2第十八講競(jìng)賽講座-覆蓋

1、第十八講第十八講覆蓋覆蓋一個(gè)半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個(gè)半徑為的圓的反過(guò)來(lái)則不然，一個(gè)半徑為的圓無(wú)法蓋住單位圓那么兩個(gè)半徑為的圓能否蓋住呢？不妨動(dòng)手實(shí)驗(yàn)一下，不行為什么不行？需幾個(gè)這樣的小圓方能蓋住大圓？……，這里我們討論的就是覆蓋問(wèn)題，它是我們經(jīng)常遇到的一類(lèi)有趣而又困難的問(wèn)題定義設(shè)Ｇ和Ｆ是兩個(gè)平面圖形如果圖形Ｆ或由圖形Ｆ經(jīng)過(guò)有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)等變換扣得到的大小形狀不變的圖形Ｆ′上的每一點(diǎn)都在圖形Ｇ上我們就說(shuō)圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ

2、；反之，如果圖形Ｆ或Ｆ′上至少存在一點(diǎn)不在Ｇ上，我們就說(shuō)圖形Ｇ不能覆蓋圖形Ｆ關(guān)于圖形覆蓋，下述性質(zhì)是十分明顯的：（１）圖形Ｇ覆蓋自身；（２）圖形Ｇ覆蓋圖形Ｅ，圖形Ｅ覆蓋圖形Ｆ，則圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ１最簡(jiǎn)單情形――用一個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：定理１如果能在圖形Ｆ所在平面上找到一點(diǎn)Ｏ，使得圖形Ｆ中的每一點(diǎn)與Ｏ的距離都不大于定長(zhǎng)ｒ，則Ｆ可被一半徑為ｒ的圓所覆蓋定理２對(duì)于二定點(diǎn)Ａ、Ｂ及定角α若圖形Ｆ中的每點(diǎn)都在ＡＢ同

3、側(cè)，且對(duì)Ａ、Ｂ視角不小于α，則圖形Ｆ被以ＡＢ為弦，對(duì)ＡＢ視角等于α的弓形Ｇ所覆蓋在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問(wèn)題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛例１求證：（１）周長(zhǎng)為２ｌ的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋（２）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長(zhǎng)是２ｌ，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋分析（１）關(guān)鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)疊合例２△ABC的最大邊長(zhǎng)是ａ，則這個(gè)三角形可

4、被一半徑為的圓所覆蓋分析ａ為最大邊，所對(duì)角A滿(mǎn)足６０≤A＜１８０證明不妨設(shè)BC＝ａ，以BC為弦，在A點(diǎn)所在一側(cè)作含60角的弓形?。▓D４５－３）因６０≤A≤180，故根據(jù)定理２，△ABC可被該弓形所覆蓋由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑ｒ＝，所以△ABC可被半徑為的圓所覆蓋顯然覆蓋△ABC的圓有無(wú)窮多個(gè)，那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實(shí)并不盡然例３△ＡＢＣ的最大邊BC等于ａ，試求出覆蓋△ABC的最小圓解分三種情形進(jìn)行討論：（１）∠Ａ為鈍角，