第十六章虛位移原理

1、第十六章 虛位移原理,系統(tǒng)的約束及其分類 虛位移及其計算,,,引 言,虛位移原理，是用分析的方法來研究任意質點系的平衡問題。這部分內容稱為分析靜力學。虛位移原理給出的平衡條件，對于任意質點系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決質點系平衡問題的普遍原理。同時，將虛位移原理和達朗伯原理相結合，可以導出動力學普遍方程和拉格朗日方程，從而得到求解質點系動力學問題的又一個普遍的方法。,限制質點系中各質點的位置和運動的條

2、件稱為約束。表示這些限制條件的表達式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其性質，約束可分以下類型：,一、幾何約束與運動約束,限制質點或質點系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。如：,約束類型及分類,,,幾何約束方程的一般形式為,不僅能限制質點系的位置，而且能限制質點系中各質點的速度的約束稱為運動約束。,為幾何約束方程。,為運動約束方程。,運動約束方程的一般形式為,二、定常約束與非定常約束,約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束。,約束條件隨時間

3、變化的約束稱為非定常約束。,其約束方程為,非定常約束方程的一般形式為,三、雙面約束與單面約束,同時限制質點某方向及相反方向運動的約束稱為雙面約束。,只能限制質點某方向的運動，而不能限制相反方向運動的約束稱為單面約束。其約束方程的一般形式為,四、完整約束與非完整約束,幾何約束或其約束方程能夠積分的運動約束稱為完整約束。,如果在約束方程中顯含坐標對時間的導數(shù)，并且不可以積分，這種約束稱為非完整約束。,本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題

4、。,一、虛位移的概念,在某瞬時，質點系在約束允許的條件下，可能實現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質點系的虛位移。如,虛位移原理,必須指出，虛位移和實位移都受約束的限制，是約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實位移是在一定的力作用下和給定的運動初始條件下，在一定的時間內發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虛位移純粹是一個幾何概念，它既不牽涉到系統(tǒng)的實際運動，也不涉及到力的作用，與時間過程和運動的初始條件無關，它一定是微小

5、值，在約束允許的條件下具有任意性。一個靜止的質點或質點系不會發(fā)生實位移，但可以有虛位移。在定常約束的情況下，微小實位移必定是虛位移中的一個。在非定常約束的情況下，實位移與虛位移沒有關系。,二、虛位移的計算,1、幾何法,這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實位移是虛位移中的一個。因此可以用求實位移的方法來求各質點虛位移之間的關系。這種方法又稱虛速度法。例如：,由于AB作平面運動，由速度投影定理,或者，由于 為AB的瞬心，故,由正弦定

6、理,同樣可得,2、解析法,解析法是利用對約束方程或坐標表達式進行變分以求出虛位移之間的關系。例如,對上式進行變分運算得,或者把 表示成 的函數(shù)，也可求出虛位移間的關系。,因為,作變分運算,所以,比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。,,如圖所示，設某質點受力 作用，并給該質點一個虛位移 ，則力 在虛位移 上所作的功稱為虛功，即,或,顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無窮小量。,如果在

7、質點系的任何虛位移中，所有的約束反力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束。其條件為,三、 虛位移原理,常見的理想約束有：,支承質點或剛體的光滑固定面、連接物體的光滑鉸鏈、連接兩個質點的無重剛桿、連接兩個質點不可伸縮的繩索、無滑動的滾動。,具有雙面、定常、理想約束的質點系，在某一位置處于平衡的、必要與充分條件是：所有作用于質點系上的主動力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于零。其數(shù)學表達式為,或,或用解析式表示為,以上三式稱為

8、虛功方程。虛位移原理也稱虛功原理。,一、求主動力之間的關系,例1 、 圖示機構中，已知OA=AB=l，， 如不計各構件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時主動力 與 的大小之間的關系。,解1：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有 、 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。,四、例題講解,將以上關系代入前式得,由于 ，于是得,AB作平面運動，瞬心在 點，則,亦可由速度投影定理求虛位移之間的關系：,由速度

9、投影定理,解2：解析法。建立如圖坐標。,由于,且,對上兩式作變分，得,即,由于 ，于是得,例2 圖示機構中，當曲柄OC繞軸擺動時，滑塊A沿曲柄自由滑動，從而帶動桿AB在鉛垂導槽K內移動。已知OC=a，OK=l，在C點垂直于曲柄作用一力Q，而在B點沿BA作用一力P。求機構平衡時，力P與Q的關系。,解1：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有P、Q 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。,其中,式中,故有,由于

10、，于是得,主動力作用點的坐標及其變分為,主動力在坐標方向上的投影為,解2 解析法:建立如圖坐標。,即,亦即,由于 ，于是得,解3：綜合法。,本題用解析法計算 力的虛功，用幾何法計算 力的虛功，此時虛功方程可以寫為,即,可得同樣的結果。,二、求系統(tǒng)的平衡位置,例3 圖示平面機構，兩桿長度相等。在B點掛有重W的重物。D、E兩點用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計各桿自重。求機構的平

11、衡位置。,解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如圖的坐標。,系統(tǒng)受力有主動力 ，以及非理想約束的彈性力 和 ，將其視為主動力。其彈性力的大小為,主動力作用點的坐標及其變分為,主動力在坐標方向上的投影為,即,亦即,因 ，故,將F代入，化簡得,三、求約束反力,例4 試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。,解：以梁為研究對象，解除B處約束，代之以相應的約束反力 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,

12、由虛位移原理有,由圖知,于是得,從而有,例題5. 多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。荷載分布如圖示.P=50KN，均布荷載q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的約束反力。,解: 解除支座A的約束,代之約束反力RA,畫虛位移圖如下. 其中Q1=24KN, Q2=24KN.,,??1,??2,?rA,?rC,,B是AC桿的瞬心.,E是CE桿的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC = (BC)??1 = (CE)??2,

13、??1 = 2??2,,,,,B,,E,,?W(RA) =6 RA??1,?W(P) = -150??1,6RA??1-150??1+72??1+216??2 - 36??2 = 0,RA = -2KN,?W(Q1) =72??1,?W(Q2) = 216??2,?W(m) = - 36??2,由虛位移原理得:,利用虛位移圖計算虛功,解除支座B的約束,代之約束反力RB ,畫虛位移圖.,,E是CE桿的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC =

14、 (AC)??1 = (CE)??2,??1 = ??2 = ??,,,?rC,??1,??2,,RB,,,,E,?W(P) =150??1,由虛位移原理得:,RB = 91 KN,?W(RB) = - 6RB??1,?W(Q1) = 216??1,?W(Q2) = 216??2,?W(m) = - 36??2,-6RB??1+150??1+216??1+216??2 -36??2 = 0,利用虛位移圖計算虛功,,,,?rC,??1,

15、??2,,RB,,,,E,解除支座E的約束,代之約束反力RE畫虛位移圖.,,?rE,利用虛位移圖計算虛功,?W(RE) = 12RE??,?W(m) = -36??,?W(Q2) = -72??,由虛位移原理得:,12RE ?? - 72?? - 36?? = 0,RE = 9 KN,,RE,,??,例6 圖示多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知： , ,

16、 , 長度單位為m。,解：（1）求A端約束反力偶矩。,以梁為研究對象，解除A處限制轉動的約束，代之以相應的約束反力偶矩 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,由幾何關系得,于是得,故有,（2）求A處鉛垂反力,解除A處鉛垂的約束，代之以相應的約束反力Y，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,于是有,由幾何關系得,故有,例7 ： 求圖示靜定剛架支座D處的水平反力。,解：以剛架為研究對象

17、，解除D處的水平約束，代之以相應的約束反力 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,于是支座D的水平反力為,故,于是有,由運動學關系,四、求桁架桿件及組合結構的軸力,例8：求圖示桁架桿1和桿2的軸力。,解：以桁架為研究對象，解除1桿的約束，代之以相應的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有:,由幾何關系得,于是得,,解除2桿的約束，代之以相應的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛

18、位移，如圖所示。,由虛位移原理有,由幾何關系得,于是得,例9. 組合構架如圖所示。已知P=10KN，不計構件自重,求1桿的內力。,解:截斷1桿代之內力S1和S‘1且S1= S’1 =S，畫虛位移圖。,,?rC,,,??1,??2,,,B為BC的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC = (AC)??1 = (BC)??2,??1 = ??2 = ??,B,,,S1,S´1,,利用虛位移圖求虛功,?W(S'1) = -