)論,則從其中抽取任意m(? n)個(gè)變量Yi服從m維的聯(lián)合正態(tài)分布。,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,推論:若X1、X2、...、Xn服從聯(lián)合正態(tài)分布,則這些隨機(jī)變量的任意線性組合服從正態(tài)分布,定義由n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,對(duì)于任

63、意的非零行矢量,以及,構(gòu)造n維的隨機(jī)矢量,則 服從聯(lián)合正態(tài)分布,其中的變量 服從正態(tài)分布,總能找到一個(gè)可逆矩陣 (n行n列)A ,使得 為A的行,,隨機(jī)變量 為X1,X2,…,Xn的任意線性組合,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,附錄:實(shí)際應(yīng)用中,可利用上述性質(zhì),直接得到Y(jié)的概率密度分布函數(shù),舉例:X1、X2服從0均值方差為2的正態(tài)分布,兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)為0.5,(1)分別求Y1、Y2

64、的概率密度分布函數(shù),(2)求Y1、Y2的聯(lián)合概率密度分布函數(shù),解:(1)正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依然服從正態(tài)分布,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,同理可以求得(練習(xí)):,(2),,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,均方值性質(zhì)以及相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)、均值的關(guān)系,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,驗(yàn)證邊緣分布(練習(xí)/自學(xué)):,湖南大

65、學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,均值為 、方差為26?(1-0.8912)的正態(tài)分布函數(shù)的全積分為1(任意均值成立),均值為0情況下的條件正態(tài)分布,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,性質(zhì)(練習(xí)/自學(xué)):標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)Y1可以通過(guò)兩個(gè)相互獨(dú)立的[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)X1、X2按照如下的函數(shù)產(chǎn)生,證:按如下方式構(gòu)造新的隨機(jī)變量,存在唯一反函數(shù)

66、關(guān)系,求多維函數(shù)變量概率密度分布函數(shù)的技能之一:構(gòu)造新的變量,形成多維函數(shù)關(guān)系,四象限反正切函數(shù),值域范圍[0,2?],通過(guò)反正切函數(shù)的值域擴(kuò)展得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,雅可比行列式值為,,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,Y1、Y2的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為,Y1、Y2的概率密度分布函數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,且兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。,X1、X2的聯(lián)合概率密

67、度分布函數(shù)為,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,技巧(練習(xí)/自學(xué)):利用概率密度分布函數(shù)的積分特性求無(wú)窮區(qū)間內(nèi)的函數(shù)積分,變換成正態(tài)概率密度分布函數(shù)的積分形式,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,求正態(tài)分布隨機(jī)變量的均方值,隨機(jī)變量的特征函數(shù),1.6,湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,1. 連續(xù)型隨機(jī)變量X的特征函數(shù),概率密度函數(shù)的

68、頻域特征(在某些時(shí)候,采用頻域分析方法比時(shí)域分析方法更方便 ),(概率密度函數(shù)的傅立葉變換?X的函數(shù)ej?X的數(shù)學(xué)期望),參見《工程數(shù)學(xué)》之《積分變換》《復(fù)變函數(shù)》,為虛數(shù)單位,(歐拉定理),為復(fù)數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 概述,2. 離散型隨機(jī)變量X的特征函數(shù),特征函數(shù)與概率密度函數(shù)的傅立葉變換對(duì)關(guān)系,為什么稱為特征函數(shù)?,附錄:,見附錄,符號(hào)反轉(zhuǎn)的傅立葉變換對(duì)關(guān)系,假設(shè)極限

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