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1、第十八講等腰三角形,一、等腰三角形的判定與性質(zhì)1.判定:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也_____(簡(jiǎn)寫為“___________”).,相等,等角對(duì)等邊,2.性質(zhì):(1)等腰三角形的兩個(gè)底角_____(簡(jiǎn)寫為“___________”).(2)等腰三角形頂角的_______、底邊上的高和底邊上的_____互相重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).(3)等腰三角形是_______圖形,底邊上的中線(或底邊上的高或
2、頂角的平分線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.,相等,等邊對(duì)等角,平分線,中線,軸對(duì)稱,二、等邊三角形的判定與性質(zhì)1.判定:(1)三個(gè)角_______的三角形是等邊三角形.(2)有一個(gè)角等于60°的_____三角形是等邊三角形.2.性質(zhì):(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都_____,并且每一個(gè)角都等于______.(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,并且有___條對(duì)稱軸.,都相等,等腰,60°,三,相等,三、線段的垂直平分
3、線1.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_____.2.判定:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的___________上.,相等,垂直平分線,【思維診斷】(打“√”或“×”)1.等腰三角形一定有兩個(gè)角相等. ( )2.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形. ( )3.等腰三角形的一個(gè)底角是鈍角. ( )4.等腰三角形兩腰上的高相等. ( )5.等腰三角形的高、中線與角平分
4、線互相重合. ( )6.等邊三角形的每個(gè)角都等于60°. ( )7.MN是過線段AB中點(diǎn)的直線,點(diǎn)P在MN上,則PA=PB. ( ),√,√,×,√,×,√,×,熱點(diǎn)考向一 等腰三角形的性質(zhì)與判定 【例1】(2013·荊門中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上.(1)求證:BE=CE.(2)若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且B
5、F⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其他條件不變.求證:△AEF≌△BCF.,【思路點(diǎn)撥】(1)等腰三角形三線合一→∠BAE=∠CAE→△ABE≌△ACE→得證(2)證△ABF為等腰直角三角形→AF=BF→證∠EAF=∠CBF→得證,【自主解答】(1)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,AE=AE,∴△ABE≌△ACE,∴BE=C
6、E.,(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,∴△ABF為等腰直角三角形,∴AF=BF.由(1)知AD⊥BC,∴∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°,∠EAF=∠CBF,∴△AEF≌△BCF.,【規(guī)律方法】等腰三角形常用的“兩種判別方法”1.需證明三角形的兩邊相等.2.證明有兩個(gè)角相等,用等角對(duì)等邊判別.,【真題專練】1.(2014·鹽城中考)
7、若等腰三角形的頂角為40°,則它的底角度數(shù)為 ( )A.40°B.50°C.60°D.70°【解析】選D.因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等,又因?yàn)轫斀鞘?0°,所以其底角為 .,2.(2014·玉林、防城港中考)在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,則AB邊的取值范圍是 ( )A.1cm<AB<4cm
8、B.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm【解析】選B.∵在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,∴設(shè)AB=AC=xcm,則BC=(20-2x)cm,∴解得5cm<x<10cm.,2x>20-2x,20-2x>0,,,3.(2014·呼和浩特中考)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°,則該等腰三角形的底
9、角的度數(shù)為 .【解析】如圖分兩種情況:①若三角形為銳角三角形,則底角的度數(shù)為63°;②若三角形為鈍角三角形,則底角為27°.答案:63°或27°,4.(2014·泰安中考)如圖,∠ABC=90°,D,E分別在BC,AC上,AD⊥DE,且AD=DE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn),F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.(1)求證:∠FMC=∠FCM.(2)AD與MC垂直嗎?并說明理由.,
10、【解析】(1)∵△ADE是等腰三角形,F(xiàn)是AE的中點(diǎn),∴DF⊥AE,DF=AF=EF,又∵∠ABC=90°,∠DCF,∠AMF都與∠MAC互余,∴∠DCF=∠AMF,又∵∠DFC=∠AFM=90°,∴△DFC≌△AFM,∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM.,(2)AD⊥MC,理由是:由(1)知∠MFC=90°,F(xiàn)D=FE,F(xiàn)M=FC,∴∠FDE=∠FMC=45°,∴DE∥CM,又
11、∵AD⊥DE,∴AD⊥MC.,熱點(diǎn)考向二 等邊三角形的性質(zhì)與判定 【例2】(2014·溫州中考)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù).(2)若CD=2,求DF的長(zhǎng).,【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.(2)易證△EDC是等邊三角形,再根據(jù)直角三角形
12、的性質(zhì)即可求解.,【自主解答】(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30°.,(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等邊三角形,∴ED=DC=2,∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.,【
13、規(guī)律方法】活用等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形,解題時(shí),要靈活運(yùn)用下列性質(zhì):(1)三條邊相等.(2)三個(gè)角相等,并且都等于60°.(3)是軸對(duì)稱圖形,并且有三條對(duì)稱軸.(4)具有“等邊對(duì)等角”及“三線合一”的性質(zhì).,【真題專練】1.(2013·黔西南中考)如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E= 度.,【解析】∵△ABC是等邊三角形,∴∠AC
14、B=60°,∠ACD=120°.∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∠FDE=150°.∵DF=DE,∴∠E=15°.答案:15,2.(2014·益陽(yáng)中考)如圖,將等邊△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使邊AB與AC重合得△ACD,BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,則∠EAF的度數(shù)是 .【解析】∵△ABC是等邊三角形,E是BC的中點(diǎn),∴∠CAE=30°.根
15、據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),知∠CAE=∠DAF=30°,∴∠CAF=30°,∴∠EAF=60°.答案:60°,【方法技巧】判定等邊三角形的方法(1)根據(jù)定義:有三條邊相等的三角形是等邊三角形.(2)根據(jù)判定定理:①有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形;②三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.,3.(2012·瀘州中考)如圖,△ABC是等邊三角形,D是AB邊上一點(diǎn),以CD為邊作等
16、邊三角形CDE,使點(diǎn)E,A在直線DC的同側(cè),連接AE.求證:AE∥BC.,【解題指南】先證明∠BCD=∠ACE,再根據(jù)SAS證明△DBC≌△EAC,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行證明AE∥BC.,【證明】∵△ABC和△EDC是等邊三角形,∴∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,∴△DBC≌△EAC(
17、S.A.S.),∴∠DBC=∠EAC.又∵∠DBC=∠ACB=60°,∴∠ACB=∠EAC,∴AE∥BC.,熱點(diǎn)考向三 線段垂直平分線的性質(zhì)與判定 【例3】(2013·泰州中考)如圖,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D,則△ABD的周長(zhǎng)為 cm.,【思路點(diǎn)撥】由BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D知BD=CD,所以AD+BD=AD+CD=AC.【自主解答】∵B
18、C的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D,∴BD=DC,∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+AC=6cm.答案:6,【規(guī)律方法】線段垂直平分線的應(yīng)用特征1.線段垂直平分線中的兩組線段相等:(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)被垂直平分的線段,被分為兩條相等的線段.2.當(dāng)出現(xiàn)“垂直平分”字眼或題目中有垂直,且垂足是中點(diǎn)時(shí),要聯(lián)想到線段垂直平分線的性質(zhì).,【真題專練】1.(2013·仙桃中考)如圖,在△ABC中,A
19、B=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長(zhǎng)為 ( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm,【解析】選C.連接MA,NA.∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C.∵∠BAC=120
20、176;,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN是等邊三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC,∴MN= BC=2cm.,2.(2014·賀州中考)如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,則∠A的度數(shù)是 .,【解析】∵M(jìn)N是AB的垂直平分線,∴AD=BD,∴
21、∠A=∠ABD,∵∠DBC=15°,∴∠ABC=∠A+15°,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=∠A+15°,∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,解得∠A=50°.答案:50°,【知識(shí)歸納】線段垂直平分線的兩個(gè)條件線段的垂直平分線必須滿足兩個(gè)條件:①經(jīng)過線段的中點(diǎn);②垂直于線段.這兩個(gè)條件缺一不可.,3.(2014·白銀中考
22、)如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.(1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE,交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明).(2)連接BD,求證:BD平分∠CBA.,【解析】(1)如圖所示,DE就是要求作的AB邊上的垂直平分線.(2)∵DE是AB邊上的垂直平分線,∠A=30°∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°.∵∠C=90°,,∴∠AB
23、C=90°-∠A=90°-30°=60°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.∴∠ABD=∠CBD,即BD平分∠CBA.,【知識(shí)歸納】線段垂直平分線與角平分線的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系:1.都有“平分、距離相等”的特點(diǎn).2.線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸;角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸.區(qū)別:線段的垂直平分線是一條直線;角平分線是一條射線.,命題
24、新視角 坐標(biāo)系中的等腰三角形【例】(2013·昆明中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,3),在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使得△AOP是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P共有 個(gè).,【審題視點(diǎn)】,【自主解答】如圖所示,使得△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P共有8個(gè).答案:8,【規(guī)律方法】抓住關(guān)鍵,尋找第三個(gè)頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中尋找等腰三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)鍵:1.底邊垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,由此尋找等腰三角形底邊所對(duì)
25、的頂點(diǎn).2.以頂點(diǎn)為圓心,以腰長(zhǎng)為半徑畫圓,尋找底邊的另一個(gè)端點(diǎn).,【真題專練】1.(2013·萊蕪中考)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, ),M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn),且使得△MOA為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為 ( )A.4B.5C.6D.8,【解析】選C.連接OA,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, ),O為原點(diǎn),所以O(shè)A=2,以O(shè)為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí),則以點(diǎn)O為圓心,2為半徑畫圓
26、,則☉O與坐標(biāo)軸共有4個(gè)交點(diǎn);以A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí),則以點(diǎn)A為圓心,2為半徑畫圓,則☉A只與x軸正半軸,y軸正半軸相交,有2個(gè)交點(diǎn),其中與x軸正半軸的交點(diǎn)與以O(shè)為圓心,以2為半徑的圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)重合;以M為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí),則作OA的垂直平分線交y軸于一點(diǎn),交x軸于一點(diǎn),其中與x軸的交點(diǎn)與上述重合.綜上,故滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為6.,2.(2013·玉林中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),已知A
27、(4,3),P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),若以O(shè),A,P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)P共有 個(gè),寫出其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .,【解析】如圖所示,滿足條件的點(diǎn)P有8個(gè).分別為(5,0)(8,0)(0,5)(0,6)(-5,0)(0,-5) .答案:8 (5,0)(答案不唯一,寫出8個(gè)中的一個(gè)即可),3.(2013·涼山中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐
28、標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .,【解析】由題意,當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),有三種情況:(1)如答圖①所示,PD=OD=5,點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè).過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得 ∴OE=OD-DE=5-3=2,∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,4).,(2
29、)如答圖②所示,OP=OD=5.過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理,得 ,∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,4).,(3)如答圖③所示,PD=OD=5,點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè).過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得 ,∴OE=OD+DE=5+3=8,∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(8,4).綜上所
30、述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,4)或(3,4)或(8,4).答案:(2,4)或(3,4)或(8,4),【易錯(cuò)提醒】注意分類討論思想在幾何問題中的應(yīng)用.本題符合題意的等腰三角形有三種情形,注意不要遺漏.,【典例】(2012·龍東中考)等腰三角形一腰長(zhǎng)為5,一邊上的高為3,則底邊長(zhǎng)為 .,【誤區(qū)警示】,【規(guī)避策略】(1)確定底和腰.當(dāng)已知等腰三角形的兩邊時(shí),要先確定哪條邊作腰或底邊,分情況進(jìn)行討論.(2)注意高的位置.當(dāng)?shù)妊?/p>
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