立體幾何——二面角問題方法歸納

1、二面角的求法二面角的求法一、一、定義法：定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1（全國卷（全國卷Ⅰ理）理）如圖，四棱錐SABCD?中，底面ABCD為矩形，SD?底面ABCD，2AD?2DCSD??，點M在側(cè)棱SC上，ABM?=60（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點（II）求二面角SAM

2、B??的大小。練習練習1（山東（山東）如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BCPC的中點.（Ⅰ）證明：AE⊥PD（Ⅱ）若H為PD上的動點，60ABC???EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.62二、三垂線法二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大

3、小。例2(山東卷理山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB=4BC=CD=2AA1=2E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點。(1)證明：直線EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值。練習練習2（天津）（天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形ABCDP?ABCD已知?6022223??????PABPDPAADAB（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；?ADP

4、ABPCAD（Ⅲ）求二面角的大小ABDP??三補棱法三補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例3（湖南）（湖南）如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB（Ⅱ

5、）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.練習練習3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC。（1）求證：AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1與平面ABC所成的二面角（銳角）的大小。ABCEDPEABCFE1A1B1C1D1D二面角大小的求法的歸類分析二面角大小的求法的歸類分析一、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點）一、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），

6、分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；圖形的特性；例1在四棱錐PABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角BPC—D的大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面二、三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的

7、平面角；角；例2在四棱錐PABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30，求二面角PBCA的大小。三、三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3在四棱錐PABC

8、D中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求BPCD的大小。四、射影面積法（四、射影面積法（）cossSq=射射凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小，其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；斜射SS???例4在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。五