概率論與數理統(tǒng)計第二章

1、一維隨機變量及其分布,一、隨機變量及其分布,二、離散型隨機變量的概率函數,四、連續(xù)型隨機變量及其概率密度,五、隨機變量的函數的分布,三、離散型隨機變量的分布函數,為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用 數學工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨 機試驗的不同結果,例:電話總機某段時間內接到的電話次數，可用一個變量 X 來描述,例: 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結果，也可以用一個變量來描述,§2.1 隨機變量及其分布,例

2、(1)隨機地擲一顆骰子，ω表示所有的樣本點,,ω: 出現(xiàn)1點 出現(xiàn)2點 出現(xiàn)3點 出現(xiàn)4點 出現(xiàn)5點 出現(xiàn)6點,X(ω): 1 2 3 4 5 6,(2)某人接連不斷地對同一目標進行射擊,直至射中為止，ω表示射擊次數，則,ω 射擊1次 射擊2次 ...... 射擊n次 ......,X(ω) 1 2 ...... n

3、 ......,(3) 某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車,旅客在任意時間到達車站,ω表示該旅客的候車時間,,ω 候車時間,X(ω) [0, 10],一、隨機變量的概念,,,定義 設E是一隨機試驗，? 是它的樣本空間，,則稱 ? 上的單值實值函數 X ( ?)為隨機變量,隨機變量一般用 X, Y , Z ,?或小寫希臘字母?, ?, ? 表示,若,如，若用X 表示電話總機在9:00~10:00接到的電話次數，則,或,表示

4、“某天9:00 ~ 10:00 接到的電話次數超過100次”這一事件,則,— 正面向上,例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個指標，例如，身高、體重、頭圍等,? = {兒童的發(fā)育情況 ? },X ( ? ) — 身高,Y ( ? ) — 體重,Z ( ? ) — 頭圍,各隨機變量之間可能有一定的關系，也可能沒有關系—— 即 相互獨立,§2.2、3 離散型隨機變量的分布函數,定義 若隨機變量 X 的可能取值是有

5、限多個或 無窮可列多個，則稱 X 為離散型隨機變量,描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,概率分布的性質,一、離散型隨機變量的概念,有時也將p(xi)記為pi? 用下列表格形式來表示? 并稱之為X 的概率分布表?,注意,離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求: (1)確定隨機變量的所有可能取值; (2)設法（如利用古典概率）計算取每個值的概率. (3)列出隨機變量的概率分布表（或寫出概率函數）.,例1,從1

6、～10這10個數字中隨機取出5個數字，令X：取出的5個數字中的最大值．試求X的分布律．,具體寫出，即可得 X 的分布律：,解： X 的可能取值為,5，6，7，8，9，10． 并且,=——,求分布率一定要說明 k 的取值范圍！,例2 袋內有5個黑球3個白球,每次抽取一個不放回,直到取得黑球為至。記X為取到白球的數目,Y為抽取次數，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解 (1)X的可能取值為0,1,2,3, P(

7、X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,類似有P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布為,,(2) Y的可能取值為1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 類似有 P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=

8、4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布為,(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,從一批次品率為p的產品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數X的分布律。,解 記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 則 Ai , i=1,2,3,… 是相互獨立的！ 且,X的所有可能取值為 1，2，3，… ,k,…,P(X=k)=,(1-p)k-1p ,k=1,2,…,( X=k

9、)對應著事件,例,=P(抽得的兩件全為次品),例1 設有一批產品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值為 0，1，2,=P(抽得的兩件全為正品),P{X=1},P{X=2},=P(只有一件為次品),P{X=0},故 X的分布律為,而“至少抽得一件次品”={X≥1},= {X=1}?{X=2},P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2},

10、注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！,實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了,故,設隨機變量X的分布律為,試確定常數b.,解,由分布律的性質,有,例,,(1) 0 – 1 分布,注 其分布律可寫成,三、常見的離散型隨機變量的分布,常用0 – 1分布描述，如產品是否格、人口性別統(tǒng),計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等.,(2) 離散型均勻分布,,,,,,,,,,,,,定義了一個 x 的實值函數，稱為隨機變量

11、X 的分布函數，記為F ( x ) ,即,注: 分布函數完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數完整地表示了隨機變量的概率分布情況 .,二、隨機變量的分布函數,分布函數的性質 隨機變量的分布函數必然滿足下列性質?,若x1 ?x2? 則F(x1)?F(x2)?,(2)單調性,(4)右連續(xù)性,F(x?0)?F(x)?,(1),說明2： 因此? 通常將滿足上述四條性質的函數都稱為分布函數?,說明1：

12、 若函數F?x)滿足上述四條性質? 則它一定是某個隨機變量X的分布函數?,引進分布函數F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數值來表示。,P（X<b）=F(b),P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a),P（X≥b）=1﹣ P（X<b）=1 - F(b),P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a),例1.設隨機變量X的分布函數為:,求:,例2:設隨機變量的分

13、布律為,求 的分布函數，并求,,,,,,,,,,,-1,2,3,即,X只有兩個可能取值? 其概率分布為,解,于是? 當x?0 時? F(x)?P{X?x}?0?,當0?x?1時?,F(x)?P{X?x},當x?1時?,F(x)?P{X?x},?P{X?0}?P{X?1}?1?,綜上? X的分布函數為,例：擲骰子將會出現(xiàn)的點數的分布函數及其圖像,離散型隨機變量的分布函數F(x)的共同特征是? F(x)是一個階梯形的函數

14、? 它在X的可能取值點處發(fā)生跳躍?跳躍高度等于相應點處的概率? 而在兩個相鄰跳躍點之間分布函數值保持不變? 反過來? 如果一個隨機變量X的分布函數F(x)是階梯型函數? 則X一定是一個離散型隨機變量? 其概率分布可由分布函數F(x)惟一確定? F(x)的跳躍點全體構成X的所有可能取值? 每一跳躍點處的跳躍高度則是X在相應點處的概率?,由于F(x)是一個階梯形函數? 故知X是一個離散型隨機變量? F(x)的跳躍點分別為1

15、? 2? 3? 對應的跳躍高度分別為,解,故X的概率分布為,F(x)?P{X?x},解,當x?b時?,F(x)?P{X?x}?0?,當x?a時?,當a?x?b時?,F(x)?P{X?x},綜上? 可得X的分布函數為,,§2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度,定義 設 X 是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數 f ( x ), 使得,其中F (x)是X的分布函數,則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，f ( x

16、)是它的概率密度函數( p.d.f. )，簡稱為密度函數或概率密度,一、連續(xù)型隨機變量的概念,p.d.f. f ( x )的性質,1、,2、,,常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數，或求其中的未知參數,3、,在 f ( x ) 的連續(xù)點處，,注意: 對于連續(xù)型隨機變量X , P ( X = a) = 0,這里 a 可以是隨機變量 X 的一個可能的取值,命題 連續(xù)型隨機變量取任一常數的概率為零,密度函數

17、和分布函數的關系,積分關系,導數關系,解 Step1: 利用密度函數的性質求出 a,例：已知密度函數求概率,Step2: 密度函數在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率,例：已知分布函數求密度函數,（2)X 的密度函數,（2）密度函數為,解,例1 設隨機變量 具有概率密度函數試確定常數A，以及 的分布函數.,解 由,,知A=3，即,而 的分布函數為,解,,,,當 x ? 1 時,當1 < x ? 5 時,例：已知密度函數求

18、分布函數,已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,求 X 的分布函數,當 x>5 時,所以,,,,均勻分布,( a , b)上的均勻分布,記作,二、常見的連續(xù)性隨機變量的分布,若 X 的密度函數為 ，則稱 X 服從區(qū)間,其中,X 的分布函數為,X“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內的可能性是相同的?；蛘哒f它落在子區(qū)間內的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位

19、置無關。,意義,例3,設隨機變量X服從(1,6)上的均勻分布，求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實根的概率.,解:,,故所求概率為:,,,而X的密度函數為 :,,因此所求概率,例2 一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量X的分布函數．,解:,,綜上所述，隨機變量X的分布函數為,,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布. 但有些隨

20、機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述,在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標)來確定的.,飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標）來確定的等等.,多維隨機變量及其分布,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量 .,它是一維內容的推廣.,一般地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1, X2, …，Xn)為n維隨機變量或隨機向量

21、.,請注意與一維情形的對照 .,,二維離散型隨機變量,定義：若 只取有限對或可數對實數值 則稱其為二維離散型隨機變量。,,,二維隨機變量（X,Y）,離散型,i, j =1,2, …,X和Y 的聯(lián)合概率分布列,(X,Y)的聯(lián)合概率分布列的表格形式如下:,如何計算 ？,一般用乘法公式,,P(AB)=P(A|B) P(B),例1　整數X 等可能的取值：1，2，3，4

22、 整數Y等可能的取值：1~ X 求(X,Y)的聯(lián)合概率分布列 .,,解： P(X=i, Y=j) i=1,2,3,4 j=1,2…i,P(X=1, Y=1)=,P(X=2, Y=1)=P(X=2)P(Y=1/X=2),所以 當j>i時， P(X=i, Y=j)=0,當j≤i時,P(X=1)P(Y=1/X=1),=

23、(1/4)*1=1/4,=(1/4)*(1/2)=1/8,……,X,1234,1 2 3 4,1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16,,,,,,Y,,可驗證：非負性，規(guī)范性,二維隨機變量（X,Y）,X和Y的

24、聯(lián)合分布函數,二維隨機變量的聯(lián)合分布函數,,,二維隨機變量（X,Y）,離散型,X和Y 的聯(lián)合分布函數,,離散型,一維隨機變量X,X的分布分布函數,如例1,,求：,1、 二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為:,求:(1)常數a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1),解 (1)由∑pij=1得: a=0.1,（2） P(X≥0,Y≤1)=,P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1

25、),+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X≤1,Y≤1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,,,練習：,二維隨機變量（X,Y）,連續(xù)型,X和Y 的聯(lián)合概率密度函數,二維連續(xù)型隨機變量,2、 設(X,Y)～,試求:(1)常數 A ;(2)P{ X<2,

26、Y<1};,解 (1),所以, A=6,=A/6,=1,所以,P{ X<2,Y<1}=,例2 設(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值；,=c/3=1,c =3,解：(1),求 (2) P(X<1/4,Y<1/2),解: (2),=1/16,二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律. 而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.,,X和Y的概率分布分別稱為（X,Y

27、）關于X或Y的邊緣（概率）分布,那么要問:二者之間有什么關系呢? 可以相互確定嗎？,先看如何由聯(lián)合分布來確定兩個邊緣分布,邊 緣 分 布,一般，對二維離散型隨機變量( X,Y )，,則(X,Y)關于X的邊緣概率分布列為,X和Y 的聯(lián)合概率分布列為,P(X=xi),Pi .,,P(Y=yj),P. j,,(j=1,2,...),P(X=xi),同理,一般地,記:,,,我們常將邊緣概率函數寫在聯(lián)合概率

28、函數表格的邊緣，由此得出邊緣分布這個名詞.,例1 袋中有二個白球，三個黑球，從中取兩次球,求：（X,Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布，分有放回和無放回 討論,解：有放回,,不放回,,聯(lián)合分布與邊緣分布的關系：,,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,對任意隨機變量 (X,Y)，,X和Y的聯(lián)合分布函數為,則(X,Y)關于X的邊緣分布函數為,(X,Y)關于Y的邊緣分布函數為,對離散型隨機變量(X,Y)，,X和Y的

29、聯(lián)合分布函數為,則(X,Y)關于X的邊緣分布函數為,(X,Y)關于Y的邊緣分布函數為,對連續(xù)型隨機變量(X,Y)，,X和Y的聯(lián)合分布函數為,則(X,Y)關于X的邊緣分布函數為,(X,Y)關于Y的邊緣分布函數為,,,可記為fY(y)，是(X,Y)中關于Y的邊緣概率密度,可記為fX(x)，是(X,Y)中關于X的邊緣概率密度,第四節(jié) 隨機變量的獨立性,兩事件 A,B 獨立的定義是：,若,則稱事件A,B獨立 .,將事件的獨立性推廣到隨機變量,隨

30、機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念,兩個隨機變量獨立的定義是：,它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積 .,若 (X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：,則稱X和Y相互獨立.,對(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有,即,例1 袋中有二個白球，三個黑球，從中取兩次球,求：（X,Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布，分有放回和無放回討論,解：有放回,,不放回,,有放回時，X和Y相互

31、獨立； 不放回時則不是,則稱X,Y相互獨立 .,對任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是連續(xù)型隨機變量 則上述獨立性的定義等價于：,分別是X和Y 的邊緣密度,解：,x>0,,即：,對一切x, y, 均有：故X,Y 獨立,y >0,解：,0<x<1,0<y<1,故X和Y不獨立 .,離散型隨機變量X1,X2,…，X n相互獨立等價于聯(lián)合概率分布等于邊緣概率分布的乘積。,連續(xù)型隨機變量X1,X2

32、,…，X n相互獨立等價于聯(lián)合概率密度函數等于邊緣概率密度函數的乘積。,定義 稱n個隨機變量X1,X2,…，X n相互獨立, 有P{X1<b1,X2<b2,…,X n<b n}=P{X1<b1}…P{X n<b n},特別,隨機變量獨立性的概念不難推廣到兩個以上隨機變量的情形:,§2.5 隨機變量函數的分布,問題：已知隨機變量 X 的概率特性 —— 分布 函數 或密度函

33、數（分布律）,Y = g ( X ),求 隨機因變量Y 的概率特性,方法：將與 Y 有關的事件轉化成 X 的事件,設隨機變量 X 的分布律為,由已知函數 g ( x) 可求出隨機變量 Y 的所有可能取值，則 Y 的概率分布為,一、離散型隨機變量函數的分布,第 一 種 情 形,第 二 種 情 形,例1 已知 X 的概率分布為,求 Y 1= 2X – 1 與 Y 2= X 2 的分布律,解,,,Y 1,pi,-3 -1

34、 1 3,,,Y 2,pi,1 0 1 4,,,Y 2,pi,0 1 4,已知隨機變量 X 的密度函數 f (x) (或分布函數)求 Y = g( X ) 的密度函數或分布函數,方法：,（1） 從分布函數出發(fā)（2）從密度函數出發(fā),二、連續(xù)性隨機變量函數的分布,設隨機變量 X 具有概率密度：,試求 Y=X-4 的概率密度.,解：(1)

35、先求 Y =X-4 的分布函數 FY(y)：,例 2,整理得 Y=X-4 的概率密度為：,解,當a > 0 時，,,當a < 0 時，,,故,,設隨機變量X的密度函數為,求隨機變量Y=2X+8的概率密度。,先求Y=2X+8的分布函數 FY (y).,解（1）,例,（2） 求Y=2X+8的概率密度,定理 若隨機變量X和隨機變量Y=g(X)的密度函數分別為 f X (x) fY (y), 當 g(x) 是嚴格單調函數