結(jié)構(gòu)力學(xué)9--矩陣位移法

1、,第九章 矩陣位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method,1、概述,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?4、連續(xù)梁的整體剛度矩陣,5、剛架的整體剛度矩陣,,6、荷載列陣,7、計(jì)算步驟及算例,8、忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析,9、桁架結(jié)構(gòu)的整體分析,第九章 矩陣位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method,

2、10、其它問(wèn)題的計(jì)算,3,矩陣代數(shù)復(fù)習(xí),1、矩陣定義,一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m 行和n列，稱為m?n 階矩陣。,2、方陣,3、行矩陣和列矩陣,一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：,由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：,,4,4、純量,僅由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的1?1階矩陣稱為純量。,5、矩陣乘法,兩個(gè)規(guī)則：,（1）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相乘，即,（2）不具有交換律，即,5,6、轉(zhuǎn)置矩陣,將一

3、個(gè)矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：,其轉(zhuǎn)置矩陣為,當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若,A=B C D,7、零矩陣,元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示。,6,任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即,7,10、逆矩陣 在矩陣運(yùn)算中，沒(méi)有矩陣的直接除法， 除法運(yùn)算由矩陣求逆來(lái)完成。例如，若,一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：,矩陣求逆時(shí)必須滿足兩

4、個(gè)條件：,（1）矩陣是一個(gè)方陣。,（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。,正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即,,,1）結(jié)構(gòu)分析方法 （1）傳統(tǒng)方法——前面介紹的力法、位移法、力矩分配法等都是傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析方法,適用于手算,只能分析較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)。 （2）矩陣分析方法——矩陣力法和矩陣位移法，或稱為柔度法與剛度法等都被稱為矩陣分析方法。它是以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)、以矩陣作為數(shù)學(xué)

5、表達(dá)形式，以計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段的電算結(jié)構(gòu)分析方法，它能解決大型復(fù)雜的工程問(wèn)題。,1、概述,,2）基本思路,（1）手算位移法的主要計(jì)算步驟 ● 取基本體系——構(gòu)造各自獨(dú)立的單跨超靜梁的組合體； ● 寫出桿端彎矩表達(dá)式——建立各桿件的桿端彎矩與桿 端位移間的關(guān)系；,1、概述,● 根據(jù)結(jié)點(diǎn)、截面的平衡條件——建立力的平衡方程，即位 移法方程。 （2）矩陣位移法的主要計(jì)算步驟

6、 ● 結(jié)構(gòu)離散化——?jiǎng)澐謫卧?● 單元分析——建立單元的桿端力與桿端位移間的關(guān)系，形 成單元?jiǎng)偠染仃嚕?● 整體分析——建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)荷載間的關(guān) 系，形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，即位移法方程。,1、概述,下面用一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明矩陣位移法的基本思路。,用位移法解該題：,（2）桿端彎矩：,（1）未知量：,1、概述,,（3）建立方程：,（4）解方程得：,（5）回代得：桿端彎矩,… …①,

7、… …②,… …③,,,,,,,,,,,,把以上解題過(guò)程寫成矩陣形式：（1）確定未知量：可以通過(guò)編號(hào)來(lái)解決（一個(gè)結(jié)點(diǎn)一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量）。（2）桿端彎矩表達(dá)式（按桿件來(lái)寫）,,,,,,,,,,,,,（3）位移法方程：,??? ??? ①,??? ??? ②,??? ???③,把位移法方程寫成矩陣形式：,（5）回代得：桿端彎矩,1 2 3,123,（4）解方程得：,,,,1）單元?jiǎng)澐旨熬?/p>

8、號(hào),在桿系結(jié)構(gòu)中以自然的一根直桿或曲桿為一個(gè)單元（不能是折桿），并以加圈的數(shù)字為記號(hào)。如圖所示為剛架的單元?jiǎng)澐帧?2）結(jié)點(diǎn)編號(hào)及未知量確定,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?——直接對(duì)未知量編號(hào)——直接對(duì)結(jié)點(diǎn)編號(hào),因此一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)就有3個(gè)位移：水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角。一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)有2個(gè)位移：水平位移和豎向位移，而且支座位移也要作為未知量。,在確定未知量時(shí)：,● 不再忽略軸向變形；,● 所有單元都是兩端固定的。,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)?/p>

9、度矩陣,,,,后處理法：結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，,先處理法：,【例題1】,因此未知量為6個(gè)。,結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，編號(hào)順序?yàn)椋合人?，后豎向，再轉(zhuǎn)動(dòng)。位移為零編“0”號(hào)。,由于：,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,后處理法：?jiǎn)卧幪?hào)如圖所示，,,,,3）建立坐標(biāo),（1）局部坐標(biāo),作用：用于表明桿端力及單元定位。,方法：x 軸與桿件重合及順時(shí)針轉(zhuǎn)原則。 標(biāo)法如圖所示，箭頭表示x 軸的方向，y軸 不標(biāo)出。單元①的起始

10、點(diǎn)是“1”，終點(diǎn)是“2”。,單元兩頭的編號(hào)按先起點(diǎn)、后終點(diǎn)的順序?qū)懗闪嘘?，稱為單元定位向量。,（2）整體坐標(biāo),方法：可根據(jù)結(jié)構(gòu)情況及順時(shí)針轉(zhuǎn)原則建立。,作用：用于建立位移法方程。這是因?yàn)榻⑽灰品ǚ匠虝r(shí)每個(gè)結(jié)構(gòu)需要有一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系。,,4）單元?jiǎng)偠染仃?單元?jiǎng)偠染仃嚒獌啥斯潭▎卧?，由兩端發(fā)生單位位移而產(chǎn)生的桿端力的矩陣形式。,本節(jié)先介紹局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?以兩端固定單元為研究對(duì)象，讓其兩端各發(fā)生3個(gè)位移，求出6個(gè)桿端力，然

11、后寫成矩陣形式，即可得到單元?jiǎng)偠染仃嚒?2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,,,,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,當(dāng)兩端固定單元的兩端同時(shí)發(fā) 生六個(gè)位移時(shí)，六個(gè)桿端力可利用 疊加原理求出：,把桿端力與桿端位移的表達(dá)式寫成矩陣形式：,,,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?其中：,,,----單元桿端位移列陣,,----單元?jiǎng)偠染仃?也可寫成：,,,1,2,2,1,,單元?jiǎng)偠染仃嚨男?/p>

12、質(zhì)：,● 單元?jiǎng)偠染仃囀菞U端力用桿端位移來(lái)表達(dá)的聯(lián)系矩陣。,● 其中每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，表示由于單位桿端位 移引起的桿端力。由反力互等定理可知kij=kji，因此單元 剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。,● kij表示第j個(gè)桿端位移等于1，其它端位移等于0時(shí)，引起 的第i個(gè)桿端力分量。,● 一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚒?，不存在 逆矩陣。,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

13、,,由上述一般單元的剛度矩陣，可以根據(jù)實(shí)際情況處理后，得到特殊情況下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?,,1,2,2,1,,1 2 3 4 5 6,123456,例如：已知兩端固定單元兩頭只發(fā)生轉(zhuǎn)角，同時(shí)只需要寫桿端彎矩。處理的方法：把剛度矩陣的第1、2、4、5行和列劃掉。,,,,,,,,,又如：已知兩端固定單元沒(méi)有軸向變形，也不需要寫桿端軸力。

14、處理的方法是：把剛度矩陣的第1、4行和列劃掉。,1 2 3 4 5 6,123456,,,,,再如：對(duì)于軸力桿件的單元?jiǎng)偠染仃嚕幚淼姆椒ㄊ牵喊严旅鎰偠染仃嚨牡?、3、5、6行和列劃掉即可。,1 2 3 4 5 6,123456,

15、,,,,,,,,,軸力桿件的單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)該是2×2的，但考慮到斜桿在整體坐標(biāo)中的需要，寫成4×4的。,1 2 3 4,1234,2、局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?為了表述桿端力，需要每個(gè)單元都要有自己的一套局部坐標(biāo)系。但當(dāng)要建立位移法方程時(shí)，則需要結(jié)構(gòu)有一套統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系。因此在建立方程之前，必須把局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下的。,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)?/p>

16、度矩陣,局部坐標(biāo)系中桿端力與整體坐標(biāo)系中桿端力之間的關(guān)系：,,把兩個(gè)坐標(biāo)系下桿端力的關(guān)系寫成矩陣形式：,其中： ——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,其中：,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，是一正交矩陣：,局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠确匠蹋?將②、③式代入①式，有：,與 比較，令：,??????①,桿端力與桿端位移在局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)下的關(guān)系式：,??????②,??????③,

17、3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?等式兩邊前乘 ，得：,,與 同階，性質(zhì)類似：,● 一般單元的 是奇異矩陣。,● 是對(duì)稱矩陣。,● 矩陣中的系數(shù)kij表示在整體坐標(biāo)系中第j個(gè)桿端位移分量 等于1時(shí)引起的第i個(gè)桿端力。,整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?計(jì)算步驟：,（1）編號(hào)與建立坐標(biāo) ● 對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)（包括支座結(jié)點(diǎn)）用先處理法或后處 理法進(jìn)行

18、編號(hào)； ● 對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行編號(hào)； ● 對(duì)每個(gè)單元分別建立局部坐標(biāo)； ● 對(duì)結(jié)構(gòu)建立一套整體坐標(biāo)。,（2）寫出每個(gè)單元在局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?（3）寫出每個(gè)單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。,（4）寫出每個(gè)單元在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?【例題5】求圖示結(jié)構(gòu)各桿件在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?，桿 長(zhǎng)5m，A=0.5m2，I=1/24m4，E=3×104Mpa。,解

19、：（1）編號(hào)、建立坐標(biāo)如圖所示。,（2）寫出各單元局部坐標(biāo)下的 單元?jiǎng)偠染仃嚒?,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?單元參數(shù)計(jì)算如下：,（2）寫出各單元局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?由于兩根桿件的參數(shù)相同，因此這兩根桿件局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀窍嗤摹?（3）寫出各單元整體坐標(biāo)下的剛度矩陣,,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?單元①的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此沒(méi)有必要轉(zhuǎn)換，即：,①,①,,,,1

20、 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,1,2,2,1,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,解：編號(hào)建立坐標(biāo)如圖所示。,由于單元①的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此：,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,,,單元②：,轉(zhuǎn)換矩陣為：,,,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?②,3、整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?1,,,1,2,

21、2,1,2,3,0,0,0,0,0,0,3,2,1,54,按傳統(tǒng)的位移法,,,,,,?1,,,,,,,,,?2,,,,,,,,,,,?3,每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn),,,F1,F2,F3,4i1,2i1,0,2i1,4i1+4i2,2i2,0,2i2,4i2,?1,?2,?3,=,{F}=[K]{?},,根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)附加約束上的約束力{F}的貢獻(xiàn)大小進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。,傳統(tǒng)位移法,4、連續(xù)梁的整體 剛度矩陣,55

22、,,一、 單元集成法的力學(xué)模型和基本概念,分別考慮每個(gè)單元對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成,,,,,,,,令 i2 =0，則,[k] =,4i1,2i1,4i1,2i1,F2,=,?1,?2,（a）,（b）,F2,=,4i1,2i1,4i1,2i1,0,0,0,0,0,?1,?2,?3,單元 1 的貢獻(xiàn)矩陣,,,單元 1 對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn),,略去其它單元的貢獻(xiàn)。,56,,,,,,,,[k] =,4i2,2i2,4i

23、2,2i2,F2,=,4i1,2i1,4i1,2i1,0,0,0,0,0,?1,?2,?3,[K] {?},{F} =,設(shè) i1 =0，則,,,單元 ? 的貢獻(xiàn)矩陣,單元?對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn),略去單元?的貢獻(xiàn)。,57,[k],,[K],,[K],{F}={F},+{F},=（[K],+[K],）{?},1,2,,{F}=[K]{?},整體剛度矩陣為：,單元集成法求整體剛度矩陣步驟：,根據(jù)單元?和單元?分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)，可得

24、整體剛度方程：,58,2i2,2i2,4i2,,[K]=,4i1,2i1,4(i1+i2),2i1,0,2i2,0,2i2,4i2,4i1+4i2,,,,,59,二、按照單元定位向量由,(1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。,(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。,以連續(xù)梁為例,位移統(tǒng)一編碼，總碼,單元,對(duì)應(yīng)關(guān)系,局部碼?總碼,單元定位向量,(1)?1,(2)?2,=,(1)?2,(2)?3,=,,位

25、移單獨(dú)編碼局部碼,由單元的結(jié)點(diǎn)位移總碼組成的向量,60,單元?,單元?,(1),(2),(1),(2),4i1,2i1,2i1,4i1,,,,,[k] =,(1),(2),(1),(2),4i2,2i2,4i2,2i2,,,,,,單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,單元定位向量定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的具體位置，故也稱為“單元換碼向量”。,單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

26、用“單元定位向量”進(jìn)行“換碼重排位”。,61,,三、 單元集成法的實(shí)施,（定位 累加）,[K],,,,（1）將[K]置零，得[K]=[0]；,（2）將[k]?的元素在[K]中按{?}?定位并進(jìn)行累加，得[K]=[K]?；,（3）將[k]?的元素在[K]中按{?}?定位并進(jìn)行累加，得[K]=[K]?+[K]?；,按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。,62,,,,,?1,?2,?3,?0= 0,（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼

27、,（2）單元定位向量,=,=,=,（3）單元集成過(guò)程,1,2,2,1,[k] =,2,3,3,2,[k] =,0,3,3,0,[K] =,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2,,,,,4i1,,4i2+4i3,,,4i1+4i2,,,,例.求連續(xù)梁的整 體剛度矩陣。,63,四、整體剛度矩陣 [K] 的性質(zhì),（1）整體剛度系數(shù)的意義: Kij－?j=1 (其余?=0)時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力Fi,（2）[K]是對(duì)稱矩陣,（

28、3）對(duì)幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續(xù)梁,{F}=[K]{?},{?}=[K]-1{F},（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁,?1,?2,?3,,?n,?n+1,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2+4i3,4i1+4i2,4in,2i3,2in,,,,,思路要點(diǎn)：（1）設(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?與連續(xù)梁相比： (1)各單元考慮軸向變形；(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移； (3)要采用整體座標(biāo)；(4

29、)要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。,一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼,,,,{?} =[?1 ?2 ?3 ?4 ]T,規(guī)定：對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為零。,=[uA vA ?A ?C ]T,整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為：,相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為：,= [XA YA MA MC ]T,{F} = [F1 F2 F3 F4 ]T,①,②,5、剛架的整體剛度矩陣,,,,二、單元定位向量,單

30、元?,單元?,局部碼?總碼,局部碼?總碼,（1）? 1（2）? 2（3）? 3（4）? 0（5）? 0（6）? 4,（1）? 1（2）? 2（3）? 3（4）? 0（5）? 0（6）? 0,?,?,三、單元集成過(guò)程,①,②,,[K]=,11,12,13,21,22,23,31,32,33,61,62,63,66,16,26,36,11,12,13,21,22,23,31

31、,32,33,,,,,,,,,,,四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理,[K],,求單元常數(shù),{?},[T],單元?jiǎng)偠染仃?,,,,程序設(shè)計(jì)框圖（集成整體剛度矩陣）,,剛結(jié)點(diǎn)：變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點(diǎn)位移。,鉸結(jié)點(diǎn)：部分變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點(diǎn)線位移；而其角位移不相等。,,,,C1,C2,結(jié)點(diǎn)位移分量總碼,結(jié)點(diǎn)C1,[ 4 5 6 ],結(jié)點(diǎn)C2,[ 4 5 7 ],單元定位向量,,,[K]=,,,,,,,,,,,

32、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：編號(hào)及坐標(biāo)如圖所示。 單元?jiǎng)偠染仃嚾缦隆?單元①：,0 0 0 1,0001,1,2,【例題】求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣。,,1,2,,,整體剛度矩陣：,1,2,2,1,0 1 2 0,0120,,,,

33、,,,,,單元②：,,把位移法方程寫成矩陣形式：,1列n行，n--未知量的個(gè)數(shù)，由作用在結(jié)點(diǎn)上的集中力組成，按編號(hào)的及 的順序由上而下排列，若某方向上沒(méi)有集中力就填0。,---整體剛度方程,荷載列陣通常有兩部分組成:,1）結(jié)點(diǎn)荷載列陣,6、荷載列陣,其中 ---荷載列陣,---結(jié)點(diǎn)荷載列陣,---等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣,【例題11】求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣。,【例題12】求圖示結(jié) 構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣。,,,（a）內(nèi)力=（

34、b）內(nèi)力+（c）內(nèi)力（b）內(nèi)力：固端力—可查表（c）內(nèi)力：由結(jié)點(diǎn)荷載引起的內(nèi)力，用矩陣位移法求解,2）等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣（由節(jié)間荷載引起的）,把所有有結(jié)點(diǎn)位移的地方用附加剛臂或鏈桿固定起來(lái)，求出這些剛臂和鏈桿中的反力，把反力反向加在結(jié)點(diǎn)上，即為等效結(jié)點(diǎn)荷載。,6、荷載列陣,取出“1”號(hào)結(jié)點(diǎn),,,,,,,,,,,,綠色的為節(jié)間荷載產(chǎn)生的固端力；紅色的為附加裝置中產(chǎn)生的反力。,求出單元①、②的固端力，并按局部坐標(biāo)寫成矩陣形式，稱為局

35、部坐標(biāo)下的單元固端力列陣。,,,把局部坐標(biāo)下的單元固端力列陣轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下的，并反號(hào)，稱為整體坐標(biāo)下的單元固端力列陣。,,,對(duì)于單元①由于局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，并把定位向量標(biāo)上，因此有：,,單元②在整體坐標(biāo)下的固端力列陣為：,,,對(duì)于單元② ，由于局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)間的夾角為900，因此有：,按對(duì)號(hào)入座的方式，求出等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。,,（1）求出局部坐標(biāo)下的單元固端

36、力列陣；,（2）求出整體坐標(biāo)下的單元固端力列陣；,（3）按定位向量形成等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。,等效結(jié)點(diǎn)荷載的求解步驟：,6、荷載列陣,,【例題13】求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。,解：（1）求局部坐標(biāo)下單元固端力列陣,單元①,單元②,1 2 3 0 0 4,6、荷載列陣,（2）求整體坐標(biāo)下單元固端力列陣,123000,6、荷載列陣,,1234,（3）求等效荷載列陣,,【例題14】圖

37、所示結(jié)構(gòu)的內(nèi)部溫度比原先升高了200度，室外溫 度比原先降低了100度，桿件的膨脹系數(shù)為 ，桿件的截面高度 為h，請(qǐng)求出等效結(jié)點(diǎn)荷載。,5m,5m,解：（1）編號(hào)及坐標(biāo)設(shè)置,（2）求出各單元局部坐標(biāo)下的固端力列陣,由桿件兩邊溫差產(chǎn)生的固端力，再加上溫度軸向引起的固端力，列陣如下所示。,,,（3）求出各單元整體坐標(biāo)下的固端力列陣：,①單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此有：,,,②單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的夾角α=90°，

38、因此有：,,,,（4）求出等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 該題的效結(jié)點(diǎn)荷載列陣應(yīng)該是1列5行的，具體如下：,,（1）編號(hào)及建立坐標(biāo)；,（3）求出整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；,（5）求出結(jié)構(gòu)的荷載列陣 ；,（6）解方程 ，求出結(jié)點(diǎn)位移 。,（7）按公式： 求出各桿桿端內(nèi)力。,計(jì)算步驟：,（2）求出局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；,（4）按單元定位向量

39、形成整體剛度矩陣 ；,7、計(jì)算步驟及算例,,,,,,[K],,求單元常數(shù),{?},[T],,{F},,原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼,解方程[K]{?}={F}求出結(jié)點(diǎn)位移 {?},,,,,,,開(kāi)始,,結(jié)束,,,,,,,【例題15】求圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。橫梁b1×h1=0.5m ×1.26m, 立柱b2×h2=0.5m ×1m。,解：（1）編號(hào)、建立坐標(biāo),7、計(jì)算

40、步驟及算例,（2）局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?梁的參數(shù)計(jì)算：,柱的參數(shù)計(jì)算：,7、計(jì)算步驟及算例,7、計(jì)算步驟及算例,,單元①、③局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢?7、計(jì)算步驟及算例,,單元②局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢?（3）整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?7、計(jì)算步驟及算例,單元①、③坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為（ ）：,轉(zhuǎn)換后單元①、③在整體坐標(biāo)下的剛度矩陣為：,1 2 3 0

41、 0 0,123000,4 5 6 0 0 0,456000,7、計(jì)算步驟及算例,,單元②的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此沒(méi)有必要轉(zhuǎn)換。,1 2 3 4 5 6,123

42、456,7、計(jì)算步驟及算例,,（4）按單元定位向量形成整體剛度矩陣,三個(gè)單元的定位向量如下：,把三個(gè)單元的定位向量標(biāo)在整體單元?jiǎng)偠染仃囘吷稀?7、計(jì)算步驟及算例,1 2 3 4 5 6,123456,7、計(jì)算步驟及算例,,（5）求荷載列陣,（a）局部坐標(biāo)下的 固端力列陣,（b）整體坐標(biāo)下的 固端力列陣,（

43、c）等效結(jié)點(diǎn) 荷載列陣,123000,123456,由于沒(méi)有結(jié)點(diǎn)荷載，因此荷載列陣等于等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。,7、計(jì)算步驟及算例,,（6）解方程,由方程解得結(jié)點(diǎn)位移如下：,7、計(jì)算步驟及算例,,（7）求桿端力,單元①：,7、計(jì)算步驟及算例,單元②：,7、計(jì)算步驟及算例,,單元③：,7、計(jì)算步驟及算例,,,（8）根據(jù)桿端力繪制內(nèi)力圖,7、計(jì)算步驟及算例,注意：在矩陣位移法中，軸力與剪力的符號(hào)是以與局部坐標(biāo)一致為正

44、，相反為負(fù)。但畫內(nèi)力圖時(shí)，軸力以受拉為正，受壓為負(fù)；剪力以使隔離體發(fā)生順時(shí)針轉(zhuǎn)為正。,對(duì)圖示剛架進(jìn)行分析時(shí)忽略軸向變形。,（2）單元定位向量,①,②,③,因此，1、2、3號(hào)點(diǎn)的豎向位移等于零，并且水平位移相等。,（1）編號(hào)及建立坐標(biāo),8、忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析,1 0 2 1 0 3,10 2 1 0

45、 3,,,1,1,2,2,（3）整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?8、忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析,,1 0 2 0 0 0,10 2 0 0 0,,,1,1,4,4,8、忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析,,1 0 4 0 0 0,10

46、 4 0 0 0,3,5,3,5,1 2 3 4,1234,（4）形成整體剛度矩陣,處理方法還有：對(duì)考慮軸向變形的整體剛度矩陣，把已知位移為零的行和列劃掉，把已知位移相等的行和列相加。,1 2 3 4 5 6

47、 7,1234567,8、忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析,,,,,,,12,12,-30,,12+12,-30,,【例題16】求圖示桁架內(nèi)力(EA=常數(shù))。,解：（1）編號(hào)及坐標(biāo)設(shè)置,（2）局部坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃?9、桁架結(jié)構(gòu)的整體分析,單元①、③,,單元⑤,,單元⑥,,,（4）整體剛度矩陣,（5）結(jié)點(diǎn)荷載列陣,1 2 3 4,1234,1

48、 2 3 4,,9、桁架結(jié)構(gòu)的整體分析,,（6）解方程：,解得：,9、桁架結(jié)構(gòu)的整體分析,（7）桿端力計(jì)算,,,,,【例題17】請(qǐng)求出圖所示組合結(jié)構(gòu)的整體剛度方程。,解：（1）編號(hào)及坐標(biāo)設(shè)置如圖所示,10、其它問(wèn)題的計(jì)算,（2）寫出局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,（2）寫出局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,（3）寫出整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?,,①單元的整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一致，因此有：,②單元整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的α=90

49、76;，因此有：,,③單元整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的α=45°，因此有：,,,,（4）按定位向量拼裝整體剛度矩陣,,（5）結(jié)點(diǎn)荷載列陣,（6）結(jié)點(diǎn)位移列陣,（7）結(jié)構(gòu)的整體剛度方程,【例題18】圖示結(jié)構(gòu)發(fā)生了如圖所示的支座位移，請(qǐng)求出結(jié)構(gòu) 的整體剛度方程。桿件的參數(shù)同例題1。,整體剛度矩陣如下所示：,,（5）求等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣,a、求出①、②單元局部坐標(biāo)下的固端力列陣,,b、求出①、②單元整體坐標(biāo)下的固端力列陣。,②單元的局部坐標(biāo)