d2_1導(dǎo)數(shù)概念

1、第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),,描述函數(shù)變化快慢,微分,,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀上研究函數(shù)),,導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton,,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù),,第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,微信公眾號(hào)：高數(shù)君,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度

2、,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,,自由落體運(yùn)動(dòng),,,,2. 曲線的切線斜率,曲線,,,,在 M 點(diǎn)處的切線,,割線 M N 的極限位置 M T,,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,,切線 MT 的斜率,,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類(lèi)似問(wèn)題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之

3、比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問(wèn)題,,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),,存在,,并稱(chēng)此極限為,記作:,即,則稱(chēng)函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,,,不存在,,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱(chēng),在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),,此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).,

4、記作:,,注意:,就稱(chēng)函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .,若極限,,例1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2. 求函數(shù),解:,說(shuō)明：,對(duì)一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類(lèi)似可證得,,,,例4. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,即,,,原式,,是否可按下述方法作:,例5. 證明函數(shù),在 x = 0 不可導(dǎo).,證:,不存在 ,,,例6. 設(shè),存在, 求極限

5、,解: 原式,,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,曲線過(guò),上升;,若,曲線過(guò),下降;,若,切線與 x 軸平行,,稱(chēng)為駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,,,,,,,,例7. 問(wèn)曲線,哪一點(diǎn)有鉛直切線 ? 哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫(xiě)出其切線方程.,解:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (–1,–1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有鉛直切線,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,

6、定理1.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),,存在 ,,因此必有,其中,故,,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)，但在該點(diǎn)未必可導(dǎo).,反例:,,,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,,在點(diǎn),的某個(gè)右 鄰域內(nèi),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱(chēng)此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),,記作,即,(左),(左),,,,,例如,,在 x = 0 處有,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,,存在,,定理2.

7、 函數(shù),在點(diǎn),且,,存在,,,簡(jiǎn)寫(xiě)為,定理3. 函數(shù),(左),(左),若函數(shù),與,都存在 ,,則稱(chēng),顯然:,在閉區(qū)間 [a , b] 上可導(dǎo),,在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),,在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :,6. 判斷可導(dǎo)性,,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左

8、右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限;,切線的斜率;,,,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),2. 設(shè),存在 , 則,3. 已知,則,4. 若,時(shí), 恒有,問(wèn),是否在,可導(dǎo)?,解:由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo), 且,,5. 設(shè),, 問(wèn) a 取何值時(shí),,在,都存在 , 并求出,解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .

9、,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,,,作業(yè),P86 2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20,第二節(jié),牛頓(1642 – 1727),,偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),,并于1671,年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū) (1736年出版).,他,還著有《自然

10、哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等 .,萊布尼茨 (1646 – 1716),,,德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,,他在《學(xué)藝》雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,,有的早于牛頓,,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) ,,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì),數(shù)法 ,,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái) .,備用題,解: 因?yàn)?1. 設(shè),存在, 且,求,所以,在,處連續(xù), 且,存在，,證明:,在,處可導(dǎo).,證：