計(jì)算藥物分析藥學(xué)與生物信息學(xué)第二章

1、第2章 化學(xué)中常用的計(jì)算方法,矩陣及其基本運(yùn)算線性方程組和回歸分析 高次方程的求解插值和擬合,一、矩陣概念,1. 矩陣的定義,簡(jiǎn)記為,實(shí)矩陣: 元素是實(shí)數(shù),復(fù)矩陣： 元素是復(fù)數(shù),例如：,是一個(gè) 實(shí)矩陣,是一個(gè) 復(fù)矩陣,是一個(gè) 矩陣,,是一個(gè) 矩陣.,是一個(gè) 矩陣,,2.一些特殊的矩陣,零矩陣(Zero Matrix):,注意：,不同

2、階數(shù)的零矩陣是不相等的.,例如：,元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作 或 .,行矩陣(Row Matrix):,列矩陣(Column Matrix):,方陣(Square Matrix):,只有一行的矩陣,稱為行矩陣(或行向量).,只有一列的矩陣,稱為列矩陣(或列向量).,例如：,是一個(gè) 3 階方陣.,對(duì)角陣(Diagonal Matrix):,方陣，主對(duì)角元素不全為零，非主對(duì)角元素都為零。,數(shù)量矩陣(Sca

3、lar Matrix):,方陣，主對(duì)角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零。,單位矩陣(Identity Matrix):,記作:,行列式與矩陣的區(qū)別:,1. 一個(gè)是算式 ，一個(gè)是數(shù)表,2. 一個(gè)行列數(shù)相同 , 一個(gè)行列數(shù)可不同.,3. 對(duì) n 階方陣可求它的行列式. 記為:,方陣，主對(duì)角元素全為1，其余元素都為零。,系數(shù)矩陣,個(gè)變量,與,個(gè)變量,之間的,關(guān)系式,其中,為常數(shù).,,,,,,,系數(shù)矩陣,二、矩陣的基本運(yùn)算,1. 矩陣相

4、等,矩陣相等:,例：,同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等,2. 矩陣的加減法,設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為,加法:,注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.,例如：,3. 數(shù)與矩陣相乘,數(shù)乘:,注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別.,數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：,矩陣相加與

5、數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.,（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）,定義：,并把此乘積記作,4. 矩陣與矩陣相乘,設(shè) 是一個(gè) 矩陣， 是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè) 矩陣 ，其中,例１：,例2：,,,,,,,求AB,故,解:,注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)， 兩個(gè)矩

6、陣才能相乘.,例如:,不存在.,矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律：,（其中 為數(shù)）;,矩陣乘法不滿足交換律,例 : 設(shè),則,注意：,5. 矩陣的轉(zhuǎn)置,定義: 把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .,例:,轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：,對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.,說(shuō)明：,例:,設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即那末 稱為對(duì)

7、稱陣.,對(duì)稱陣:,,,,,6.方陣的行列式,定義：由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣 的行列式，記作 或,運(yùn)算規(guī)律：:,MatLab 概述與運(yùn)算基礎(chǔ),Matrix Laboratory,20世紀(jì)70年代中期，美國(guó)New mexico 大學(xué)計(jì)算機(jī)系主任的Cleve Moler和其同事在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金的資助下研究開發(fā)了調(diào)用LINPACK和EISPACK子程序庫(kù)。并于1984年編寫了便于使用LIN

8、PACK和EISPACK的接口程序，并將該程序取名為MATLAB。由美國(guó) MathWorks 公司推向市場(chǎng)以來(lái)，現(xiàn)已成為國(guó)際公認(rèn)的最優(yōu)秀的工程應(yīng)用開發(fā)環(huán)境。MATLAB功能強(qiáng)大、簡(jiǎn)單易學(xué)、編程效率高，深受廣大科技工作者的歡迎。,MatLab 概述與運(yùn)算基礎(chǔ),2001年初推出了MATLAB6.0(R12)正式版，不僅在數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算和圖形處理等功能上進(jìn)一步加強(qiáng)，而且又增加了一些工具箱。目前MATLAB已擁有數(shù)十個(gè)工具箱，控制系統(tǒng)工具

9、箱、信號(hào)處理工具箱、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱、最優(yōu)化工具箱、金融工具箱偏微分方程工具箱等… 。MATLAB語(yǔ)言的算法先進(jìn)，許多功能函數(shù)都帶有算法的自適應(yīng)性，且運(yùn)算速度快捷。MATLAB編程容易、效率高，調(diào)試方便、簡(jiǎn)單，人機(jī)交互性強(qiáng)。,MatLab 概述與運(yùn)算基礎(chǔ),MATLAB的數(shù)值計(jì)算功能包括：矩陣運(yùn)算、多項(xiàng)式和有理分式運(yùn)算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)值積分、優(yōu)化處理等。符號(hào)計(jì)算可以得到問(wèn)題的解析解。,MATLAB除了命令行的交互式操作以外，還可以程序

10、方式工作。使用MATLAB可以很容易地實(shí)現(xiàn)C或FORTRAN語(yǔ)言的幾乎全部功能，包括Windows圖形用戶界面的設(shè)計(jì)。,MATLAB提供了兩個(gè)層次的圖形命令：一種是對(duì)圖形句柄進(jìn)行的低級(jí)圖形命令，另一種是建立在低級(jí)圖形命令之上的高級(jí)圖形命令。利用MATLAB的高級(jí)圖形命令可以輕而易舉地繪制二維、三維，并可進(jìn)行圖形和坐標(biāo)的標(biāo)識(shí)、視角和色彩精細(xì)控制等操作。,逗號(hào)或空格用于分隔某一行的元素，分號(hào)用于區(qū)分不同的行。除了分號(hào)，在輸入矩陣時(shí)，按Ent

11、er鍵也表示開始一新行。輸入矩陣時(shí)，嚴(yán)格要求所有行有相同的列。 例 m=[1 2 3 4 ；5 6 7 8；9 10 11 12] p=[1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3],1、矩陣的建立,MatLab,特殊矩陣的建立：,d=eye(m，n) 產(chǎn)生一個(gè)m行、n列的單位矩陣,c=on

12、es(m，n) 產(chǎn)生一個(gè)m行、n列的元素 全為1的矩陣,b=zeros(m，n) 產(chǎn)生一個(gè)m行、n列的零矩陣,a=[ ] 產(chǎn)生一個(gè)空矩陣，當(dāng)對(duì)一項(xiàng)操作無(wú)結(jié) 果時(shí)，返回空矩陣，空矩陣的大小為零.,MATLAB 程序： 矩陣的建立,m=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]p=

13、[1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3]a=[ ]b=zeros(2,3)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3),2、矩陣中元素的操作,,（1）矩陣A的第r行：A（r，：）,（2）矩陣A的第r列：A（：，r）,（4）取矩陣A的第i1~i2行、第j1~j2列構(gòu)成新矩陣:A(i1:i2, j1:j2),（5）以逆序提取矩陣A的第i1~i2行，構(gòu)成新矩陣:A(i2:-1：i1，：）,（6

14、）以逆序提取矩陣A的第j1~j2列，構(gòu)成新矩陣:A(:, j2:-1：j1 ）,（7）刪除A的第i1~i2行，構(gòu)成新矩陣:A(i1:i2，：)=[ ],（8）刪除A的第j1~j2列，構(gòu)成新矩陣:A(：， j1:j2)=[ ],（9）將矩陣A和B拼接成新矩陣：[A B]；[A；B],（3）依次提取矩陣A的每一列，將A拉伸為一個(gè)列向量：A（：）,MATLAB 程序： 矩陣元素的操作,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]a1=a

15、(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=[]a8=a;a8(:,1)=[]a9=[a a2]a10=[a;a1],（2）矩陣-矩陣運(yùn)算 [1] 元素對(duì)元素的運(yùn)算，同數(shù)組-數(shù)組運(yùn)算。,3、矩陣的運(yùn)算,（1）標(biāo)量-矩陣運(yùn)算 同標(biāo)量-數(shù)組運(yùn)算。,[2]

16、矩陣運(yùn)算：矩陣加法：A+B矩陣乘法：A*B方陣的行列式：det（A）方陣的逆：inv（A）,MATLAB 程序：矩陣元素的操作,a=[1 2 3 4 5 6]b=[1 2 1 2 1 2]c1=a+ac2=a*bc=[2 7 3;3 9 4;1 5 3]c3=det(c)c4=inv(c),矩陣的基本運(yùn)算,轉(zhuǎn)置: AT或A’ (矩陣的行與列互換),對(duì)稱矩陣（A=AT）,求逆: A，B均

17、為方陣，如AB=BA，則A是可,逆的，記為B=A-1,,矩 陣 解 法,正規(guī)方程組 （m=n，方陣）AX=BA-1AX=A-1B （ A-1A=In ）InX=A-1B （ InX=In ）X=A-1B,例 解：,超定方程組 （ ）AX=B(ATA) X=ATB(ATA)-1 (ATA) X= (ATA)-1 ATB InX =(ATA)-1 ATB X= (ATA)-1 ATB,矩 陣 解

18、法,,應(yīng)用示例：（光譜分析中的多組分測(cè)定 ）A=ECLA=A1+A2+…+An,,,應(yīng)努力建立條件數(shù)小的方程組，避免因解病態(tài)方程組造成的誤差。由于方程組的條件數(shù)取決于系數(shù)矩陣，根據(jù)研究體系的特征，選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)點(diǎn)，是避免產(chǎn)生病態(tài)方程組的關(guān)鍵。如計(jì)算分光光度法中當(dāng)各組分光譜完全相同，將得到無(wú)解的奇異矩陣；但假如雖然有差別，可差別很小，則條件數(shù)必然很大，則將得到病態(tài)方程組。分光光度法中波長(zhǎng)的選擇十分重要。,二、 線性方程組和

19、回歸分析,,克萊姆公式高斯消去法矩陣解法,矩陣解法,系數(shù)矩陣-A,未知數(shù)矩陣-X,常數(shù)矩陣-B,矩陣形式：AX=B X=inv(A)*B=A\B,一元線性回歸及有關(guān)計(jì)算,一元線性回歸 - 二變量間x和y的線性關(guān)系,,,,y,x,*,*,*,*,*,,,線性相關(guān)系數(shù)的求算,總變差平方和,,,0,S=Q(殘差平方和)+U(回歸差平方和),,,,,三、高次方程的求解,迭代法,三、高次方程的近似求解,,對(duì)方程f(x)

20、= 0 求近似解，使f(x*)≈0,設(shè)初值x0，按一定規(guī)則生成新值x1依次計(jì)算生成數(shù)列: x0,x1,x2,x3……xn lim xn =x*,│ xn-xn-1│< ε,弦截法,基本原理,迭代通式,收斂指標(biāo),牛頓-雷扶生法的基本思想,設(shè) 是f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在 處作泰勒展開 若取前兩項(xiàng)來(lái)近似代替f(x)(稱為f(x)的線性化)，則得近似的線性方程 設(shè)

21、 ，令其解為 ，得 這稱為f(x)=0的牛頓迭代格式。,牛頓-雷扶生法,切線逼近法,,特點(diǎn)：一個(gè)初始值；收斂速度快，求根方便,,,x0=1, x1 = 1- (1-2-5)/(3*1-2) =7x2=4.7655 x3=3.

22、3487 x4=2.5316 x5=2.1739 x6=2.09788 x7 =2.094552 x8=2.094552,注意點(diǎn)：1、 收斂標(biāo)準(zhǔn)：2、 初始值：3、 可能有多個(gè)解,,設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，且已知在點(diǎn),上的,函數(shù) ，,,成立，就稱 為 的插值函數(shù)，點(diǎn) 稱為插,值節(jié)點(diǎn)，包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間 稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù),若存在一簡(jiǎn)單,使,的方

23、法稱為插值法。,四、插值和擬合,,若 是次數(shù)不超過(guò) 的代數(shù)多項(xiàng)式，,其中 為實(shí)數(shù)，就稱 為插值多項(xiàng)式，,若 為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值.,若 為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值.,即,相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值.,從幾何上看，插值法就是就曲線 ，使其通過(guò)給定的 個(gè)點(diǎn) ，并用它近似已知曲線 .,,見(jiàn)圖,,對(duì)表2-2 的數(shù)據(jù)，如僅用末兩列數(shù)

24、據(jù)，則只能用線性插值得到正確的結(jié)果。 上式中x應(yīng)為滴定劑體積V, y為對(duì)應(yīng)的電位二次微商值(△2E/△V2)，這里要求結(jié)果為0。Ve=interp1(x,y,0,‘method’,) 0可為數(shù)組，‘method’為linear（缺?。?，nearest(最近鄰點(diǎn)插值)，cubic (三次插值)。,polyfit可廣泛用于各種擬合,設(shè)初始劑量為D0，每次注射劑量為D，注射間隔時(shí)間為τ，給藥方案為[D0,D,τ]。血藥濃度

25、 應(yīng)保持在10～25 ug/mL之間, 則 D0 =vc2 = 375 mg, D=v(c2-c1)=225 mg 可制定給藥方案首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時(shí)間為4小時(shí)。,help polyfit POLYFIT Polynomial curve fitting. POLYFIT(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x

26、) of degree n that fits the data, p(x(i)) ~= y(i), in a least-squares sense. [p,S] = POLYFIT(x,y,n) returns the polynomial coefficients p and a matrix S for use with POLYVAL to produce error estimates on predicti