[學(xué)習(xí)]概率與數(shù)理統(tǒng)計第2章

1、第二章隨機變量,離散型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量 一維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量的聯(lián)合分布多維隨機變量的邊緣分布與獨立性條件分布多維隨機變量函數(shù)的分布,關(guān)于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，如數(shù)學(xué)分析中的常量與變

2、量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機變量,2.1 隨機變量的概念,(p23)定義. 設(shè)S={e}是試驗的樣本空間，如果變量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個e?S，有一實數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等表示。,隨機變量的特點:,,,1 X的全部可能取值是互斥且完備的；,2

3、X的部分可能取值描述隨機事件。,,?,請舉幾個實際中隨機變量的例子,EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，B={有2個空格}，C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，F(xiàn)={試驗至少成功一次}，G={至多成功3次},隨機變量的分類：隨機變量,2.2離散型隨機變量,(P24)定義 若隨機變量X取值x1, x2, …, xn, … 且取這些值的概率依次

4、為p1, p2, …, pn, …, 則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 為X的分布律或概率分布?？杀頌?X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，或…,Xx1 x2…xK…Pkp1p2…pk…,,(1) pk ? 0, k＝1, 2, … ;(2),例1 設(shè)袋中

5、有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性質(zhì),例2.某射手對目標(biāo)獨立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。,解：設(shè)Ai?第i次射擊時命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},,(1-p)5,·幾個常用的離散型分布

6、（一）伯努利(Bernoulli)概型與二項分布,1. (0-1)分布(p25) 若以X表示進(jìn)行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1或,,,(P26)若以X表示n重伯努利試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記作 其分布律為：,2.(p26)定義 設(shè)將試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n次，

7、每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗.,例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.,解:(1)由題意,X?B(6,1/3),于是,X的分布律為:,例4. 某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。,泊松定

8、理(p27) 設(shè)隨機變量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，記?=np，則,解 設(shè)X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400, 0.02)，故P{X?2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…,上題用泊松定理 取? =np＝(400)(0.02)＝8, 故近似地有,P{X?2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1

9、}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.,（二. ） 泊松(Poisson)分布P(?)(p27) X～P{X＝k}＝ , k＝0, 1, 2, … (??0),泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)?=np的泊松分布,例5.設(shè)每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為?的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,

10、至少有3個孩子的概率。,解:由題意,,例6. 進(jìn)行獨立重復(fù)試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗次數(shù)，求X的分布律。,解:m=1時,,m>1時,X的全部取值為:m,m+1,m+2,…,P{X=m+1}=P{第m+1次試驗時成功并且 在前m次試驗中成功了m-1次},想一想：離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是

11、一個隨機變量，對消費者來說，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘},2.3 隨機變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念.,定義(P28) 設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{X?x}的概率P{X?x}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即 F(x)＝P {X?x}.,,,易知，對任意實數(shù)a, b (a<b), P {a<X?b}＝P{X?b

12、}－P{X?a}＝ F(b)－F(a).,利用分布函數(shù)計算各種概率,二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P28),1、單調(diào)不減性：若x1<x2, 則F(x1)?F(x2); 2、歸一 性：對任意實數(shù)x，0?F(x)?1，且,3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，,反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,例1 設(shè)隨機變量X具分布律如右表,解,,,,,,,試求出X的分布函數(shù)。,當(dāng)x<

13、0時, F(x)=0,當(dāng)x=0時, F(x)=P{X≤0}=P{X=0}=0.1,當(dāng)0<x<1 時, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.1,,當(dāng)1 ≤ x <2 時, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.1+0.6=0.7,,當(dāng)2 ≤ x 時, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1,,一般地，對離散型隨機變量 X～P{X= x

14、k}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函數(shù)為,離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點對應(yīng)離散型隨機變量的可能取值點,跳躍高度對應(yīng)隨機變量取對應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機變量必為離散型隨機變量.,例2 向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標(biāo).假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解： F(x)=P{X≤x},,,,,,,,,,當(dāng)x

15、1時,F(x)=1,當(dāng)0≤x≤1時,,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1,用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？,?,a,b,2.4 連續(xù)型隨機變量一、概率密度,1. 定義(p31) 對于隨機變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-?<x<+?)，使對任意實數(shù)x，都有,則稱X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù). 常記為 X～

16、 f(x) , (-?<x<+?),密度函數(shù)的幾何意義為,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p32) (1) 非負(fù)性 f(x)?0，(-?<x<?)； (2)歸一性,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；,EX,設(shè)隨機變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,答:,,(3) 若x是f(x)的連續(xù)點，則,EX,設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求f(x),,（4） 對任意實數(shù)b，若X～ f(x)，(-?<x<?)，則P

17、{X=b}＝0。于是,P33 例2.3.2.已知隨機變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X?(0.5,1.5)},P{X?(0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4,解：,解：,二、幾個常用的連續(xù)型分布,1. 均勻分布(p34) 若X～f(x)＝,,,,,,,,,則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 X~U(a, b),對任意實數(shù)c, d (a<c<d<b)，都

18、有,例.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達(dá)車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率。,15,45,解：設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達(dá)，則X?U(0,60),2. 指數(shù)分布(p34) 若 X～,則稱X服從參數(shù)為?>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為,,,,,,,例 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命

19、超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解,例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0，t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為?t的泊松分布，求T的概率密度。,解,當(dāng)t ≤0時，,當(dāng)t >0時，,=1- {在t時刻之前無汽車過橋},于是,正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特 別重要的地位。,3. 正

20、態(tài)分布（P35),,A,B,A，B間真實距離為?，測量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？,,,其中 ?為實數(shù)， ?>0 ，則稱X服從參數(shù)為? ,?2的正態(tài)分布,記為N(?, ?2)，可表為X～N(?, ?2).,若隨機變量,(1) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線x=?對稱；(p36)f(?)＝max{f(x)}＝ .,正態(tài)分布有兩個特性：,(2) ?的大小直接影響概率的分布?越大，曲

21、線越平坦，?越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布,4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p36) 參數(shù)?＝0，?2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0, 1)。,分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱?(x)的值。(P218附表1)如，若Z~N（0，1）,?（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=?(2.43)-?(1.32)=0

22、.9925-0.9066=0.0859,注：(1) ?(x)＝1－ ?(－x)； (2) 若X～N(?, ?2)，則,,EX,設(shè)隨機變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?,P(37)例2.3.5.設(shè) X?N(?,?2),求P{?-3?<X<?+3?},本題結(jié)果稱為3? 原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X- ? |≤3?} ≈1，忽略{|X- ? |>3?}的值.

23、 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3?作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.,(p63)13.一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.,解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),,故,則Y~B(3,p),其中,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律,2.5 一維隨機變

24、量函數(shù)的分布,(p52) 設(shè)X一個隨機變量，分布律為 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, …若y＝g(x)是一元單值實函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.,例:已知,,,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,,,或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … （其中g(shù)(xk)有相同的，其

25、對應(yīng)概率合并。）,一般地,,,,X,Pk,Y=g(X),二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法(p53) 若X~f(x), -?< x< +?, Y=g(X)為隨機變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) ＝P{Y?y}＝P {g(X) ?y}＝,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,例1.設(shè)X?U(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y<0時,

26、當(dāng)0≤y<1時,當(dāng)y≥1時,,,,解,例2.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為,FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y)),?Y的概率密度為 fY(y)=F?(g-1(y))=－fX(g-1(y)) g-1(y),2、公式法：一般地 若X～fX(x), y=g(x

27、)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；2 注意定義域的選擇。,其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).,例3.已知X?N(?,?2),求,解：,的概率密度,關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,故,例4 設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0),解: Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為,故,而,故,小結(jié).,2.6 二維隨機變量的聯(lián)合分布一、 多維隨機變量,1.定義(P38

28、)將n個隨機變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個n維向量 (X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機變量。,一維隨機變量X——R1上的隨機點坐標(biāo)二維隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標(biāo)n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標(biāo)多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律,(P39)設(shè)(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)?R2, 則稱

29、 F(x,y)=P{X?x, Y?y}為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,二. 聯(lián)合分布函數(shù),幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：,對于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1< x2， y1<y2 ),則 P{x1<X? x2， y1<Y?y2 } ＝F(x2, y2)－

30、F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1).,,,(x1, y1),(x2, y2),,,(x2, y1),(x1, y2),,,,,,,,,,,,,,,,,EX,G,已知隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x,y),求(X,Y)落在如圖區(qū)域G內(nèi)的概率.,答:,,分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：(p39),且,(1)歸一性 對任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1,,(2)單調(diào)不

31、減 對任意y ?R, 當(dāng)x1<x2時， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 對任意x ?R, 當(dāng)y1<y2時， F(x, y1) ? F(x , y2).,(3)右連續(xù) 對任意x?R, y?R,,(4)矩形不等式 對于任意(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1< x2， y1<y2 ), F

32、(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)?0.,反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個二維隨機變量(X, Y)的分布函數(shù)。,例1.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3},解:,三.聯(lián)合分布律,(P40)若二維隨機變量(X, Y)只能取至多可列對值(xi, yj), (i, j＝1,

33、2, … )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機變量。若二維離散型隨機變量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率為pij,則稱 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，為二維離散型隨機變量(X, Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，,X Y y1

34、 y2 … yj … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ... pi1 pi2 ... Pij ...,...,...,...,...,...,...,...,..

35、.,,,,聯(lián)合分布律的性質(zhì) (1) pij ?0 , i, j＝1, 2, … ； (2),x1 x2xi,二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:,P40,例2.袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次， 令,,求(X,Y)的分布律。,,,,X,Y,1 0,1 0,四.二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù),1、定義 p41

36、 對于二維隨機變量(X, Y)，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)f (x, y)，使對?(x, y)?R2，其分布函數(shù),則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2,2、聯(lián)合密度f(x, y)的性質(zhì)(p41) (1)非負(fù)性： f (x, y)?0,

37、 (x, y)?R2; (2)歸一性：,反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)f(x, y)，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。此外，f (x, y)還有下述性質(zhì),(3)若f (x, y)在(x, y)?R2處連續(xù)，則有,(4)對于任意平面區(qū)域G? R2,,EX,設(shè),求:P{X>Y},,,,,,G,1,1,x,y,求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x?0, y?0, 2

38、X+3y?6 內(nèi)的概率。,例3. 設(shè),,,,,解(1)由歸一性,1,1,(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x?0, y?0, 2X+3y?6 內(nèi)的概率。,解,3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布(p42) 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布。,易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))

39、服從均勻分布，對D內(nèi)任意區(qū)域G，有,例4.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X} ；(3)求F(0.5,0.5),解:,其中，?1、?2為實數(shù)，?1>0、?2>0、| ? |<1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為?1, ?2, ?1, ?2, ?的二維正態(tài)分布，可記為,(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為(P97),分布

40、函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1? x1, X2 ?x2, … , Xn ?xn)稱為的n維隨機變量(X1, X2, … , Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1, X2, … , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。,定義2.4.6. n維隨機變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)

41、使對任意的n元立方體,定義2.4.7. 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個點，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn) ∈Rn為n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。,則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。,求：（1）P

42、{X?0},(2)P{X?1},(3)P{Y ? y0},EX:隨機變量（X，Y）的概率密度為,,,x,y,,D,答: P{X?0}=0,,,,FY(y) ＝P{Y?y} ＝F (+?, y)＝ 稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).,2.7.邊緣分布與獨立性一、邊緣分布函數(shù)(p43),FX(x) ＝P{X?x} ＝F (x, +?)＝,稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布

43、函數(shù)；,邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個(某些)低維分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為,求FX(x)與FY(y)。,二、邊緣分布律,若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (p44) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 則稱 P{X＝xi}＝pi.＝ ，i＝1, 2, …為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律；,P{Y＝ yj

44、}＝p.j＝ ，j＝1, 2, … 為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。,例2.已知(X,Y)的分布律為x\y10 11/103/100 3/10 3/10求X、Y的邊緣分布律。,解：x\y10pi.11/103/1003/103/10 p.j,故關(guān)于

45、X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、邊緣密度函數(shù),為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。,設(shè)(X, Y)～f (x, y), (x, y)?R2, 則稱 (p45),為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱,易知N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N(?1, ?12)的密度函

46、數(shù)，而fY(y)是N(?2, ?22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。,例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為,（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X的邊緣概率密度,解:(1)由歸一性,,,,設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布， 求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度,x=y,x=-y,EX,四、隨機變量的相互獨立性,定義 稱隨機變量X與Y獨立，如果對任意實數(shù)a<b,c<d，有(p46)p{a<X?b,c<

47、Y?d}=p{a<X?b}p{c<Y?d} 即事件{a<X?b}與事件{c<Y?d}獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。,定理 隨機變量X與Y獨立的充分必要條件是(p46)F(x,y)=FX(x)FY(y),定理(p47) 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，X與Y獨立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4. (p47)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為Pi

48、,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i,j，Pi,j=Pi?P?j 。,由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每一對可能取值點,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可,EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨立,(p47例2.5.4)已知隨機變量(X,Y)的分布律為,且知X與Y獨立，求a、b的值。,(p47例2.5.5)甲

49、乙約定8:00?9:00在某地會面。設(shè)兩人都隨機地在這期間的任一時刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘過時不候。求兩人能見面的概率。,定義 設(shè)n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn), (X1,X2,…,Xn)的k（1?k<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2）的邊緣分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2)=F(x1,x2,??,?...?)若Xk 的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),

50、k=1,2,…,n,,五．n維隨機變量的邊緣分布與獨立性(p48),則稱X1,X2,...Xn 相互獨立，或稱(X1,X2,...Xn)是獨立的。,對于離散型隨機變量的情形，若對任意整數(shù)i1, i2, …, in及實數(shù) 有,則稱離散型隨機變量X1, X2, …, Xn相互獨立。,設(shè)X1，X2，…，Xn為n 個連續(xù)型隨機變量，若對任意的(x1, x2, …, xn)?Rn，

51、 f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨立。,定義 設(shè)n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...xn)；m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym組成的n+m維隨機變量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)

52、的分布函數(shù)為F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym)= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)則稱n維隨機變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)獨立。,定理 設(shè) (X1,,X2, …, Xn ) 與 (Y1, Y2,…, Ym ) 相互獨立，則Xi (i=1, 2, …, n))與Yi (i=1, 2, …,

53、m)相互獨立；又若h, g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,,X2, …, Xn)與g(Y1, Y2,…， Ym )相互獨立.,(p49)設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，X和Y的邊緣分布律分別為,2.8 條件分布一. 離散型隨機變量的條件分布律,為Y＝ yj的條件下，X的條件分布律;,若對固定的j, p.j>0, 則稱,同理，

54、對固定的i, pi. >0, 稱,為X＝ xi的條件下，Y的條件分布律;,EX.設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 連續(xù)型隨機變量的條件概率密度,定義(p50). 給定y，設(shè)對任意固定的正數(shù)?>0，極限,存在，則稱此極限為在Y=y條件下X的條件分

55、布函數(shù).記作,可證當(dāng) 時,若記 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3.3)知,當(dāng) 時， .,類似定義，當(dāng) 時,例2.已知(X,Y)的概率密度為,(1)求條件概率密度,(2)求條件概率,,,,,x,y,1,解:,=…p51,2.8 多維隨機變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機

56、變量函數(shù)的分布律,設(shè)二維離散型隨機變量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝y(tǒng)j)＝pij ，i, j＝1, 2, … 則 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, …,或,,,EX 設(shè)隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1 分布，其分布律均為 X 0 1 P q

57、 p (1) 求W＝X＋Y的分布律;(2) 求V＝max(X, Y)的分布律；(3) 求U＝min(X, Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。,,,0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,,,,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,二、多維隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般的方法：分布函數(shù)法(p56)

58、 若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn), (x1, x2, …, xn)?Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn), 則可先求Y的分布函數(shù):,然后再求出Y的密度函數(shù):,2、幾個常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝X＋Y的密度。,,,,,,,,,,,,,,,,,z

59、 x+y=z x+y? z,若X與Y相互獨立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù),例1. 設(shè)隨機變量X與Y獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。,一般地，設(shè)隨機變量X1, X2，..., Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 則,p58

60、,例2.卡車裝運水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從N(50,2.52)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過0.05.,解:設(shè)最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥的重量.則,由題意,令,查表得,(2)商的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝ 的密度。,,,,,,,,,,,,,,,,y G1

61、 0 x G2,特別，當(dāng)X，Y相互獨立時，上式可化為,其中fX(x), fY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。,3、極大(小)值的分布(p60) 設(shè)X1, X2, …, Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，記M＝max{X1, X2, …

62、, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn }則M和N的分布函數(shù)分別為：,FM(z)＝F1(z) … Fn(z),特別，當(dāng)X1, X2, …, Xn獨立同分布(分布函數(shù)相同)時，則有 FM(z)＝[F(z)]n; FN(z)＝1－[1－F(z)]n. 進(jìn)一步地，若X1, X2, …, Xn獨立且具相同的密度函數(shù)f (x)，則M和N

63、的密度函數(shù)分別由以下二式表出 fM(z)＝n[F(z)]n－1f (z)； fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f (z).,P60例 設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián)，(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為X與Y，已知它們的概率密度分別為,其中?>0，?>0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概