第四章-流體力學(xué)量綱分析

1、工程流體力學(xué),第四章 相似原理和量綱分析,第四章 相似原理與量綱分析,本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。,模型實(shí)驗(yàn),,由于受到尺寸和實(shí)驗(yàn)條件的限制，實(shí)驗(yàn)一般很難在原型上進(jìn)行，而是按照一定的比例尺在模型上進(jìn)行。,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,相似的概念最早出自幾何學(xué)。兩個(gè)三角形相似，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。兩個(gè)流場的力學(xué)相似：在流動(dòng)空間的各對應(yīng)點(diǎn)上和各對應(yīng)時(shí)刻，表征流動(dòng)過程的所有物理量各自互成比例。,一 幾

2、何相似（空間相似）,定義： 模型和原型的全部對應(yīng)線性長度的 比值為一定常數(shù) 。,（4-1）,以上標(biāo)“ ＇”表示模型的有關(guān)量,:長度比例尺（相似比例常數(shù)）,面積比例尺:,（4-2）,體積比例尺:,（4-3）,圖4-1 幾何相似,滿足上述條件，流動(dòng)才能幾何相似,二 運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）,定義：滿足幾何相似的流場中，對應(yīng)時(shí)刻、對應(yīng) 點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它們的速度場（加

3、速度場）相似。,圖4-2速度場相似,時(shí)間比例尺:,速度比例尺:,（4-4）,（4-5）,運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:,體積流量比例尺:,加速度比例尺:,（4-6）,（4-7）,（4-8）,長度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。,三 動(dòng)力相似（時(shí)間相似）,定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場中，對應(yīng)空間點(diǎn)上、對 應(yīng)瞬時(shí)，作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作 用方向一致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場相似。,力的比例尺:,圖4-3 動(dòng)力

4、場相似,（4-9）,（4-10）,又由牛頓定律可知：,其中： 為流體的密度比例尺。,壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺:,力矩（功，能）比例尺:,（4-11）,（4-12）,動(dòng)力粘度比例尺:,功率比例尺:,（4-13）,（4-14）,有了模型與原型的密度比例尺，長度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。,定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn) 象保證相似的條件或準(zhǔn)則 。,第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則,由式 (

5、4-10) 得:,（4-15）,（4-16）,（4-17）,當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。,或:,令:,牛頓出生于英格蘭林肯郡的小鎮(zhèn)烏爾斯普。在牛頓出生之前三個(gè)月，他的父親就去世了，兩年之后他的母親改嫁他人，把牛頓留給了他的祖母。牛頓的天才很早就展現(xiàn)出來。 牛頓最開始在鄉(xiāng)村學(xué)校讀書，12歲的時(shí)候離家到格蘭瑟文法學(xué)校就讀。在格蘭瑟他寄宿在當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)藥劑師家

6、中并最終和這名藥劑師的繼女訂了婚。1661年，也就是18歲的時(shí)候，牛頓進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)。在那里，牛頓沉靜在學(xué)習(xí)之中而疏忽了未婚妻，藥劑師的繼女就嫁給了別人。牛頓后來終身未婚。        在那個(gè)時(shí)代，大學(xué)里僅僅教授亞里士 多德的理論，但是牛頓對于當(dāng)代哲學(xué)家的思想更感興趣，比如，笛卡爾、伽利略、哥白尼、開普勒等等。在1665年他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，同一年他獲得

7、了文學(xué)學(xué)士學(xué)位。不久就爆發(fā)了瘟疫，學(xué)校被迫關(guān)閉，牛頓回到家鄉(xiāng)繼續(xù)他的研究。在接下來的兩年之內(nèi)，牛頓在微積分、光學(xué)和重力問題上做出了卓越的工作。       1667年牛頓重返劍橋大學(xué)。1669年10月27日牛頓被選為盧卡斯數(shù)學(xué)教授。1672年起他被接納為皇家學(xué)會會員，1703年被選為皇家學(xué)會主席直到逝世。      1696

8、年牛頓任造幣廠監(jiān)督，1699年升任廠長，1705年因改革幣制有功受封為爵士。1727年3月31日，牛頓因患腎結(jié)石癥醫(yī)治無效，在倫敦郊區(qū)肯辛頓寓中逝世，葬于倫敦威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。,牛頓（Newton,1643—1727年）,一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）,二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）,三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）,四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則),五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）,六、非定常性相似準(zhǔn)則

9、（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）,流場中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個(gè)流場動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。,一、重力相似準(zhǔn)則,將重力比 帶入式(4-15)得：,或:,令:,（4-18）,（4-19）,（4-20）,,,,,當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。,重力場中

10、 ，則：,（a）,（4-15）,弗勞德,英國造船工程師，實(shí)驗(yàn)水力學(xué)專家。1810年11月28日生于英國德文郡的達(dá)丁海姆，1879年5月4日卒于英國托基。他曾在牛津大學(xué)的奧里爾學(xué)院學(xué)習(xí)，也從事過土木工程實(shí)踐。36歲時(shí)開始從事船舶流體力學(xué)研究。19世紀(jì)60年代，開始利用縮尺模型研究船舶阻力。以后由英國海軍部提供經(jīng)費(fèi)，他在自己家的附近建造了一座模型試驗(yàn)水槽，確定運(yùn)動(dòng)阻力的主要部分是表面摩擦力和波。1870年當(dāng)選為皇家學(xué)會委員，

11、1876年獲皇家獎(jiǎng)?wù)隆?855年造船工程師學(xué)會出版了他的論文集。水力學(xué)中描述慣性力與重力的無量綱數(shù)，后被命名為弗勞德數(shù)。,二、粘性力相似準(zhǔn)則,將粘性力之比 帶入式(4-15)得：,或:,令:,（4-21）,（4-22）,（4-23）,（b）,,當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。,,

12、模型與原型用同一種流體時(shí)， ，則：,（4-15）,雷諾,雷諾（O.Reynolds，1842－1912，愛爾蘭）。英國力學(xué)家、物理學(xué)家和工程師。 1842年8月23日生于北愛爾蘭。1867年畢業(yè)于劍橋大學(xué)王后學(xué)院。1868年出任曼徹斯特歐文學(xué)院（后改名為維多利亞大學(xué)）的首席工程學(xué)教授。1877年當(dāng)選為皇家學(xué)會會員。1888年獲皇家勛章。他是一位杰出的實(shí)驗(yàn)科學(xué)家。他于1883年發(fā)

13、表了一篇經(jīng)典性論文——《決定水流為直線或曲線運(yùn)動(dòng)的條件以及在平行水槽中的阻力定律的探討》。這篇文章以實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明水流分為層流與紊流兩種形態(tài)，并提出以無量綱數(shù)Re（后稱為雷諾數(shù)）作為判別兩種流態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)。,三、壓力相似準(zhǔn)則,或:,令:,（4-24）,（4-25）,（4-26）,當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：,將壓力比 帶入式(4-15)得：,,當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等

14、，即 ；反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）。,,,（4-27）,（4-28）,歐拉數(shù):,歐拉相似準(zhǔn)則:,（4-15）,歐拉,歐拉（Leonhard Euler ，1707-1783）：瑞士數(shù)學(xué)家、力學(xué) 家、天文學(xué)家、物理學(xué)家，變分法的奠基人，復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū)者，理論流體力學(xué)的創(chuàng)始人。 　　歐拉曾任彼得堡科學(xué)院教授，柏林科學(xué)院的創(chuàng)始人之一。他是剛體力學(xué)和流體力學(xué)的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的開創(chuàng)人。他認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)微分方

15、程可以應(yīng)用于液體（1750）。一般用兩種方法來描述流體的運(yùn)動(dòng)，即分別根據(jù)空間固定點(diǎn)（1755）和根據(jù)確定的流體質(zhì)點(diǎn)（1759）描述流體速度場。前者稱為歐拉法，后者稱為拉格朗日法。歐拉奠定了理想流體的理論基礎(chǔ)，給出了反映質(zhì)量守恒的連續(xù)方程（1752）和反映動(dòng)量變化規(guī)律的流體動(dòng)力學(xué)方程（1755）?！　W拉在固體力學(xué)方面的著述也很多，諸如彈性壓桿失穩(wěn)后的形狀，上端懸掛重鏈的振動(dòng)問題，等等。 歐拉的專著和論文多達(dá)800多種。,四、彈

16、性力相似準(zhǔn)則,將彈性力之比 帶入式(4-15)得：,（4-29）,,當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）。,,（4-15）,柯西,柯西：法國人，1789年8月2l日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動(dòng)蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由

17、于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。 一生建樹頗多，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的研究中給出了柯西數(shù)。,四、彈性力相似準(zhǔn)則,若流場中的流體為氣體，由于 （ 為聲速）則彈性力之比 帶入式(4-15)得：,（4-32）,,,,,當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。,（4-15

18、）,馬赫,經(jīng)驗(yàn)批判主義的創(chuàng)始人之一；馬赫數(shù)、馬赫帶是其研究成果。　　馬赫（Ernst　Mach，1838～1916） 奧地利物理學(xué)家、生物學(xué)家、心理學(xué)家、哲學(xué)家。1838年2月18日生于奇爾利茨。在維也納大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)，1860年畢業(yè)，并獲博士學(xué)位。 1864～1867年在格拉茨大學(xué)先后任數(shù)學(xué)教授和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，1867～1895年在布拉格大學(xué)任實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，兩度被選為校長。1901年退休，但

19、仍在家繼續(xù)從事科學(xué)著述。1916年2月19日在德國特斯特騰逝世。　　他研究物體在氣體中高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了激波。確定了以物速與聲速的比值（即馬赫數(shù)）為標(biāo)準(zhǔn)，來描述物體的超聲速運(yùn)動(dòng)。馬赫效應(yīng)、馬赫波、馬赫角等這些以馬赫命名的術(shù)語，在空氣動(dòng)力學(xué)中廣泛使用，這是馬赫在力學(xué)上的歷史性貢獻(xiàn)。,五、表面張力相似準(zhǔn)則,將表面張力之比 帶入式(4-15)得：,（4-35）,,當(dāng)模型與原型的表

20、面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）。,韋伯?dāng)?shù)代表慣性力和表面張力效應(yīng)之比，韋伯?dāng)?shù)愈小代表表面張力愈重要，譬如毛細(xì)管現(xiàn)象、肥皂泡、表面張力波等小尺度的問題。一般而言，大尺度的問題，韋伯?dāng)?shù)遠(yuǎn)大于1.0，表面張力的作用便可以忽略。,（4-15）,六、非定常性相似準(zhǔn)則,或:,令:,（4-38）,（4-39）,（4-40）,,將慣性力之比

21、 帶入式(4-15)得：,當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）。,（4-15）,以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。,如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。,第三節(jié) 流動(dòng)相似條

22、件,流動(dòng)相似：在對應(yīng)點(diǎn)上、對應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量 都成比例。,相似流動(dòng)必然滿足以下條件：,1．任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場對應(yīng) 點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場對應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即 流動(dòng)滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng) 相似也必須滿足的條件。,模型實(shí)驗(yàn)主要解決的

23、問題 ：,1．根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模 型，選擇流動(dòng)介質(zhì)； 2．在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)測定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量； 3．用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程 式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其它相似流動(dòng)中去。,圖4-4 油池模型,第四節(jié) 近似模型試驗(yàn),以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體流動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似

24、和動(dòng)力相似。,前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件，同時(shí)滿足以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原型設(shè)備中去。,簡化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件，除局部相似之外，還可采用自?；匦院头€(wěn)定性。,在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱之為局部相似。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng)的問題，不考慮自由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。,自?；母拍顚?shí)質(zhì)是自身模擬的概

25、念。比如，在圓管流動(dòng)中，當(dāng)Re≤2320時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一軸對稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re>4×105管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其速度分布基本不隨Re變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考慮模型的Re與原型的Re相等否，只要與原型所處同一?；瘏^(qū)即可。,,圖4-5 弧型閘門,（4-7）,圖4-6 內(nèi)裝蝶閥的管道,第五節(jié) 量綱分析法,一、物理方程量綱一致性原則,二、瑞利法,三、 定理,一、物理方程量綱一致性原則,1、討

26、論理論力學(xué)時(shí)，基本單位（量綱）有三個(gè)： 質(zhì)量(M)、時(shí)間(T)、長度(L)；,物理量單位的種類叫量綱，由基本單位和導(dǎo)出單位組成單位系統(tǒng)。,3、運(yùn)動(dòng)學(xué)問題有兩個(gè)基本單位（量綱）： 時(shí)間(T)、長度(L)。,,2、討論流體力學(xué)和熱力學(xué)時(shí)，基本單位（量綱）有四個(gè)： 質(zhì)量(M)、時(shí)間(T)、長度(L)、溫度( )；,物理量的量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。任一物理量 的量綱表示為dim 。,流體力學(xué)中常遇到的用基本量綱表示的

27、導(dǎo)出量綱有：,任何一個(gè)物理方程中各項(xiàng)的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次性的，這便是物理方程量綱一致性原則。既然物理方程中各項(xiàng)的量綱相同，那么，用物理方程中的任何一項(xiàng)通除整個(gè)方程，便可將該方程化為零量綱方程。,定理。,量綱分析法正是依據(jù)物理方程量綱一致性原則，從量綱分析入手，找出流動(dòng)過程的相似準(zhǔn)則數(shù)，并借助實(shí)驗(yàn)找出這些相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)相似原理，用量綱分析法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復(fù)雜流動(dòng)過程