[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)條件概率

1、引例1: 擲一個(gè)骰子，已知擲出了偶數(shù)點(diǎn)，求擲出的是2的概率.,引例2: 在52 張撲克中任取一張,已知是草花的條件下,求是5的概率.,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間?中的任意兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率,一般地，設(shè)A、B是?中的兩個(gè)事件，則,,,,,例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)前，偵破人員根據(jù)過去的前科，

2、對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為甲、 乙、 丙分別為P(A1)、 P(A2)、 P(A3)，但在知道案情細(xì) （知道B發(fā)生后）這個(gè)估計(jì)就有了變化.比如原來認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯. 即 P(A1 | B)變大，P(A2 | B)， P(A3 | B)變小,,條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系,若,,一般地,概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了,區(qū)別：,（1）在P(A|

3、B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。,（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為 。,因而有,條件概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)：,3)可列可加性,,,,1)非負(fù)性,2)規(guī)范性,3). 設(shè)B1，B2,…兩兩不相容，則有,乘法法則,,,,,,,,推廣,某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率為0.8, 能用1500小時(shí)的概率為0.4

4、 , 求已用1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率,解 令 A 燈泡能用到1000小時(shí) B 燈泡能用到1500小時(shí),所求概率為,,例1,練一練,某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。,解 設(shè)A表示“活到20歲”，B表示“活到25歲”,則,所求概率為,2,例 下表給出了烏龜?shù)膲勖恚嚽笙旅嬉恍┦录臈l件概率：,（1）活到60歲的烏龜

5、再活40年的概率是多少？,由于活到100歲的烏龜一定活到60歲，所以有,于是,,,例1 擲兩顆均勻骰子,求在已知第一顆擲出6點(diǎn)條件下“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?,解法(定義）1:,解法（縮小樣本空間）2:,解: 設(shè)A={第一顆擲出6點(diǎn)} B={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10},應(yīng)用定義,在A發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算,例2 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張, 已知其中1張是假

6、鈔. 求2 張都是假鈔的概率.,解一 令 A 表示 “其中1張是假鈔”.,B表示 “2 張都是假鈔”,由縮減樣本空間法得,下面兩種解法哪個(gè)正確？,例2,,解二 令 A 表示“抽到2 張都是假鈔”.,B表示“2 張中至少有1張假鈔”,則所求概率是 （而不是 ?。?,所以,,例3 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品,從中任取兩件產(chǎn)品, 已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品, 則另一件也是不合格品的概率為多少

7、?,解: 設(shè)A=“兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品” B=“兩件產(chǎn)品都不合格品”,4,又因?yàn)?故所求的概為:,,,例：一個(gè)學(xué)生欲到圖書館借一本參考書．圖書館購進(jìn)這種書的概率是1/2，購進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2．問該學(xué)生在該圖書館能夠借到書的概率是多少？,例： 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球。每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球3次,試求第1、2次取得白球、第3

8、次取得紅球的概率。,,,,,例4 為了防止意外,礦井內(nèi)同時(shí)裝有A 與B兩兩種報(bào)警設(shè)備, 已知設(shè)備 A 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.92, 設(shè)備 B 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.93, 在設(shè)備 A 失效的條件下, 設(shè)備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時(shí)至少有一個(gè)報(bào)警設(shè)備有效的概率.,設(shè)事件 A, B 分別表示設(shè)備A, B 有效,已知,求,解,例4,解,,由,即,故,解法二,例3 盒中裝有50個(gè)產(chǎn)品, 其中30個(gè)一等品

9、，20個(gè)二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品, 每次1個(gè), 求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 為第 i 次取到一等品,（1）,例3,(3),提問：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更簡(jiǎn)單,（2）,(4),練一練,甲，乙，丙3人參加面試抽

10、簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個(gè)試題簽中有4個(gè)是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率。,解 設(shè)A，B，C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”,則,三、全概率公式與貝葉斯公式,例:市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為

11、2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,,B,,,,,樣本空間的劃分,,,,,,,稱該式為全概率公式。,,,,,例 設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為 5% ，4%， 2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．,解,設(shè)Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品．

12、顯然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 構(gòu)成完備事件組．依題意，有,Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%,Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝,,,例4： 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.,5張同樣的卡片，只有一張上寫“入場(chǎng)券”，其余什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽

13、取.,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ”,后抽比先抽的確吃虧嗎？,解：用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i＝1,2,3,4,5.,顯然，P(A1)=1/5，P( )＝4/5,第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.,即,則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”,由于,因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒抽到.

14、,也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，,由乘法公式,計(jì)算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.,同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此,＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券” 的概率都是1/5.,抽簽不必爭(zhēng)先恐后.,也就是說，,例2：n張獎(jiǎng)券中有2張有獎(jiǎng)的，求第k個(gè)人中獎(jiǎng)的概

15、率,,,所求概率為,,,例：設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球。現(xiàn)用擲骰子的辦法決定取球的數(shù)量。如果擲出的點(diǎn)數(shù)小于3，則從中取2個(gè)球；否則從中取3個(gè)球。用X表示取出的白球數(shù)，（1）求P{X=2}（2）如果已知取出2個(gè)白球，問擲出的點(diǎn)數(shù)不超過3的概率是多少？,解：設(shè)A={擲出的點(diǎn)數(shù)不超過3}；B={取出2個(gè)白球}；,,,,,稱該式為貝葉斯公式。,,,,,每100件產(chǎn)品為一批, 已知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不超過4件, 每批產(chǎn)品中有 i 件次品的

16、概率為,從每批產(chǎn)品中不放回地取10件進(jìn)行檢驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品,則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，否則就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格. 求(1) 一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率(2) 通過檢驗(yàn)的產(chǎn)品中恰有 i 件次品的概率,例5,例5,解 設(shè)一批產(chǎn)品中有 i 件次品為事件Bi , i = 0,1,…,4,A 為一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn),則,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式與Bayes 公式可計(jì)算P( A )與,結(jié)果如下表所示,1.0 0.

17、9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,i 較大時(shí)，,例6 由于隨機(jī)干擾, 在無線電通訊中發(fā)出信號(hào)“ ? ”, 收到信號(hào)“? ”,“不清”,“ — ” 的概率分別為0.7, 0.2, 0.1; 發(fā)出信號(hào)“ — ”,收到信號(hào)“? ”,“不清”,“— ”的概率分別為0.0, 0.1, 0.9.已知在發(fā)出的信號(hào)中, “ ? ”和

18、“ — ”出現(xiàn)的概率分別為0.6 和 0.4 , 試分析, 當(dāng)收到信號(hào) “不清”時(shí), 原發(fā)信號(hào)為“ ? ”還是“ — ”的概率 哪個(gè)大？,解 設(shè)原發(fā)信號(hào)為“ ? ” 為事件 B1 原發(fā)信號(hào)為“ — ”為事件 B2,收到信號(hào)“不清” 為事件 A,例6,已知：,,可見, 當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí), 原發(fā)信號(hào)為“ ? ”的可能性大,例7：商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只次品的概率分別為0

19、.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,,,,,例8：(1)在你外出度假時(shí)，你托鄰居幫你澆快要凋謝的花，若不澆水花凋謝的概率為0.8，澆水花仍會(huì)

20、凋謝的概率為0.15，你有90%的把握確信鄰居會(huì)記著幫你澆花，求 (1)在你回來時(shí)，花活著的概率；(2)如果花凋謝了，你的鄰居忘記幫你澆花的概率.,例9:學(xué)生在考試中做一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題,如果他不知道正確答案,就做隨機(jī)猜測(cè),假設(shè)學(xué)生知道正確答案的概率為0.2.現(xiàn)從卷面看題答對(duì)了, 求該學(xué)生確實(shí)知道正確答案的概率,例10: ：數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中

21、存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)，問發(fā)射端發(fā)的是0的概率是多少?,＝,＝,＝,0.067,解：設(shè)A={發(fā)射端發(fā)射信號(hào)“0”}， B={接收端接收到信號(hào)“1”}．,,,,,,0 (0.55),0 1 不清,(0.9)(0.05)(0.05),,,,,,1 (0.45

22、),1 0 不清,(0.85)(0.05)(0.1),,,,,,例5 (P17)有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？,解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；,?,,甲,乙,,,,,定理2 (p18) 設(shè)A1，…, An是S的一個(gè)劃分，且

23、P(Ai) > 0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B?S，有,式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,,答:,,,,,甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？,解,設(shè)B=“從乙箱中取出白球”，,A=“從甲箱中取出白球”，,則,例7,已知在所有男子中有5%，在所有

24、女子中有0.25%患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。,例8,例6.由于修理狀況不同,機(jī)器生產(chǎn)次品部件服從三種不同的概率.如果機(jī)器正常運(yùn)作,它以概率0.02生產(chǎn)次品部件.如果機(jī)器老化,它以概率0.1生產(chǎn)次品部件.如果它需要修理,它以概率0.3生產(chǎn)次品部件.機(jī)器正常運(yùn)作的概率為0.8,老化的概率為0.1,需要修理的概率為0.1.隨機(jī)取一個(gè)部件是次品的概率.,例. 某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAX

25、AM”，其中有2個(gè)字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。,公,Bayes,式,在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用,應(yīng)用,應(yīng)用舉例 —— 腸癌普查,設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽性,事件B,表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：,某患者首次檢查反應(yīng)為陽性, 試判斷該,患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為,陽性呢？,由Bayes 公式得,首次檢查反應(yīng)為陽性患腸癌的概率并不大,接連兩次檢查為陽性患腸癌的可能性過半,兩次檢查反應(yīng)均

26、為陽性,還不能斷,定患者已患腸癌.,連續(xù)三次檢查為陽性,幾乎可斷定已患腸癌,[例8] 用甲胎蛋白法普查肝癌,令　　C ={被檢驗(yàn)者患肝癌}　　A ={甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽性}由資料已知P(A|C)=0.95, 而被檢驗(yàn)者未患肝癌的情況下甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽性的概率為0.1, 又已知某地居民的肝癌發(fā)病率P(C)=0.0004, 在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽性的人,求這批人中真的患肝癌的概率P(C|A)=0.00378 .,復(fù)查后確實(shí)有病

27、：,第三次復(fù)查后確實(shí)有病：,第四次復(fù)查后確實(shí)有?。?一個(gè)部件經(jīng)銷商從倉庫購買部件。這些部件要么由A供應(yīng)商生產(chǎn)，要么由B供應(yīng)商生產(chǎn)，但部件上沒有標(biāo)識(shí)出是哪家供應(yīng)商供應(yīng)的。每次發(fā)貨或每一批的所有零件都是由一個(gè)供應(yīng)商生產(chǎn)的。平均來看，A供應(yīng)商生產(chǎn)的產(chǎn)品中有2.5%的不合格品，B供應(yīng)商生產(chǎn)的產(chǎn)品中有5.0%的不合格品。倉庫聲稱70%的部件是A供應(yīng)商生產(chǎn)的，30%的部件是B供應(yīng)商生產(chǎn)的。如果經(jīng)銷商隨機(jī)地從一批產(chǎn)品中抽取4個(gè)部件并發(fā)現(xiàn)有一個(gè)部件