判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

1、1江北觀音橋步行街陽(yáng)光城16樓A3A4Tel：678677138931212389312125判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法一、定義法一、定義法設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)定義域上任意的兩個(gè)數(shù)，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函數(shù)為增函數(shù)；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函數(shù)為減函數(shù).【例1】證明：當(dāng)時(shí)，。0?x)1ln(xx??證明：令01111)()1ln()(??????????xxxxfxxxf所

2、以，當(dāng)時(shí)，，所以為嚴(yán)格遞增的0?x0)(??xf)(xf，所以。0)01ln(0)0()(??????fxf)1ln(xx??二、性質(zhì)法二、性質(zhì)法除了用基本初等函數(shù)的單調(diào)性之外，利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)也能簡(jiǎn)化解題.若函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間B上具有單調(diào)性，則在區(qū)間B上有：⑴f(x)與f(x)＋C（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性；⑵f(x)與c?f(x)當(dāng)c＞0具有相同的單調(diào)性，當(dāng)c＜0具有相反的單調(diào)性；⑷當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函

3、數(shù)，則f(x)＋g(x)都是增(減)函數(shù)；⑸當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)?g(x)當(dāng)兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)也是減(增)函數(shù)；三、同增異減法三、同增異減法是處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的常用方法.對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]滿足“同增異減”法(應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域)，可令t＝g(x)，則三個(gè)函數(shù)y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；若

4、有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù).注：（1）奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性；（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（3）如果f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù).設(shè)單調(diào)函數(shù)為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù))(xfy?)(xgy?(1)若增，增，則增.)(xfy?)(xgy?))((xgfy?3江北觀音橋步行街陽(yáng)光城16樓A3A4Tel：678

5、677138931212389312125y=e^2x4e^x3=(e^x2)^27≥7值域[7＋∞）3.換元法多用于復(fù)合型函數(shù)。通過(guò)換元，使高次函數(shù)低次化，分式函數(shù)整式化，無(wú)理函數(shù)有理化，超越函數(shù)代數(shù)以方便求值域。特別注意中間變量（新量）的變化范圍。y=x2√(x1)2令t=√(x1)則t≤0x=t^21.y=t^22t1=(t1)^22≤1值域(－∞1].4.不等式法用不等式的基本性質(zhì)，也是求值域的常用方法。y=（e^x1）(e^x

6、1)(01(e1)y=12(e^x1)12(e1).值域(12(e1)＋∞).5.最值法如果函數(shù)f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域?yàn)閇mM].因此求值域的方法與求最值的方法是相通的.6.反函數(shù)法有的又叫反解法.函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域互換.如果一個(gè)函數(shù)的值域不易求而它的反函數(shù)的定義域易求.那么我們通過(guò)求后者而得出前者.7.單調(diào)性法若f(x)在定義域[ab]上是增函數(shù)則值域?yàn)閇f(a)f(b)].減函數(shù)則值域?yàn)閇f(b)f(a