推理2.5 縱向溝通 橫向拓寬 激活類比法

1、2.52.5縱向溝通縱向溝通橫向聯(lián)系橫向聯(lián)系激活激活類比法類比法勾股定理是古代文明的一個重要標志，吸引了無數(shù)仁人志士的探索，因此是證明方法最多的定理，已發(fā)表的有近400種，如我國古代趙爽，希臘畢達哥拉斯，意大利達芬奇，美國總統(tǒng)加菲爾德等，他們的證法各具特色.方法大體上是:相似、構(gòu)圖、面積法.那么這條平面幾何中著名的定理是否可以在立體幾何上找到一個類似的定理呢？首先我們想一想，在空間有什么幾何圖形是非常類似平面上的三角形？你說這不是很容易

2、嗎？三角形是邊數(shù)最少的多邊形.多面體中面數(shù)最少是四面體.四面體就可以看成三角形的推廣，應(yīng)該將四面體與三角形類比.再想，四面體中什么與直角三角形類似呢？你看直角三角形頂點張出的角度是直角，我們是否可以考慮一個四面體，它的一個頂點，對著其他三邊張出的角度都是直角？非常好！你這樣的想法對頭了.如果還沒有想到，你可以抬頭看看你前面的墻腳，你想像一個平面把墻腳的三個互相垂直的邊一截，就可以得到這個特殊的四面體了.或者，你可以拿一塊長方體的橡皮泥，

3、就在它的一角斜切，就可以得到一個很形象的四面體，不妨叫做“直角四面體”（如圖）.直角三角形在空間類似的形體找到了，再回頭看直角三角形的性質(zhì)“勾股定理”是怎樣的性質(zhì)？是有關(guān)直角三角形邊緣的性質(zhì).如果能推廣這定理到“直角四面體”，這定理也將是關(guān)于它的邊緣的性質(zhì).直角三角形的邊緣是邊長，而四面體的邊緣是三角形的面積.由勾股定理三條邊長的數(shù)量關(guān)系：222cba??，可以猜想四面體的四個面的面積關(guān)系了.注意，直角三角形只有兩條直角邊，而“直角四面

4、體”有3個直角三角形的面.再進一步想.是2OABS?2OBCS?2OCAS?=2ABCS?嗎？還是3OABS?3OBCS?3OCAS?=3ABCS?？可能吃不準，不要緊，你可以找實際的特殊例子來驗算，例如設(shè)OA=3，OB=4，OC=2.好，這下你找到答案了吧，應(yīng)該是2OABS?2OBCS?2OCAS?=2ABCS?.比方法即為降維類比.空間“勾股定理”就是降維類比猜想得到的。例如圖，過四面體VABC的底面內(nèi)任一點O分別作OA1∥VA，O

5、B1∥VB，OC1∥VC，A1B1C1分別是所作直線與側(cè)面交點.求證：為定值.VAOA1VBOB1VCOC1證明:先考慮平面上的類似問題：在△ABC中邊AB上任取一點O，作OA1∥AC，交BC于A1，作OB1∥BC，交AC于B1。求證為定值.ACOA1BCOB1事實上，==1.ACOA1BCOB1ABOBABOA再考慮空間的上述問題.如圖，設(shè)平面OA1VABC=M平面OB1VBAC=N，平面??OC1VCAB=L，?則有△MOA1∽△M

6、AV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV，得=.VAOA1VBOB1VCOC1AMOMBNONCLOL在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，所以===1.AMOMBNONCLOLABCOBCSS??ABCOACSS??ABCOABSS??ABCABCSS??即證明了為定值1.VAOA1VBOB1VCOC1事實上，正如波利亞所說，平面幾何與立體幾何、三角形與四面體、三角形與棱錐都可以類比：平面幾何立體幾何長方形的每一邊

7、與另一邊平行，而與其余的邊垂直長方體的每一面與另一面平行，而與其余的面垂直在平行四邊形中對角線互相平分在平行六面體中，對角線相交于同一點，且在這一點互相平分在平行四邊形中，各對角線長的平方和等于各邊長的平方和在平行六面體中，各對角線長的平方和等于各棱長的平方和等腰三角形的一條高通過底邊的中點正棱錐的高通過它的底面多邊形的外接圓圓心圓面積=圓周長與半徑之積的21球體積=球面積與半徑積的31余弦定理：c2=a2b22abcosC異面直線上兩