高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題二面角典型例題解法總結(jié)

1、二面角的求法二面角的求法一、一、定義法：定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、

2、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐SABCD?中，底面ABCD為矩形，SD?底面ABCD，2AD?2DCSD??，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM?=60（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II）求二面角SAMB??的大小。證（I）略解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點(diǎn)B作BFAM?交AM于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，過F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)

3、作GFAM?，GF交AS于G，連結(jié)AC，∵△ADC≌△ADS，∴ASAC，且M是SC的中點(diǎn)，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F為AM的中點(diǎn)，∴GF是△AMS的中位線，點(diǎn)G是AS的中點(diǎn)。則GFB?即為所求二面角.∵，則，2?SM22?GF又∵，∴，∵，∴△是等邊三角形，∴6??ACSA2?AM2??ABAM060??ABMABM。在△中，，，，∴3?BFGAB26?AG2?AB090??GAB211423???BG366232

4、222113212cos222??????????????FBGFBGFBGFBFG∴二面角SAMB??的大小為)36arccos(?FGFG22122222OP????在Rt△OPF中22114322BPOPOB?????272cos7142OPOPBBP????所以二面角BFC1C的余弦值為77.練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知ABCDP?ABCD?6022223??????PABPDPAADAB（Ⅰ）證明平面；?ADPAB（

5、Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；PCAD（Ⅲ）求二面角的大小ABDP??分析分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)P就是二面角PBDA的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的ABDP??大小為）439arctan三補(bǔ)棱法三補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平

6、面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例3如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯