[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)cha

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,本章要解決的問題,為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？,為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？,為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？,大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？,,,大數(shù)定律,中心極限定理,設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量 X 的期望 E( X )存在，則對于任意實(shí)數(shù) ? > 0,,證 僅證連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,§5.1

2、大數(shù)定律,§5.1,設(shè)隨機(jī)變量 X 的k階絕對原點(diǎn)矩 E( |X |k)存在，則對于任意實(shí)數(shù) ? > 0,,設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差 D ( X )存在，則對于任意實(shí)數(shù) ? > 0,,切貝雪夫(Chebyshev)不等式,或,,當(dāng) ? 2? D(X) 無實(shí)際意義,,馬爾可夫 (Markov) 不等式,已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價(jià)超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。

3、,解:由切比雪夫不等式,令,例1 設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計(jì)在任選的 6000 粒種子中, 良種所占比例與1/6 比較上下小于1%的概率.,解 設(shè) X 表示 6000 粒種子中的良種數(shù) ,,X ~ B (6000,1/6 ),例1,實(shí)際精確計(jì)算,用Poisson 分布近似計(jì)算,取? = 1000,例2 設(shè)每次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的概率為 0.75, 試用 Chebyshev 不等式估計(jì), n 多大時(shí),

4、 才能在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件 A 出現(xiàn)的頻率在0.74 ~ 0.76 之間的概率大于 0.90?,解 設(shè) X 表示 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 則,X ~ B(n,0.75),例2,即,即,由 Chebyshev 不等式，? = 0.01n ,故,令,解得,大數(shù)定律,貝努里（Bernoulli） 大數(shù)定律,設(shè) nA 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù), p 是每次試驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率,

5、則,有,或,,大數(shù)定律,證 引入隨機(jī)變量序列{Xk},設(shè),則,相互獨(dú)立，,記,由 Chebyshev 不等式,故,在概率的統(tǒng)計(jì)定義中, 事件 A 發(fā)生的頻率,“ 穩(wěn)定于”事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：,小概率事件, 因而在 n 足夠大時(shí), 可以用頻率近似代替 p . 這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.,貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義,,伯努里大數(shù)定律說明：,A發(fā)生的頻率 與概率p有較大偏差的可能性愈來愈小，但這并

6、不意味著較大偏差永遠(yuǎn)不可能發(fā)生了，只是說小偏差發(fā)生的概率大，而大偏差發(fā)生的概率小，小到可以忽略不不計(jì)。,定義,a 是一常數(shù)，,(或,故,如,意思是:當(dāng),,,a,,,,,,,,,,,,,,,,而,意思是:,時(shí),Xn落在,內(nèi)的概率越來越大.,,當(dāng),在 Bernoulli 定理的證明過程中，Y n 是相互獨(dú)立的服從 (0 , 1) 分布的隨機(jī)變量序列{Xk} 的算術(shù)平均值, Y n 依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望 p .,結(jié)果同樣適用于服從其它

7、分布的獨(dú)立隨機(jī)變量 序列,Chebyshev 大數(shù)定律,(指任意給定 n > 1, 相互獨(dú)立)且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差,或,,如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統(tǒng)偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重復(fù)稱量多次，可能得到多個(gè)不同的重量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值一般來說將隨稱量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實(shí)重量。,定理的意義,當(dāng) n 足夠大時(shí), 算術(shù)平均值幾