巧用“f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x”解有關(guān)反函數(shù)題

1、巧用“f[f1(x)]=xf1[f(x)]=x”解有關(guān)反函數(shù)題云南省保山曙光學(xué)校周世喜反函數(shù)是函數(shù)中的一個重要的知識點，掌握反函數(shù)的概念，求反函數(shù)是高考中必考的內(nèi)容。但求反函數(shù)有時又是比較復(fù)雜的，若在實際答題過程中巧用反函數(shù)的性質(zhì)，可收到事半功倍的效果，達到快而準的目的。[性質(zhì)性質(zhì)]若y=f(x)與y=f1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為A，值域為C。則有f[f1(x)]=x（x∈C）f1[f(x)]=x(x∈A)成立。下面通過幾

2、道例題介紹該性質(zhì)的應(yīng)用：例1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)的反函數(shù)為的反函數(shù)為f11(x)(x)＝2x1x1，求，求f(1).f(1).分析：分析：（方法一）先求出函數(shù)y=f(x)的解析式，再代值求解。（方法二）根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系，列出等式：2x1=1，解之即得f(1)的值。（方法三）利用性質(zhì)來解。令f(1)=x由此可得：f1[f(1)]=f1(x)?2x1=1?x=1當然‘方法二’與‘方法三’實質(zhì)上是一致的，但我

3、認為‘方法三’學(xué)生更能理解掌握。例2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在定義域（－在定義域（－∞，0）內(nèi)存在反函數(shù)，且）內(nèi)存在反函數(shù)，且f(x1)=xf(x1)=x22x.2x.求f11()41?分析：分析：（方法一）由f(x1)=x22x?f(x1)=(x1)21所以f(x)=x21x∈(∞0)，再求出其反函數(shù)f1(x)=，故f1()=。)1(1??????xx41?23?（方法二）由f(x1)=x22x?f(x1)=(x

4、1)21所以f(x)=x21x∈(∞0)，再令f1()＝x41??f[f1()]=f(x)41??=f(x)41??x21=41??x2=43=14??xx∴g(11)=23111411???(方法二：用常規(guī)方法來解)由f(x)＝?f1(x)＝132??xx23??xx?f1(x1)＝14??xx∵函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f1(x1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱∴函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f1(x1)互為反函數(shù)由y=f1(x1)＝得