數(shù)學悖論

1、羅素的“悖論”英國現(xiàn)代數(shù)理學家、哲學家羅素，是數(shù)學中邏輯主義學派的代表人物。1903年他提出了著名的“悖論”，導致了“集合論”理論的發(fā)展。所謂悖論，是從一些貌似正確的或看來可接受的約定出發(fā)，經(jīng)過簡明正確的推理，卻得到自相矛盾的結論。例如，對一個命題，如果假定它為真，經(jīng)過無懈可擊的推理，卻推出它為假；但假定它為假，又能推出它為真。這樣的命題就是一個悖論。下面是羅素提出的一個命題：某理發(fā)師規(guī)定：他只給那些自己不給自己刮臉的人刮臉。這個理發(fā)師

2、該不該給自己刮臉呢？很顯然，如果這個理發(fā)師給自己刮臉，那么按規(guī)定他就不該給自己刮臉；同時，如果他不給自己刮臉，那么按規(guī)定他又應該給自己刮臉。多尷尬的理發(fā)師！這樣自相矛盾的命題就是悖論。聰明的讀者，請你分析下面的一句話：安第斯山人迪皮克說：“所有安第斯山人說的話都是謊話?！蹦隳芡瞥鲞@句話中的悖論嗎6參考答案：如果這句是真話，由于迪皮克是安第斯山人，他也是說謊者，因此這句話是謊話。如果這句話是謊話，那么安第斯山人不都是說謊者，可是他的話說明

3、是在說謊，因此是句真話。摘要：本文主要通過數(shù)學史上的三次危機的產(chǎn)生與消除，針對它們的本質淺談自己的認識，摘要：本文主要通過數(shù)學史上的三次危機的產(chǎn)生與消除，針對它們的本質淺談自己的認識，實際導致這三次危機原因在與人的認識。第一次數(shù)學危機是人們對萬物皆數(shù)的誤解，隨著實際導致這三次危機原因在與人的認識。第一次數(shù)學危機是人們對萬物皆數(shù)的誤解，隨著無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，把第一次數(shù)學危機度過了。第二次數(shù)學危機是人們對無窮小的誤解，微積無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，把第一次

4、數(shù)學危機度過了。第二次數(shù)學危機是人們對無窮小的誤解，微積分的出現(xiàn)產(chǎn)生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結合。是通過無窮趨近分的出現(xiàn)產(chǎn)生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結合。是通過無窮趨近而確定某一結果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，給數(shù)學界以極大的震動，導致了數(shù)學史上的第三次危而確定某一結果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，給數(shù)學界以極大的震動，導致了數(shù)學史上的第三次危機。為了探求其根源和解決難題的途徑，在數(shù)學界機。為了探求其根源和解決難題

5、的途徑，在數(shù)學界邏輯界進行了不懈的探討，提出了一系邏輯界進行了不懈的探討，提出了一系列解決方案，并在不知不覺中大大推動了數(shù)學和邏輯學的發(fā)展。列解決方案，并在不知不覺中大大推動了數(shù)學和邏輯學的發(fā)展。關鍵詞：危機；萬物皆數(shù)；無窮??；分析方法；集合關鍵詞：危機；萬物皆數(shù)；無窮??；分析方法；集合一、前言一、前言數(shù)學常常被人們認為是自然科學中發(fā)展得最完善的一門學科，但在數(shù)學的發(fā)展史中，卻經(jīng)數(shù)學常常被人們認為是自然科學中發(fā)展得最完善的一門學科，但在

6、數(shù)學的發(fā)展史中，卻經(jīng)歷了三次危機，人們?yōu)榱耸箶?shù)學向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次歷了三次危機，人們?yōu)榱耸箶?shù)學向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次危機中導致無理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機發(fā)生在十七世紀微積分誕生后，無窮小量的刻畫問危機中導致無理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機發(fā)生在十七世紀微積分誕生后，無窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機發(fā)生在題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機發(fā)生在1919世紀末，

7、羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學世紀末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學危機。本文界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學危機。本文回顧了數(shù)學上三次危機的產(chǎn)與發(fā)展，并給出了自己對這三次危機的看法，最后得出確定性回顧了數(shù)學上三次危機的產(chǎn)與發(fā)展，并給出了自己對這三次危機的看法，最后得出確定性喪失的結論。喪失的結論。二、數(shù)學史上的第一次二、數(shù)學史上的第一次“危機危機”

8、第一次數(shù)學危機是發(fā)生在公元前第一次數(shù)學危機是發(fā)生在公元前580580～568568年之間的古希臘。那時的數(shù)學正值昌盛，忒被是年之間的古希臘。那時的數(shù)學正值昌盛，忒被是以畢達哥拉斯為代表的畢氏學派對數(shù)的認識進行了研究，他們認為以畢達哥拉斯為代表的畢氏學派對數(shù)的認識進行了研究，他們認為“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”。所謂數(shù)。所謂數(shù)就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過揭示

9、數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分數(shù)，除此之外他宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分數(shù)，除此之外他們不認識也不承認別的數(shù)。在那個時期，上述思想是絕對權威、是們不認識也不承認別的數(shù)。在那個時期，上述思想是絕對權威、是“真理真理”。但是不久人。但是不久人們發(fā)現(xiàn)即使邊長為們發(fā)現(xiàn)即使邊長為1的正方形對角線不是可比數(shù)。這樣畢達哥拉斯的正方形對角線不是可

10、比數(shù)。這樣畢達哥拉斯“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”是不成立是不成立的，絕對的權威受到了嚴重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對角線的長不是整數(shù)分數(shù)，按的，絕對的權威受到了嚴重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對角線的長不是整數(shù)分數(shù)，按照他們的觀點，這種長度不是數(shù)！另一方面，他們不承認自己的觀點有問題，這就陷入了照他們的觀點，這種長度不是數(shù)！另一方面，他們不承認自己的觀點有問題，這就陷入了極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學危機。極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學危機。

11、三、第二次數(shù)學危機三、第二次數(shù)學危機第二次數(shù)學危機發(fā)生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問第二次數(shù)學危機發(fā)生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學危機。其實我翻了一下有關數(shù)學史的資料，阿基題，數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學危機。其實我翻了一下有關數(shù)學史的資料，阿基米德的逼近法實際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到很多年后，牛頓和萊布尼茲米德的逼近法實

12、際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到很多年后，牛頓和萊布尼茲集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其

13、深刻地影響了整個數(shù)學。如圍繞著數(shù)學基礎之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學史上著名的三大數(shù)學流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學的大發(fā)展等等。1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這

14、樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉？“如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術的基本法則》第２卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地“。于是終結了

15、近12年的刻苦鉆研。承認無窮集合，承認無窮基數(shù)，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續(xù)著。第三次數(shù)學危機發(fā)生在第三次數(shù)學危機發(fā)生在19021902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學界，號稱天衣無縫，絕對年

16、，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數(shù)學出現(xiàn)了自相矛盾。羅素在該悖論中所定義的集合正確的數(shù)學出現(xiàn)了自相矛盾。羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于由于R是集合，若是集合，若R含有自身作為元素，就有含有自身作為元素，就有R

17、R，那么從集合的角度就有，那么從集合的角度就有RR。一個集合。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于有異于R的元素，又要的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循RR的基本原則，否則就是不合的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切法的集合。這樣看來，羅素悖論中所

18、定義的一切RR的集合，就應該是一切合法集合的集的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的也就是包含一切集合的“最大的集合最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。羅素悖

19、論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。(2)(2)第三次數(shù)學危機的解決第三次數(shù)學危機的解決羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數(shù)學家策梅羅，他提出七條立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數(shù)學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論

20、，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學家弗芝克爾的改進，公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZFZF公理系統(tǒng)），這場數(shù)學危機到此緩和下來。公理系統(tǒng)），這場數(shù)學危機到此緩和下來?，F(xiàn)在，我們通過離散數(shù)學的學習，知道集合論主要分為現(xiàn)在，我們通過離散數(shù)學的學習，知道集合論主要分為CantCant集合論和集合論和AxiomaticAxiom

21、atic集合論，集合論，集合是先定義了全集集合是先定義了全集I，空集，在經(jīng)過一系列一元和二元運算而得來的。而在七條公理上，空集，在經(jīng)過一系列一元和二元運算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學得以發(fā)展。三次數(shù)學危機是我們數(shù)學建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學得以發(fā)展。三次數(shù)學危機是我們數(shù)學史發(fā)展中的一個奠基，他為我們日后更詳細、深入的研究數(shù)學做了很好的鋪墊，我我想以史發(fā)展中的一個奠基，他為我們