[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計獨立

1、例1 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中有放回地取球兩次,每次取1球.,設(shè)第 i 次,求,取得白球為事件 Ai ( i =1, 2 ) .,解,,§1.4獨立性,§1.5 事件的獨立性,事件 A1 發(fā)生與否對 A2 發(fā)生的概率沒有影響可視為事件A1與A2相互獨立,,設(shè) A , B 為兩事件，若,則稱事件 A 與事件 B 相互獨立,一、兩個事件的獨立性定義1 設(shè)A、B是兩個事件,若

2、 P(AB)＝P(A)P(B)則稱事件A與B相互獨立。當(dāng)P(A)>0時，上式等價于 P(B|A) ＝ P(B)考慮：必然事件（或不可能事件）與任意一個事件的獨立性？,,,,,,,,,兩事件相互獨立的性質(zhì),1.兩事件 A 與 B 相互獨立是相互對稱的,2.若,則“事件 A 與 事件 B 相互獨立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥”不能同時成立 (自行證明),由

3、于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨立 .,（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）,在實際應(yīng)用中, 往往 根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.,一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai={第 i 件是合格品} i=1,2,若抽取是有放回的, 則A1與A2獨立.,因為第二次抽取的結(jié)果受到 第一次抽取的影響.,又如：,因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.,若抽取是無放回的，則A

4、1與A2不獨立.,例1: 某家庭有若干個小孩，假定生男孩與生女孩等可能.令A(yù)={一個家庭中有男孩又有女孩} B={一個家庭中最多有一個女孩}在家庭有兩個、三個小孩的情況下分別討論A、B的獨立性.,設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，,1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0

5、 4. P(AB)=P(A)P(B),,設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再請你做個小練習(xí).,,,,練習(xí)2: 設(shè)A、B為獨立事件，且 求,三事件 A, B, C

6、相互獨立是指下面的關(guān)系式同時成立：,注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時,稱 A, B, C 兩兩獨立,(2),定義,例3 隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子 事件 A 表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) B 表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù),則,但,一般地，,,,,,二、多個事件的獨立,n 個事件 A1, A2, …

7、, An 相互獨立 是指下面的關(guān)系式同時成立,定義,推廣,定理,例4 已知事件 A, B, C 相互獨立,且0<P(C)<1, 則在下列給出的四對事件中不相互獨立的是( ),A.,C.,B.,D.,例5 已知事件 A, B, C 相互獨立,證明事件,證,例4,,思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨立，則,2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？,答:0

8、.518, 0.496,,,,,例6：某彩票每周開獎一次，每次提供百萬分之一贏的機會，若你每周買一張彩票，盡管堅持十年之久（每年52周），從未贏過的概率為多少？(設(shè)每次是否中獎是相互獨立的).,例7 設(shè)每個人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 設(shè)這100 個人的血清混合液中含有肝炎 病毒為事件 A, 第 i

9、 個人的血清中含有 肝炎病毒為事件 Ai i =1,2,…,100,則,例5,若Bn 表示 n 個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則,—— 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生,例8：設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下時未打破, 第二次落下時打破的概率為7/10, 若前兩次時未打破, 第三次落下時打破的概率為9/10,試求透鏡落下三次而未打破的概

10、率.　解:以Ai 表示事件“透鏡第 i次落下時打破”,i=1,2,3.以 B表示事件“透鏡三次落下而未打破”.,例9： 一個學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購進這種書的概率是1/2，購進這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2．各家圖書館是否購進該書相互獨立．問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？,甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2 ,

11、被兩人擊中而被擊落的概率為 0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.,解,A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機 ,,例10,i=1,2,3,因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為,例11： 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物品損害2%（這一事件記為A1), 10%（事件A2), 90%（事件A3)的概率分別為0.8, 0.15, 0.05.現(xiàn)從中隨機地取3件,發(fā)現(xiàn)這3件都是好的（這一事件記為B),試分別求P(A

12、1|B), P(A2|B), P(A3|B)(這里物品件數(shù)很多,取出任一件以后不影響取次一件的概率).,三、事件獨立性的應(yīng)用,1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立, 則 (1.5.5),2、在可靠性理論上的應(yīng)用P23, 如圖，1、2、3、4、5表示繼

13、電器觸點,假設(shè)每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。,,,,,設(shè)A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5,由全概率公式,,,,,例12.股票價格的變化的一個簡化模型是每天價格上升一個單位的概率為 , 下降一個單位的概率為1-p,假定每天價格的變化時獨立的.求(1)2天后股價不變的概率是多少?(2)3 天后股價上升一個單位的概率是多少? (2)已知3 天后股價上

14、升一個單位,第一天上升一個單位的條件概率是多少?,（1）2p(1-p), (2)3p2(1-p) (3) 2p2(1-p) /3p2(1-p),例1 將一枚硬幣獨立地擲兩次，設(shè),A1={第一次出現(xiàn)正面},A2={第二次出現(xiàn)正面},A3={正、反面各出現(xiàn)一次},A4={兩次都出現(xiàn)正面},則事件（ ）,分析：,C,例2. 已知 0<P(A)<1,0<P(B)<1

15、, , 則 ( ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A與B對立 ; (C) 事件A和事件B 不獨立; (D) 事件A和B 相互獨立.,例3. 對于事件A, B下列命題正確的是(