用空間向量解立體幾何問題方法歸納

1、用空間向量 空間向量解立體幾何 立體幾何題型與方法 題型與方法 平行垂直問題基礎(chǔ)知識(shí) 直線 l 的方向向量為 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β 的法向量 u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)線面平行：l∥α?a⊥u?a· u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3 (3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4

2、，b3＝kb4，c3＝kc4 (4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u· v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例 1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐 P- ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F(xiàn) 分別是 PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求證：EF∥平面 PAB； (2)求證：平面 PAD⊥平面 PDC. [證明] 以 A 為原點(diǎn)，AB，AD，AP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)

3、系如圖所示，則 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E? ? ?? ? ? 1 2，1，12 ，F(xiàn)? ? ?? ? ? 0，1，12 ，EF ＝? ? ?? ? ? －12，0，0 ，PB ＝(1,0， －1)，PD ＝(0,2， －1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． (1)因?yàn)?EF ＝－12 AB ，所以

4、 EF ∥ AB ，即 EF∥AB. 又 AB?平面 PAB，EF?平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB. (2)因?yàn)?AP · DC ＝(0,0,1)· (1,0,0)＝0， AD · DC ＝(0,2,0)· (1,0,0)＝0， 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP⊥DC，AD⊥DC. 又 AP∩AD＝A， AP?平面 PAD， AD?平面 PAD， 所以 DC⊥平面 PA

5、D.因?yàn)?DC?平面 PDC，所以平面 PAD⊥平面 PDC. 使用空間向量方法證明線面平行時(shí)， 既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行， 然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行， 也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直. 例 2、在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，∠ABC＝90° ，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)

6、E 在線段 BB1 上， 且 EB1＝1，D，F(xiàn)，G 分別為 CC1，C1B1，C1A1 的中點(diǎn)． 求證：(1)B1D⊥平面 ABD； (2)平面 EGF∥平面 ABD. (0,2,4)，所以 n1· AD ＝0，n1· 1 AC ＝0，即 x＋y＝0 且 y＋2z＝0，取 z＝1，得 x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面 ADC1 的一個(gè)法向量．取平面 ABA1 的一個(gè)法向量為 n2＝(0,1,0)

7、．設(shè)平面 ADC1 與平面 ABA1 所成二面角的大小為 θ. 由|cos θ|＝? ? ?? ? ? n1· n2|n1||n2| ＝ 29× 1＝23，得 sin θ＝ 53 . 因此，平面 ADC1 與平面 ABA1 所成二面角的正弦值為 53 . 例 2、如圖，三棱柱 ABC- A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60° . (1)證明：AB⊥A1C； (2)若平面 ABC⊥平面

8、 AA1B1B，AB＝CB，求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值． [解] (1)證明：取 AB 的中點(diǎn) O，連接 OC，OA1，A1B. 因?yàn)?CA＝CB，所以 OC⊥AB. 由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60° ，故△AA1B 為等邊三角形，所以 OA1⊥AB. 因?yàn)?OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C，故 AB⊥A1C. (2)由(1)知 OC⊥AB，OA1⊥AB

9、.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交線為 AB， 所以 OC⊥平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 兩兩相互垂直． 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)?x 軸的正方向，|OA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O- xyz. 由題設(shè)知 A(1,0,0)，A1(0， 3，0)，C(0,0， 3)，B(－1,0,0)． 則 BC ＝(1,0， 3)， 1 BB ＝ 1 AA ＝(－1， 3，0)， 1 A C ＝(0，－

10、3， 3)． 設(shè) n＝(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量， 則? ? ? ? ?n· BC ＝0，n· 1 BB ＝0. 即? ? ? ? ?x＋ 3z＝0，－x＋ 3y＝0.可取 n＝( 3，1，－1)． 故 n， 1 A C ＝n· 1 A C|n|| 1 A C |＝－ 105 . 所以 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為 105 . (1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟