311方程的根與函數(shù)的零點

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點,政和三中 林仔勰,本節(jié)要解決的問題,1、什么是方程的根？什么是函數(shù)的零點？,2、方程f(x)=0與其對應的函數(shù)y=f(x)的零點有何關系？,3、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)存在零點的判斷方法？,2、求下列函數(shù)與x軸的交點坐標？（1）y=x+1 （2）y=-x+1 (3) y=x2-2x-3,1、求下列方程的根？（1）x+1=0 （2）-x+1=0 (3)

2、 x2-2x-3=0,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)與x軸的交點坐標、方程的根有什么關系嗎？,我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）函數(shù)與x軸的交點橫坐標是相應方程的根；方程的根就是相應函數(shù)與x軸的交點的橫坐標。,（2）函數(shù)y=f(x)與x軸有幾個交點，對應的方程f(x) =0 就有幾個根；方程f(x) =0 就有幾個根，對應的函數(shù)y=f(x)與x 軸有幾個交點,方程f(x)=0的根,,函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標,,零點的定義,對于函數(shù)y=x+1來

3、說，當x= -1時，函數(shù)的值就等于零，我們就把 -1叫做函數(shù)y=x+1的零點。,同樣的，對于函數(shù)y=-x+1來說，當x=1時，函數(shù)的值也對于零，所以1就是函數(shù)y=-x+1的零點。,對于函數(shù)y=f(x),使得f(x)=0的實數(shù)x就叫做函數(shù)y=f(x)的零點。,所以不難得出,函數(shù)y=f(x)的有零點,,方程f(x)=0有實數(shù)根,,函數(shù)y=f(x)與x軸有交點,,1、求下列函數(shù)的零點：(1)f(x)=-x2+3x+4

4、(2)f(x)=lg(x2+4x-4),-1, 4,1, - 5,2、函數(shù)f (x)=x(x2-16)的零點為( )A. (0,0), (4,0) B. 0, 4C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4,D,注意：函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)，是一個讓函數(shù)值為零的實數(shù),如何判斷函數(shù)是否存在零點？你有些什么方法？,怎樣判斷函數(shù)f(

5、x)=lnx+2x-6是否有零點？有幾個零點？,函數(shù)零點存在性的探究,觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象：在區(qū)間[-2, 1]上有零點______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“”）．在區(qū)間(2，4)上有零點______；f(2)=_______，f(4)=_______，f(2)·f(4)____0（“”）．,在怎樣的條件下，函數(shù)y=

6、f(x)在區(qū)間[a,b]上存在零點？,－1,－4,5,<,3,<,-3,7,在怎樣的條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上存在零點？,觀察函數(shù)的圖象并填空:①在區(qū)間(a,b)上______(有/無)零點 在區(qū)間(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“”)．②在區(qū)間(b,c)上______(有/無)零點；在區(qū)間(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“”)．③在區(qū)間(c,d)

7、上______(有/無)零點； 在區(qū)間(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“”)．,有,<,有,<,有,<,,函數(shù)零點存在性的探究,函數(shù)零點存在性定理：,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根

8、．,定理成立的前提兩個條件：(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]的圖像是連續(xù)不斷的,（2） f(a) ·f(b)<0,如右圖，函數(shù)y=f（x）圖像在[a,b]上是不連續(xù)的， 且f(a) ·f(b)<0函數(shù)在[a,b]還一定存在零點嗎？,,,,x,y,O,,如圖，函數(shù)y=f(x)的圖像在[a,b]是連續(xù)的，且f(a) ·f(b)<0，函數(shù)y=f(x)就一定存在零點，但零點個

9、數(shù)并不是只有一個,特殊時，當函數(shù)f(x)在[a,b]是單調(diào)函數(shù)，且f(a)f(b)<0時，那么函數(shù)有且只有一個零點。,由表3-1和圖3.1—3可知,f(2)0，,即f(2)·f(3)<0，,說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點。,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。,解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3）,－4,－1.3069,

10、1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例題1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點個數(shù)。,,,課堂練習：,利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,（1）－x2＋3x＋5＝0；,（2）2x(x－2)＝－3；,（3） x2 ＝4x－4；,（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.,解：作出函數(shù)的圖象，如下：,,因為f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875&

11、lt;0,所以f(x)= －x3－3x+5在區(qū)間(1, 1.5)上有零點。又因為f(x)是(－∞,＋∞）上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1, 1.5)上有且只有一個零點。,(1) 法二：f(x)= －x3－3x+5,,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,解：作出函數(shù)的圖象，如下：,,,因為f(3)＝－30,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在區(qū)間(3,4)上有零點。又因為f(x) =2x ·

12、; ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間(3,4)上有且只有一個零點。,(2) 法二： f(x)=2x · ln(x－2)－3,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(0)≈－3.630,所以f(x)= ex－1+4x－4在區(qū)間(0,1)上有零點。又因為f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，＋∞）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間(0,1)上有且只有一個零點

13、。,(3) 法二：f(x)=ex－1+4x－4,,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(－4)＝－40, f(－2)＝－20,所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在區(qū)間(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有一個零點。,(4)法二： f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,那么函數(shù)在