概率統(tǒng)計一1

1、第一章 隨機事件與概率,§1.1 隨機現(xiàn)象與隨機試驗,在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.,“太陽從東邊升起”,,1.確定性現(xiàn)象,如,自然界所觀察到的現(xiàn)象:,確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象,“水從高處流向低處”,,確定性現(xiàn)象的特征:,條件完全決定結(jié)果,在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象,稱為隨機現(xiàn)象.,2. 隨機現(xiàn)象,例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.,結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.

2、,例2 “用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況”.,結(jié)果: “彈落點會各不相同”.,結(jié)果有可能為:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,例3 “拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.,例4 “從裝有白球和黑球的袋子中任意抽取一球”.,其結(jié)果可能為:,白球 、黑球,例5 “從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.,其結(jié)果可能為:,正品 、次

3、品.,例6 “過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.,例7 “一只燈泡的壽命”,隨機現(xiàn)象的特征:,條件不能完全決定結(jié)果,2. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性, 但在大量重復(fù)試驗或觀察中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.,隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.,問題 什么是隨機試驗?,如何來研究隨機現(xiàn)象?,說明,1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確

4、定性聯(lián)系 , 其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.,1. 可以在基本相同的條件下重復(fù)地進行;,2. 試驗的所有可能結(jié)果是可預(yù)知的;,3. 每次試驗將出現(xiàn)哪一個結(jié)果無法預(yù)知．,定義 在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.,,如 “拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.,(1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進行;,(2) 試驗的所有可能結(jié)果:,正面，反面;,(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,故為隨機試驗

5、.,隨機試驗的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件．比如，　　拋硬幣試驗中”出現(xiàn)正面”是隨機事件；擲一枚骰子　　中，”出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個隨機事件等。,事件的關(guān)系及運算,必然事件：每次都會出現(xiàn)的事件．常用　　表示．,不可能事件：每次都不會出現(xiàn)的事件．常用　表示．,包含關(guān)系：,圖示 B 包含 A.,,B,一.隨機事件間的關(guān)系,則稱事件A與事件B相等,記作 A=B.,若事件A不出現(xiàn)，稱為A的對立事件, 記作 .,若事件A, B不同時出現(xiàn)，稱A與B

6、互不相容.,二. 事件的運算,1 事件的交 (積),2 事件的和(并),,?,,A,3. 事件的差,圖示 A 與 B 的差,,?,,B,A,事件 “A 出現(xiàn)而 B 不出現(xiàn)”，稱為事件 A 與 B 的差. 記作 A- B(或 A \ B ),,?,顯然：,概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系,三. 事件運算的規(guī)律,(6) 不多于一個事件出現(xiàn).,基本事件空間,定義 對于隨機試驗，它的每一個可能結(jié)果稱為樣本點，由一個樣本點組成的單點集稱

7、為基本事件。所有樣本點構(gòu)成的集合稱為隨機試驗的樣本空間或基本事件空間，用? 表示. ? 即必然事件.,§1.2 概率的定義,一 概率的統(tǒng)計定義,在某個值 p 附近擺動，稱 p 為 A 發(fā)生的概率.,二 概率的古典定義,古典概型,如果一個隨機試驗具有以下特征 （1）、試驗的結(jié)果只有有限多個，（ 2）、每次試驗有且僅有其中一個 出現(xiàn)，且每個 出現(xiàn)的可能性相同.則稱該隨機試驗為古典概型。,若

8、 表示事件 A 中包含 的個數(shù)，,定義事件 A 的概率為,（概率的古典定義）,古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 無放回地摸球,問題1 設(shè)袋中有M個白球和 N個黑球, 現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?,A 所包含的樣本點個數(shù)為,解,設(shè)A={所取球恰好含m個白球,n個黑球},(2) 有放回地摸球,問題2 設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有

9、放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到紅球的概率.,解,第1次摸球,6種,第1次摸到黑球,4種,第3次摸到紅球,中樣本點總數(shù)為,A 所包含樣本點的個數(shù)為,解,概率的古典定義要求試驗的結(jié)果有限個, 如果結(jié)果無限個, 概率的古典定義就不適用了.人們引入了幾何概型和幾何定義.,三、概率的幾何定義,定義 當(dāng)隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量 (長度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率

10、可定義為,那么,兩人會面的充要條件為,例1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內(nèi), 在預(yù)定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間 t( t<T ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的 , 且兩人到達的時刻互不牽連. 求甲、乙兩人能會面的概率.,會面問題,解,故所求的概率為,,,若以 x, y 表示平面上點的坐標(biāo) ,,則有,,蒲豐問題,例2　1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)

11、提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為l(l <a )的針,試求針與任一平行直線相交的概率P.,解：,由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.,則A發(fā)生的充分必要條件是,,,蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義,歷史上一些學(xué)者的計算結(jié)果(直線距離a=1),概率的統(tǒng)計定義和古典定義都存在一定的缺點和局限性 ，有必要尋找概率的統(tǒng)一定義 ．經(jīng)過長期的研究，到1933年 , 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫