以二次函數(shù)為基架的壓軸題解題通法研究及典型題剖析

1、1第十五講第十五講20162016年中考重點(diǎn)題目預(yù)測（三）年中考重點(diǎn)題目預(yù)測（三）以二次函數(shù)為基架的壓軸題解題通法研究及典型題剖析二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學(xué)競賽中也有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽等地的中考和外地招生考試中都有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)

2、。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。一、常見的類型及破題策略一、常見的類型及破題策略1.求證“兩線段相等”的問題：求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點(diǎn)坐標(biāo)用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距離”，還是“點(diǎn)線距離”，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到x軸（y

3、軸）的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進(jìn)行化簡，即可證得兩線段相等。2.“平行于“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點(diǎn)的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向

4、下的二次函下上yy數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段長度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。3求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題：求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題：先用點(diǎn)斜式（或稱K點(diǎn)法）求出過已知點(diǎn)，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可。4“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題：（方法1）先求出定直線的斜

5、率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關(guān)于x的的一元二次方程，由題有△=4ac=0（因為該2b直線與拋物線相切，只有一個交點(diǎn)，所以4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線2b解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計算該切點(diǎn)到定直

6、線的距離，即為最大距離。（方法2）該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出其最大距離。（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)該導(dǎo)數(shù)等于定直線的斜率時，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)即為符合題意的點(diǎn)，其最大距離運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可以輕松求出。5.5.常數(shù)問題：常數(shù)問題：（1）點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個

7、固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動點(diǎn)坐標(biāo)用一個字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。（2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點(diǎn)（其坐標(biāo)需用一個字母表示）到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程

8、，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。6.6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點(diǎn)中的任一個定點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對稱點(diǎn)和另一個定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長度〈應(yīng)用

9、兩點(diǎn)間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法）。7.三角形周長的“最值三角形周長的“最值(最大值或最小值最大值或最小值)”問題：”問題：“在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點(diǎn)間距離公式計算），只需另兩邊的和最小即可。8.8.三角形面積

10、的最大值問題：三角形面積的最大值問題：1“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面３的方法，求出拋物線上的動點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底高。即可求出該三角形面積21的最大值，同時在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。（方法2）過動點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點(diǎn)，從而把動三角

11、形分割成兩個基本模型的三角形，動點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求）（）（左（定）右（定）下（動）上（動）動三角形xxySy21??出最大值。2“三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組

12、平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為3二、常用公式或結(jié)論二、常用公式或結(jié)論———破解函數(shù)難題的基石破解函數(shù)難題的基石1.橫線段的長=橫標(biāo)之差的絕對值==小大xx左右xx縱線段的長=縱標(biāo)之差的絕對值==小大yy下上yy（2）點(diǎn)軸距離：點(diǎn)P（，）到X軸的距離為，到Y(jié)軸的距離為。0x0y0yox（3）兩點(diǎn)間的距離公式：若A（）B()則AB=11xy22xy221212()()xxyy???（4）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)

13、P（）到直線AxByC=0(其中常數(shù)ABC最好化為整系數(shù)，也方便計算)的距離為：00xy或2200BACByAxd????22001kbykxd????)0(?????bykxbkxy即（5）中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若A()，B（），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）11xy22xy121222xxyy??（6）直線的斜率公式：若A（），B（），則直線AB的斜率為：11xy22xy12xx?1212=AByykxx????1212AByxxxx??注：當(dāng)

14、時，直線與軸平行，斜率不存在（7）兩直線平行的結(jié)論：已知直線111222::lykxblykxb????①若②若2121kkll??∥212121llbbkk∥且???（8）兩直線垂直的結(jié)論：已知直線111222::lykxblykxb????①若②若1212.1llkk????1212.1.kkll????（9）由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論：①已知點(diǎn)的坐標(biāo)或線段的長度中若含有、等敏感數(shù)字信息，那很可能有特殊角出現(xiàn)。23②在拋物線的解析式

15、求出后，要高度關(guān)注交點(diǎn)三角形和頂點(diǎn)三角形的形狀，若有特殊角出現(xiàn)，那很多問題就好解決。③還要高度關(guān)注已知或求出的直線解析式中的斜率k的值，若，則直線與X軸的夾角33??k為；若；則直線與X軸的夾角為；若，則直線與X軸的夾角為。?301??k?453??k?60這對計算線段長度或或點(diǎn)的坐標(biāo)或三角形相似等問題創(chuàng)造條件。三、中考二次函數(shù)壓軸題分析、中考二次函數(shù)壓軸題分析例1如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c（c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

16、的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且OB＝OC＝3點(diǎn)E為線段BD上的一個動點(diǎn)，EF⊥x軸于F（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)∠CEF＝∠ABD時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)E，使△ECF為直角三角形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）∵OB＝OC＝3，c＜0，∴B（3，0），C（0，－3）∴y＝x2＋bx－3，把B（3，0）代入得：0＝9＋3b－3，∴b＝－2∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3（2）作DG⊥x軸