函數(shù)的單調(diào)性課件2

1、,§3.7函數(shù)的單調(diào)性,學習目的：,1.會從幾何角度直觀了解函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)的關系，并會靈活應用。2.通過對函數(shù)單調(diào)性的研究，加深對函數(shù)導數(shù)的理解，提高用導數(shù)解決實際問題的能力，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。,復習引入：問題1：怎樣利用函數(shù)單調(diào)性的定義來討論其在定義域的單調(diào)性,1．一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f (x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

2、2．由定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：　(1)設x1、x2是給定區(qū)間的任意兩個值，且x1< x2.　(2)作差f(x1)－f(x2)，并變形.　(3)判斷差的符號，從而得函數(shù)的單調(diào)性.,例1 討論函數(shù)y=x2－4x＋3的單調(diào)性.,解：取x1f(x2)， 那么 y=f(x)單調(diào)遞減。 當20， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)單調(diào)遞增。 綜上 y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為（2，

3、+∞） y=f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，2）。,函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：,,,2,單增區(qū)間：(-∞，-1)和（1，+∞）.,單減區(qū)間：(-1，0）和（0，1）.,發(fā)現(xiàn)問題：用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時.例如y=x3+2x2-x.是否有更為簡捷的方法呢？下面我們通過函數(shù)的y=x2－4x＋3圖象來考察一下：,,2,.,.,.,.,.,.,.,,,,,,,,觀察

4、函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：,總結(jié):該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數(shù)為負,在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導數(shù)為正.而當x=2時其切線斜率為0,即導數(shù)為0.函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變.,結(jié)論:一般地,設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間 內(nèi)可導,則函數(shù)在該區(qū)間 如果f′(x)>0, 則f(x)為增函數(shù); 如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù).注

5、意:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0, 則f(x)為常數(shù)函數(shù).,結(jié)論應用：由以上結(jié)論可知，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)有關，即我們可以利用導數(shù)法去探討函數(shù)的單調(diào)性?，F(xiàn)舉例說明：,例3 求函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)區(qū)間.,解:函數(shù)的定義域為R,f′(x)=6x2-12x,令6x2-12x>0,解得x2，則f(x)的單增區(qū)間為（－∞，0）和（2，＋∞）.,再令6x2-12x<0,解得0<x<2

6、,則f(x)的單減區(qū)間(0,2).,注:當x=0或2時, f′(x)=0,即函數(shù)在該點單 調(diào)性發(fā)生改變.,總結(jié)：根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性一般需兩步： 1.確定函數(shù)f(x)的定義域. 2.求出函數(shù)的導數(shù). 3.解不等式f ′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間; 解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.,,例4 求函數(shù)

7、f(x)=xlnx的單調(diào)區(qū)間.,解：函數(shù)的定義域為x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1.,當lnx+1>0時，解得x>1/e.則f(x)的單增區(qū)間是(1/e,+∞).,當lnx+1<0時，解得0<x<1/e.則f(x)的單減區(qū)間是（0，1/e).,例5 判定函數(shù)y=ex-x+1的單調(diào)區(qū)間.,解: f’(x) =ex-1 當ex-1>0時,解得 x

8、>0.則函數(shù)的單增區(qū)間為(0,+∞). 當ex-1<0時,解得x<0.即函數(shù)的單減區(qū)間為(-∞,0).,歸納總結(jié):1.函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性的關系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果f ′(x)>0, 則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù).2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中心,能靈活應用導數(shù)解題是目的,另外應注意數(shù)形結(jié)合在解題中應用.,布置練習