[學(xué)習(xí)]條件概率及全概率公式

1、條件概率及全概率公式,,在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.,一、條件概率,1. 條件概率的概念,如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).,一般 P(A|B) ≠ P(A),P(A )=1/6，,例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，,B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，,P(A|B)=？,已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3個(gè)元

2、素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記,B={取到正品},,A={取到一等品}，,P(A|B),P(A )=3/10，,B={取到正品},P(A|B)=3/7,,本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.,A={取到一等品}，,計(jì)算P(A|B)時(shí)，這

3、個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.,這好象給了我們一個(gè)“信息”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.,若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的樣本空間 , 于是 有(1).,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱

4、 (1),2. 條件概率的定義,為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.,3. 條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證),設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則,1. 對(duì)任一事件A，0≤P(A|B)≤1;,2. P (Ω | B) =1 ；,而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.,2)從加入條件后可用縮減樣本空間法,4. 條件概率的計(jì)算,1) 用定義計(jì)算:,P(B)>0,P

5、(A|B）=,B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10} B={第一顆擲出6點(diǎn)},應(yīng)用定義,在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算,例2 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問它能活到

6、25歲以上的概率是多少？,解 設(shè)A表示“能活到20歲以上”， B表示“能活到25歲以上”。,則,由已知,從而所求的概率為,,,,條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系,若,,一般地,二、乘法公式,由條件概率的定義：,定理1.1若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2),若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)

7、和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,多個(gè)事件的乘法公式,則有,這就是n個(gè)事件的乘法公式．,例1 在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率。,解：設(shè)A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，則,,,,例2 袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹梗笕×薾次都未取出黑球的概

8、率．解：,則,由乘法公式，我們有,,返回主目錄,乘法公式應(yīng)用舉例,乘法公式應(yīng)用舉例,一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.,（波里亞罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球. ”,隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與

9、所抽出的球具有相同顏色的球.,解: 設(shè)Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4,Rj={第j次取出是紅球}， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,,,,,當(dāng) c>0 時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),,全概率公式和貝葉斯公式

10、主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.,綜合運(yùn)用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0,,,三、全概率公式和貝葉斯公式,,例1 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.,解：記 Ai={球取

11、自i號(hào)箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運(yùn)用加法公式得,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常

12、用的全概率公式.,對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15,1.全概率公式:,,,Ω,A1,A2,An,…...,,BA1,BA2,…...,BAn,,,,,定義1.6 設(shè) Ω為試驗(yàn) E 的樣本空間， 為 E 的一組事件。若滿足 (1) (2) 則稱為樣本空間 Ω的一個(gè)劃分。,1.全概率公式:,則,設(shè)A1,A2,…,An是兩

13、兩互斥的事件，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它總是與A1, A2, … ,An之一同時(shí)發(fā)生，即 ，,定理1.2,全概率公式的證明,由條件：,得,而且由,,A1,A2,An,…...,,BA1,BA2,…...,BAn,,,,,,Ω,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,,返回主目錄,全概率公式的使用,我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的

14、概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率．,,返回主目錄,例1 有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的.其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計(jì)算該產(chǎn)品是正品的概率多大?,解 設(shè)A、B、C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，D 表示抽得產(chǎn)品為正品，,,,,則由

15、已知，,從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：,例2 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別為2、6、9、3名．又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率．解：,由全概率公式，有,例3 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7 .飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為

16、0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率.,設(shè)B={飛機(jī)被擊落} Ai={飛機(jī)被i人擊中}, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),則 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,為求P(Ai ) , 設(shè) Hi={飛機(jī)被第i人擊中}, i=1,2,3

17、,將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1,,,,,例4 要驗(yàn)收一批 ( 100 件) 樂器。驗(yàn)收方案如下：自該批樂器中隨機(jī)地抽取 3 件測(cè)試 (

18、設(shè) 3 件樂器的測(cè)試是相互獨(dú)立的），如果至少有一件被測(cè)試為音色不純，則拒絕接受這批樂器。設(shè)一件音色不純的樂器被測(cè)試純的概率為 0.95，而一件音色純的樂器被誤測(cè)為不純的概率為 0.01。如果這件樂器中恰有 4 件是音色不純的，問這批樂器被接受的概率是多少？,,純、純、純,純、純 、純 接受,,,,p,p,p,,不純、 純、 純,,q,純、 純 、純 接受,,p,p,,H1：,H0：,,,H2：,p =1-0.01=0.99

19、, q =1-0.95=0.05,解：以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“隨機(jī)取出的 3 件樂器中恰有 i 件音色不純”，以 A 表示事件“這批樂器被接受”，即 3 件都被測(cè)試為音色純的樂器。由測(cè)試的相互獨(dú)立性得 ：,,,不純、 純、 不純,,q,純、 純 、純 接受,,p,,q,,,不純、不純、 不純,,q,純、 純 、純 接受,,,q,q,H3：,,返回主目錄,p=1-0.01=0.99,

20、 q=1-0.95=0.05,,,,純、純 、純,,,,純、純 、純 接受,,,,,,,不純、純 、純,,,,純、純 、純 接受,,,,,,,不純、純 、不純,,,,純、純 、純 接受,,,,,,,都 不 純,,,,純、純 、純 接受,,,,H0 H1 H2

21、 H3,p,p,p,q,q,q,q,q,q,p,p,p,另外，,該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?,這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.,,,或者問:,實(shí)際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因”,有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2

22、紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率 .,1,,,,,,1紅4白,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.,記 Ai={球取自i號(hào)箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},求P(A1|B).,運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是

23、在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.,2.貝葉斯公式：,設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An 之一同時(shí)發(fā)生，則,Bayes公式的使用,我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第 i 個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公

24、式,例5 同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)。由長期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2:3:5，混合在一起。,（1）從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；,（2）現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？,,,,由已知,（1）由全概率公式得：,,,,由貝葉斯公式得,由以上3個(gè)數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小。,例6　數(shù)字通訊過程中，

25、信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,＝,＝,＝,0.067,解：設(shè)A---發(fā)射端發(fā)射0， B--- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)．,,,,,,0 (0.55

26、),(0.9)(0.05)(0.05),,,,,,1 (0.45),(0.85)(0.05)(0.1),,例7 對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為 30% 。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？,機(jī)器調(diào)整得良好

27、 產(chǎn)品合格 機(jī)器發(fā)生某一故障,,,,,,,,,,,解 ：,例8 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,則

28、 表示“抽查的人不患癌癥”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,設(shè) C={抽查的人患有癌癥}， A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，,求P(C|A).,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.,由貝葉斯公式，可得,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得: P(C｜A)= 0.1066,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無意義

29、？,如果不做試驗(yàn), 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005,患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為 P(C｜A)= 0.1066,說明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無意義？,2. 檢出陽性是否一定患有

30、癌癥?,試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(C｜A)=0.1066,即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).,,貝葉斯公式,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.,P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的