函數(shù)對稱性、周期性全解析

1、函數(shù)的對稱性和奇偶性函數(shù)函數(shù)的對稱性和奇偶性函數(shù)函數(shù)對稱性、周期性基本知識函數(shù)對稱性、周期性基本知識一、同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)1、周期性：對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有)(xfy?都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周)()(xfTxf??)(xfy?期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期最小正周期。2、對稱性定

2、義（略），請用圖形來理解。3、對稱性：我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式)()(xfxf??奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式0)()(???xfxf上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答案是肯定的探討：（1）函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于對稱對稱、、(異號考慮對稱異號考慮對稱))(xfy?ax??)()(xafxaf???也可以寫成或)()(xafxaf???)2()(xafxf??)2()(xafxf???簡證：簡證：設(shè)點(diǎn)在上

3、，通過可知，)(11yx)(xfy?)2()(xafxf??，即點(diǎn)上，而點(diǎn)與點(diǎn))2()(111xafxfy???)()2(11xfyyxa??也在)(11yx關(guān)于x=a對稱。得證。)2(11yxa?若寫成：若寫成：，函數(shù)關(guān)于直線對)()(xbfxaf???)(xfy?22)()(baxbxax??????稱（2）函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱對稱)(xfy?)(ba?bxafxaf2)()(????或bxfxaf2)()2(????上述關(guān)系也

4、可以寫成bxfxaf2)()2(???簡證：簡證：設(shè)點(diǎn)在上，即，通過可知，)(11yx)(xfy?)(11xfy?bxfxaf2)()2(???，所以，所以點(diǎn)bxfxaf2)()2(11???1112)(2)2(ybxfbxaf?????也在上，而點(diǎn)與關(guān)于對稱。得)22(11ybxa??)(xfy?)22(11ybxa??)(11yx)(ba證。若寫成：若寫成：，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱cxbfxaf????)()()(xfy?)22(cba?（

5、3）函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱對稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，即關(guān)于任一個值，都有兩個y)(xfy?by?by?x值與其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱。但在曲線c(xy)=0，by?則有可能會出現(xiàn)關(guān)于對稱，比如圓它會關(guān)于y=0對稱。by?04)(22????yxyxc4、周期性：（1）函數(shù)滿足如下關(guān)系系，則)(xfy?Txf2)(的周期為A、B、)()(xfTxf???)(1)()(1)(xfTxfxfTxf?????或換

6、種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。)(xfy?)(xgy?axgxf2)()(??ay?5、關(guān)于點(diǎn)(ab)對稱。)2(2)(xafbyxfy????與換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于點(diǎn)(ab)對稱。)(xfy?)(xgy?bxagxf2)2()(???6、與關(guān)于直線對稱。)(xafy??)(bxy??2bax??7、函數(shù)的軸對稱：定理1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對??xfy?????xbfxaf?????xfy?2bax??稱.

7、推論1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.??xfy?????xafxaf?????xfy?ax?推論2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線（y軸）對稱.特??xfy?????xfxf????xfy?0?x別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡化.8、函數(shù)的點(diǎn)對稱：定理2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對??xfy?????bxafxaf2??????xfy???ba稱.推論3：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對

8、稱.??xfy?????0????xafxaf??xfy???0a推論4：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.特別地，??xfy?????0???xfxf??xfy???00推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.三、試題1已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果??xf????4????xfxf??xf????2，且，則的值（A）.212xx??421??xx????21xfxf?A恒小于0B恒大于0C可能