高中數(shù)學(xué)立體幾何說題稿

1、南海區(qū)高中數(shù)學(xué)教師說題比賽立體幾何第南海區(qū)高中數(shù)學(xué)教師說題比賽立體幾何第1題說題稿題說題稿南海區(qū)獅山高級(jí)中學(xué)南海區(qū)獅山高級(jí)中學(xué)題目：題目：如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，PABCD?ABCD60DAB???PAPD?，，，分別是，的中點(diǎn)。2?2PB?EFBCPC（1）證明：平面；AD?DEF（2）求二面角的余弦值。PADB??本題是2011年廣東高考理科數(shù)學(xué)第18題，可以用傳統(tǒng)幾何方法進(jìn)行推理求解，亦可以用向量坐標(biāo)法進(jìn)行計(jì)算。下面

2、從4各方面進(jìn)行分析。一、題目考查的目標(biāo)與難度1、考查目標(biāo)：本題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)甚廣，包括等腰三角形、等邊三角形、菱形的性質(zhì)；勾股定理；余弦定理；中位線定理；三角形的中線長公式；線線平行、線線垂直；線面垂直；面面平行；二面角的概念與計(jì)算；空間直角坐標(biāo)系；點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；向量的垂直、平行、數(shù)量積；法向量?？疾榱怂婕爸R(shí)點(diǎn)的概念理解、原理應(yīng)用能力；邏輯推理能力；基本運(yùn)算能力；化歸的數(shù)學(xué)思想。2、難度分析：本題對(duì)于我校理科學(xué)生來說應(yīng)該算是偏難的

3、題目。理由是：若用幾何法，在證明垂直過程前要先作若干條輔助線，學(xué)生容易混亂；用坐標(biāo)法，學(xué)生難以入手，因?yàn)橥局袥]有明顯的“三條兩兩互相垂直的直線”二、解題分析1、題意分析：（1）是邊長為1的菱形——菱形具有對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，為能建立空間直ABCD角坐標(biāo)系創(chuàng)造條件。（2）——能結(jié)合菱形的性質(zhì)，得出90角，找出“垂直關(guān)系”???60DAB（3）——產(chǎn)生等腰三角形，底邊上中線與底邊垂直。2??PDPA（4）——實(shí)際上的長度只影響了二面角的大

4、小，對(duì)解題思路影響不大；若2?PBPB用坐標(biāo)向量法，給PB長度，以便求P坐標(biāo)；（5），分別是，的中點(diǎn)——兩EFBCPC個(gè)中點(diǎn)，考慮到中位線性質(zhì)。（1）對(duì)于立體幾何，強(qiáng)調(diào)抓住兩個(gè)基本圖形：三角形、三棱錐。三角形是最簡單也是最基本的平面多邊形（中位線，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形），所有其他多邊形均可轉(zhuǎn)化為三角形，同樣三棱錐也是最基本的空間幾何體。（2）解題過程中，多思考，多小結(jié)。比如說在本題中，我們可以歸納證明兩條直線垂直的方法有哪

5、些，輔助線的作法有哪些？（3）任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都離不開條件跟結(jié)論，解題時(shí)多想想“已知條件有何用，所求結(jié)論怎么得”以及他們之間的關(guān)系。相信，堅(jiān)持做下去，學(xué)生的解立體幾何能力必然會(huì)提升。四、評(píng)價(jià)與推廣1、題目價(jià)值個(gè)人覺得作為一個(gè)例題，這是一道很好的立體幾何題。因?yàn)楸绢}從基本圖形出發(fā)，通過數(shù)據(jù)的分析處理，利用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，很好地鞏固學(xué)生對(duì)基本概念的理解，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力；又注重了理科解決立體幾何問題的兩種方法。但作為高考題，本題的

6、第一問入手偏難，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生失分較多，影響學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。2、題目推廣如果作為高三復(fù)習(xí)題，可以做以下的變式嘗試（1）在相同的條件下，求二面角（鞏固二面角的求法）ABCP??（1）在相同的條件下，求錐體的體積或求點(diǎn)D到平面PBC的距離（體積問題，ABCDP?等積法）（2）令，其余條件不變，問當(dāng)取何值是錐體的體積最大（運(yùn)動(dòng)變化，aPB?aABCDP?最值問題）參考資料：1、楊華《2011廣東立體幾何體引起的思考》（《中學(xué)數(shù)學(xué)》2011