初中數(shù)學(xué)幾何直觀培養(yǎng)

1、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng),初中部 劉彩艷 2014年8月28日,序,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出：“在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想．”,序,幾何直觀正成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中生動的、不斷增長的而且迷人的課題.,序,正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我

2、們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦．”,序,在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，創(chuàng)造出屬于自己的學(xué)習(xí)方式，這是初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的核心所在．那么，如何理解幾何直觀？特別是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何滲透幾何直觀的意識和能力呢？,,,,,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式幾何直觀和其他概念的比較培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,幾

3、何直觀的含義及表現(xiàn)形式,《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式,“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.”

4、 -------徐利治,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式,也有學(xué)者這么描述：“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài).”,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式,幾何直觀是一種運用圖形認(rèn)識事物的能力，或者說是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式.這種能力可外化為一種在解決某些數(shù)學(xué)問題時的方法，這種方法區(qū)別于其他方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的——即“幾何”兩字的意義.用這種方法解決問題，不是運用幾何中常用

5、的論證方法，而是通過經(jīng)驗、觀察、想象等途徑，直觀地感知問題的結(jié)果或方向——即“直觀”兩字的意義.,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式,整式的乘除一元二次方程的基本概念直角坐標(biāo)系與點的位置已知變量的值求函數(shù)值基本函數(shù)的概念與性質(zhì)特殊三角函數(shù)圓點的坐標(biāo)等等,幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式,實物直觀符號直觀圖形直觀和替代物直觀,幾何直觀和其他概念的比較,幾何直觀與數(shù)形結(jié)合幾何直觀與直觀幾何幾何直觀與空間觀念,幾何直觀和其他概念的比較,

6、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合幾何直觀的內(nèi)涵最重要之處是“直接感知” 數(shù)形結(jié)合是“以形助數(shù)”，,幾何直觀和其他概念的比較,幾何直觀與直觀幾何直觀幾何是幾何學(xué)的形態(tài)之一，也是一種幾何學(xué)習(xí)的方法 幾何直觀則是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，是一種能力.,幾何直觀和其他概念的比較,幾何直觀與空間觀念 空間觀念是幾何教學(xué)領(lǐng)域中的一個專用名詞，是幾何教學(xué)的一個重要目標(biāo). 幾何直觀卻并非是限于幾何領(lǐng)域內(nèi)的一個名詞，它盡管是借助了幾何，但卻跳出了幾何，適

7、用到了更寬廣的領(lǐng)域.,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀” ．幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實在課程內(nèi)容、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視圖景體驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力觀察與思考并重，培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力用“圖”說話，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語言”來思考問題的能力,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)

8、生幾何直觀能力的實踐,重視圖景體驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力中學(xué)數(shù)學(xué)中的空間想象能力主要是指：學(xué)生對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力．初中學(xué)生往往缺乏生活經(jīng)驗，因而對幾何圖形缺少直觀，缺少體驗．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視圖景體驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力進(jìn)行表象積累，增強(qiáng)感性認(rèn)識、比如：關(guān)于投影的教學(xué)．中心投影、平行投影這些概念和學(xué)生的生活實際,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,構(gòu)建操作實驗，獲得感

9、官經(jīng)驗要注重引導(dǎo)學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中，在活動中探究，在探究中獲得認(rèn)知、感受和體會．老師還必須引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行獨立的操作實驗活動，讓他們?nèi)ケ纫槐取⒄垡徽?、剪一剪、拼一拼、畫一畫．通過視覺、觸覺、聽覺等多種分析器官共同參與的操作活動，驗證一些原有的猜想或者產(chǎn)生一些新的發(fā)現(xiàn)．這種“直觀”比老師的說教有效得多．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,適當(dāng)運用多媒體演示，拓展空間想象能力多媒體演示形象具體，聲色兼?zhèn)洌瑒屿o結(jié)合，恰當(dāng)?shù)剡\用，可能變抽

10、象為具體，調(diào)動學(xué)生各種感官協(xié)同作用，拓展學(xué)生的空間想象能力．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,觀察與思考并重，培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生的直觀洞察能力非常重要，這種能力實質(zhì)上是對幾何圖形及其結(jié)構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷．類似于猜想，主要表現(xiàn)為靈感和頓悟．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,要重視學(xué)生基礎(chǔ)知識的訓(xùn)練扎實的基礎(chǔ)知識是產(chǎn)生直覺的源泉，沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出直覺的思維，也就無法提高學(xué)生的直觀洞察力．,培養(yǎng)和發(fā)展

11、學(xué)生幾何直觀能力的實踐,要注重事實引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想真正的科學(xué)探究應(yīng)是建立在思維的邏輯性和科學(xué)基礎(chǔ)上的有效探究．而有效探究的實施前提是必須建立在提出符合邏輯性和科學(xué)性的合理猜想的基礎(chǔ)之上．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,要注意觀察與思考并重直觀洞察力的產(chǎn)生要依賴于對幾何圖形全面及本質(zhì)的把握．沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不會有創(chuàng)造．但觀察必須與思考相結(jié)合，沒有思考的觀察就不是真正意義的觀察．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,用“圖”

12、說話，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語言”來思考問題的能力希爾伯特在《直觀幾何》中曾談到：“圖形可以幫助刻畫和描述問題，一旦用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單．”用圖形“說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,打扎實學(xué)生的知識基礎(chǔ)尤其是圖形知識這一塊。　　扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉，若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出直覺思維的火花，也就提高不了學(xué)生的直觀洞察能力。,培

13、養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視直觀圖形與數(shù)學(xué)符號的合情轉(zhuǎn)換。如在學(xué)生學(xué)習(xí)正比例函數(shù)圖像時，先引導(dǎo)學(xué)生用“描點法”畫出一幅表示正比例函數(shù)的圖像，,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視數(shù)與形的結(jié)合。比如不等式組的解法，借助數(shù)軸可以很直觀的得出結(jié)論。二次不等式問題，沒有坐標(biāo)系也很難掌握其解法。在認(rèn)真的審題的基礎(chǔ)上，通過出示直觀圖，巧妙借助幾何直觀，,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視解題教學(xué)。教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)、

14、考察學(xué)生的直觀洞察力。例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直觀思維的發(fā)展，實施開放性問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直觀洞察力的有效方法。,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,例如圖是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果這個蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h與時間t之間的關(guān)系的圖象是（　?。└鶕?jù)題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時間t之間的關(guān)系分為兩段，先快后慢．故選C

15、．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,利用圖形來記憶基礎(chǔ)知識 幾何的很多定理、公理、定義等學(xué)生很難記清楚，通過指導(dǎo)學(xué)生利用圖形來記憶就比較容易解決問題，同時也培養(yǎng)了學(xué)生用圖形的意識。 函數(shù)中的性質(zhì)對于學(xué)生來說，也相當(dāng)難以記住，而且也相當(dāng)容易混淆它們之間的關(guān)系。利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象比較形象直觀理解與記憶了它們的性質(zhì)。,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視圖感訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、作圖能力幾何直觀在本質(zhì)上是一種通

16、過圖形所展開想象的能力，它與許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相連．因此，我們在教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生“圖感”的訓(xùn)練．在日常的教學(xué)中，要幫助學(xué)生從小養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣．如直線公理的理解，探索平面內(nèi)的n個點，可以畫多少條線段，通過點的位置不斷變化，發(fā)現(xiàn)重要的結(jié)論：平面內(nèi)有n個點，可以畫條線段，與點的位置無關(guān)，只與點的數(shù)量有關(guān)。,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視三種幾何語言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生用圖形說話的能力幾何語言的基本形式有：圖形語言、文字語言、符號

17、語言．這三種語言在幾何中是并存的，通常又是相互滲透和轉(zhuǎn)化的．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,重視數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形”思考問題數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思維原則之一．幾何直觀與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連．一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,分析：這道題如果用代數(shù)方法解決相當(dāng)思想困難，但我們可以用幾何的方法把這道題直觀表示出來．

18、點評：這樣我們就將數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合了起來．在應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決問題的同時，巧妙借用幾何直觀，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，可以培養(yǎng)學(xué)生初步的幾何直觀能力．,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的誤區(qū) 為了直觀而直觀要注意誤差的干擾要注意直觀背后的的數(shù)學(xué)理性,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,美國魔術(shù)師保羅·卡瑞曾經(jīng)提出這樣的一個問題：如圖 5是正文形可以按圖中標(biāo)出名字的數(shù)據(jù)分割成五塊幾何

19、圖形，剪開后重新拼接成圖6，奇怪，怎么又多出了一個洞！這次斜線處并無重合，少掉的一個單位面積哪里去了呢？,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實踐,圖5中的斜線并不是嚴(yán)格在交叉點上，在分隔點上依次是2、12/7、10/7、8/7、6/7、4/7、2/7所以圖6的正方形的長度應(yīng)該是2+(6-6/7)=2+36/7=7+1/7，而不是7所以圖6的面積就是7×(7+1/7)=50，多出來的面積就是這樣出來的。,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有

20、效途徑,提升教師意識，注入動力例如：一位教師評講北師大版七年級上冊第一章豐富的圖形世界習(xí)題1.6中的一道題.問題是：一個小正方體的六面分別標(biāo)有字母A、B、C、D、E、F.如圖1是從不同方向看到的情形，你能說出A、B、E對面分別是什么字母嗎？你是怎樣判斷的？,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,該教師是這樣處理的，先找出與A相鄰的四個字母B、D、E、F，剩下的C就是與A相對的面的字母，再找另外兩個答案，結(jié)束后又讓學(xué)生練習(xí)了一道相關(guān)的習(xí)題.

21、但是學(xué)生理解得不好，原因是他們的空間想像能力還比較差，不易接受.其實，教師可以隨手把講桌上的粉筆盒當(dāng)作正方體，讓學(xué)生按照圖中的標(biāo)注在各個面上寫上相應(yīng)的字母，問題便迎刃而解. 這充分說明學(xué)情的了解對培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要性.,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,在教學(xué)活動中，一些教師懶得畫圖、不想演示、不愿操作等等，教師認(rèn)識不到該能力培養(yǎng)的重要性，缺乏運用幾何直觀分析問題的意識，便捕捉不到教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的機(jī)會，更談不上對學(xué)生

22、幾何直觀能力的培養(yǎng).因此，提升教師這些方面的意識是培養(yǎng)初中生幾何直觀能力最有效的途徑.,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,合理編寫教材，搭建平臺 如圖2，幾個四邊形是同一個四邊形縮小（保持形狀不變）而得到的，最終圖形可以看成是由同一點出發(fā)的四條射線，顯然，此時四個外角的和為周角360°.此習(xí)題設(shè)計恰到好處，四邊形的外角和從圖形縮小變換中直接得出結(jié)論，很是巧妙，還可以讓學(xué)生用此法思考多邊形的外角和.這就給學(xué)生提供了一種運用幾何

23、直觀解決問題的方法.,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,參與實驗活動，內(nèi)化能力在講解：計算這道題時，教師往往會呈現(xiàn)如右的一個正方形圖形（圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，分析得出就等于的結(jié)果，運用幾何直觀巧妙轉(zhuǎn)化了，計算難度大大降低了.,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,改革評價制度，減少阻力現(xiàn)行用人制度中的唯文憑論，導(dǎo)致教育的應(yīng)試性，造成學(xué)校、家長、社會評價教師能力、教學(xué)水平的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是學(xué)生的分?jǐn)?shù)，這束

24、縛了教師的手腳.即使教師認(rèn)識到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要性，也不會花更多的精力、時間來培養(yǎng)它，因為考試時很難考察學(xué)生這方面的能力.,初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑,認(rèn)識直觀局限，避入誤區(qū)八年級下冊第六章習(xí)題6.1第1題：（1）圖5中兩條線段與的長度相等嗎？（2）圖6中的四邊形是正方形嗎？,直觀是前提,抽象是本質(zhì),適度是關(guān)鍵,蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》一書《談?wù)勚庇^性問題》,物體的直觀形象本身，也可能把學(xué)生的注意力吸引住一個相當(dāng)長

25、的時間，但是運用直觀的手段絕不是為了整節(jié)課地抓住學(xué)生的注意不放。在課堂上引進(jìn)直觀手段，倒是為了在教學(xué)的某一個階段上是兒童擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規(guī)律上去。,烏申斯基說，兒童是“用形式、聲音、色彩和感覺”思維的。直觀性是一種發(fā)展觀察力和發(fā)展思維的力量，它能給認(rèn)識帶來一種情緒色彩。如果不形成發(fā)達(dá)的、豐富的情緒記憶，就談不上童年時期的完滿的智力發(fā)展。,幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)

26、超出對幾何圖形本身的研究意義。相信對幾何直觀的研究能夠成為數(shù)學(xué)教育的核心問題。 ——秦德生、孔凡哲 《關(guān)于幾何直觀的思考》， 刊《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第10期,結(jié)束語,幾何直觀的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，在教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識，采用多種教學(xué)手段，教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生運用多種感