02第二章極限與連續(xù)

1、1極限極限一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求（一）學(xué)習(xí)要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會(huì)用兩個(gè)重要極限公式求極限4掌握極限的四則運(yùn)算法則5理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，知道間斷點(diǎn)的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理）7會(huì)用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點(diǎn)重點(diǎn)極限的求法，兩個(gè)重要極限，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念難點(diǎn)難點(diǎn)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的

2、連續(xù)性（二）內(nèi)容提要（二）內(nèi)容提要１極限的定義１極限的定義(1)函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表極限定義表類型描述性定義極限記號(hào)極限的時(shí)函數(shù))(xfx??設(shè)函數(shù)在為某個(gè)正實(shí)數(shù))時(shí))(xfy?bx?b(有定義，如果當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，相應(yīng)x的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為AA（讀作“趨于無窮”）時(shí)函數(shù)的極限??xx)(xf或Axfx???)(lim)()(???xAxf極限的時(shí)函數(shù))(xfx???設(shè)函數(shù)為某個(gè)實(shí)數(shù)

3、)內(nèi)有定義，aaxfy()()(???在如果當(dāng)自變量無限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限x)(xf接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀AA???x作“趨于正無窮”）時(shí)函數(shù)的極限x)(xf或Axfx????)(lim)()(????xAxf極限的時(shí)函數(shù))(xfx???設(shè)函數(shù)(為某個(gè)實(shí)數(shù))內(nèi)有定)()(axfy???在a義，如果當(dāng)自變量無限增大且時(shí)，相應(yīng)的函x0?x數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱)(xfA為（讀作“趨于負(fù)無窮”）時(shí)函數(shù)A???x

4、x的極限)(xf或Axfx????)(lim)()(????xAxf極限的時(shí)函數(shù))(0xfxx?設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有)(xfy?0x)?(0?xN定義，如果當(dāng)自變量在內(nèi)無限接近于時(shí)，x)?(0?xN0x相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，)(xfA則稱為當(dāng)（讀作“趨近于”）時(shí)函數(shù)A0xx?x0x的極限)(xf或Axfxx??)(lim0)()(0xxAxf??極限的時(shí)函數(shù))(0xfxx??設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左半鄰域)(xfy?0x內(nèi)有

5、定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi))(00xx??x從左側(cè)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限0x0x)(xf接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時(shí)AAx0x函數(shù)的左極限)(xf或Axfxx???)(lim0AxfxxAxf?????)0()()(00或3其他極限變化過程有完全類似的結(jié)論（１）無窮小量在自變量的某個(gè)變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小例如如果，則稱當(dāng)時(shí)是無窮小量0)(lim0??xfxx0xx?)(x

6、f注意注意一般說來，無窮小表達(dá)的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個(gè)變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（２）無窮大量在自變量的某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值可以無限增大的變量稱為這個(gè)變化過程中的無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號(hào)，表示“當(dāng)時(shí)是無窮大量”???)(lim0xfxx0xx?)(xf（３）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個(gè)變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是

7、無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（４）無窮小量的運(yùn)算①有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量②有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量③無窮小量與有界量的乘積是無窮小量④常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個(gè)無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表無窮小量的比較表設(shè)在自變量的變化過程中，均是無窮小量0xx?)()(xx??與無窮小的比較定義記號(hào)高階的無窮小是比)()(xx??0)()(lim0??xxxx????)()(x

8、x????（）0xx?是同階的無窮小與)()(xx??)()()(lim0為不等于零的常數(shù)CCxxxx????是等階無窮小與)()(xxa?1)()(lim0??xaxxx?（)(~)(xx??）0xx?5函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性⑴函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念①函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義：定義１定義１設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量趨)(xf0x0xxx???于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即，??0)()(limlim000