條件概率(公開課)

1、2.2.1 條件概率,浙江省富陽市新登中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組 2013-3-17,事件概率加法公式：,注:1.事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫做A與B的 和事件,記為 (或 );,3.若 為不可能事件,則說事件A與B互斥.,復(fù)習(xí)引入：,若事件A與B互斥，則.,2.事件A與B都發(fā)生的事件叫做A與B的積事件,記為 (或 );,三張獎(jiǎng)券中只有

2、一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前兩位小？,探究：,解：記“最后一名同學(xué)中獎(jiǎng)”為事件B,Ω 為所有結(jié)果組成的全體,,,一般地，我們用W來表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空間（或樣本空間）,一般地，n(B)表示事件B包含的基本事件的個(gè)數(shù),如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率又是多少？,思考1：,“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”為事件A“最后一名同

3、學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”為事件B第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的條件下，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率記為P(B|A）,,P(B)以試驗(yàn)下為條件,樣本空間是,二、內(nèi)涵理解:,,P(B|A)以A發(fā)生為條件,樣本空間縮小為A,,P(B |A)相當(dāng)于把Ａ看作新的樣本空間求AB發(fā)生的概率,樣本空間不一樣,為什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？,一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，則,稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。一般

4、把P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B的概率。,注意：（1）條件概率的取值在0和1之間，即0≤P(B|A) ≤1（2）如果B和C是互斥事件，則 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A),條件概率的定義：,,(通常適用古典概率模型),(適用于一般的概率模型),一般地,設(shè)Ａ，Ｂ為兩個(gè)事件, 且Ｐ（A）＞０， 稱,為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．,1、定義,條件概率

5、 Conditional Probability,一般把 P（B︱A）讀作 A 發(fā)生的條件下 B 的概率。,2.條件概率計(jì)算公式:,P(B |A)相當(dāng)于把Ａ看作新的基本事件空間求Ａ∩Ｂ發(fā)生的概率,,反思,求解條件概率的一般步驟：（1）用字母表示有關(guān)事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用條件概率公式求,,,3.概率 P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,基本概念,例1：在5道題中有3道理科題和

6、2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；,解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.,（1）從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為,例1、在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；,解：設(shè)第1

7、次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.,例1：在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；,（3）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率。,法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科題 的條件下，第二次抽到理科題的概率為,法二：因?yàn)閚(AB)=

8、6，n(A)=12，所以,法三：第一次抽到理科題，則還剩下兩道理科、兩道文科題，故第二次抽到理科題的概率為1/2,例2 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0—9中任選一個(gè)。某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：（1）任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率。,練習(xí)：設(shè) 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合

9、格品．從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．,解,設(shè)B表示取得一等品，A表示取得合格品，則,（1）因?yàn)?00 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，,,（2）方法1：,,方法2：,,因?yàn)?5 件合格品中有 70 件一等品，所以,反思,求解條件概率的一般步驟：（1）用字母表示有關(guān)事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用條件概率公式求,,,在某次外交談判中

10、，中外雙方都為了自身的利益而互不相讓，這時(shí)對(duì)方有個(gè)外交官提議以拋擲一顆骰子決定,若已知出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3的條件下再出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則按對(duì)方的決議處理，否則按中方的決議處理，假如你在現(xiàn)場(chǎng)，你會(huì)如何抉擇？,B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)} ＝｛１，３，５｝,設(shè)A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝,只需求事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）,解法一（減縮樣本空間法）,例題2,解1：,例 2 考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.

11、（1）若已知（2）若已知 （假定生男生女為等可能）,例 3 設(shè)P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B).,,某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率,某一家有一個(gè)女孩，求這家另一個(gè)是男孩的概率；,在某次外交談判中，中外雙方都為了自身的利益而互不相讓，這時(shí)對(duì)方有個(gè)外交官提議以拋擲一顆骰子決定,若已知出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3的條件下再出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則按對(duì)方的決議處

12、理，否則按中方的決議處理，假如你在現(xiàn)場(chǎng)，你會(huì)如何抉擇？,B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)} ＝｛１，３，５｝,設(shè)A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝,只需求事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）,例題2,解2：,由條件概率定義得：,解法二（條件概率定義法）,已知第一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果為什么會(huì)影響最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率呢？,,,引例:擲紅、藍(lán)兩顆骰子,設(shè)事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”事件B=“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和

13、大于8”求(1)P(A)，P(B)，P(AB) (2)在“事件A已發(fā)生”的附加條件下事件Ｂ發(fā)生的概率？ (3)比較(2)中結(jié)果與P(AB)的大小及三者概率之間關(guān)系,P(B)=10/36=5/18,P(A)=12/36=1/3,P(AB)=5/36,P(B |A)相當(dāng)于把Ａ看作新的基本事件空間求Ａ∩Ｂ發(fā)生的概率,思 考,對(duì)于上面的事件A和事件B，P(B|A)與它們的概率有什么關(guān)系呢？,1.條件概率 對(duì)任意事件

14、A和事件B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率”，叫做條件概率。 記作P(B |A).,基本概念,2.條件概率計(jì)算公式:,3.概率 P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,基本概念,例1在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回的依次抽取2道題（1）第一次抽到理科題的概率（2）第一次與第二次都抽到理科題的概率（3）第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率.,,例1在5道題中有3道理科題和2道文科題

15、，如果不放回的依次抽取2道題（1）第一次抽到理科題的概率（2）第一次與第二次都抽到理科題的概率（3）第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率.,,練習(xí)、1、5個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的，2個(gè)舊的，每次取一個(gè)，不放回的取兩次，求：（1）第一次取到新球的概率；（2）第二次取到新球的概率；（3）在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率。,3/5,3/5,1/2,2、盒中有25個(gè)球，其中白球若干個(gè)，黃球5個(gè)，黑球10個(gè)

16、，從盒中任意取出一個(gè)球，已知它不是黑球，試求它是黃球的概率。,,條件概率計(jì)算中注意的問題,1、條件概率的判斷： （1）當(dāng)題目中出現(xiàn)“在……前提（條件）下”等字眼，一般為條件概率。 （2）當(dāng)已知事件的發(fā)生影響所求事件的概率，一般也認(rèn)為是條件概率。,2、相應(yīng)事件的判斷：首先用相應(yīng)的字母A、B表示出相應(yīng)的事件，然后分析清楚在哪個(gè)事件發(fā)生的條件下求哪個(gè)事件的概率。,例 2 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字

17、都可從0—9中任選一個(gè)。某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：（1）任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率。,例 3 甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，問：（1）乙地為雨天時(shí)，甲地為雨天的概率為多少？（2）甲地為雨天時(shí)，乙地也為雨天的概率為多少？

18、,解：設(shè)A=“甲地為雨天”， B=“乙地為雨天”，則P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12,練一練,1.某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。,解 設(shè)A表示“活到20歲”(即≥20)，B表示“活到25歲” (即≥25),則,所求概率為,,,,0.56,0.7,5,,2.拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝

19、,A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝,若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率,解：即事件 A 已發(fā)生，求事件 B 的概率　也就是求：Ｐ（B｜A）,A B 都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含A的樣本點(diǎn),3. 設(shè) 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．,解,設(shè)B表示取得一等品，A表示取得合格

20、品，則,（1）因?yàn)?00 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，,,（2）方法1：,,方法2：,,因?yàn)?5 件合格品中有 70 件一等品，所以,4、一批產(chǎn)品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．,設(shè)Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品， 則,,,于是,解,解,5、一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危?(1) 第一次取得白球的概率；

21、(2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．,設(shè)Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 則,（2）,（3）,（1）,6、全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 來自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,7、甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽