高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面角典型例題求法總結(jié)

1、1線面角的求法線面角的求法1直接法直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1（如圖1）四面體ABCS中，SASBSC兩兩垂直，∠SBA=45∠SBC=60M為AB的中點，求（1）BC與平面SAB所成的角。（2）SC與平面ABC所成的角。BMHSCA解:（1）∵SC⊥SBSC⊥SA圖1∴SC

2、⊥平面SAB故SB是斜線BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60。（2）連結(jié)SMCM，則SM⊥AB又∵SC⊥AB∴AB⊥平面SCM∴面ABC⊥面SCM過S作SH⊥CM于H則SH⊥平面ABC∴CH即為SC在面ABC內(nèi)的射影。∠SCH為SC與平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC與平面ABC所成的角的正弦值為√7／7（“垂線”是相對的，SC是面SAB的垂線，又是面ABC的斜線.作面的垂線常根據(jù)面

3、面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2.利用公式利用公式sinθ=hθ=h／ι其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，ι是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2（如圖2）長方體ABCDA1B1C1D1AB=3BC=2A1A=4，求AB與面AB1C1D所成的角。A1C1D1H4CB123B

4、AD3ODACB解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC內(nèi)的射影在∠BOC的平分線OD上，則∠AOD即為OA與面OBC所成的角，可知∠DOC=30cos∠AOC=cos∠AODcos∠DOC，∴cos60=cos∠AODcos30∴cos∠AOD=√3／3∴OA與面OBC所成的角的余弦值為√3／3。2例題分析：例題分析：例1如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內(nèi)的一條直線，AB?BAOO??BC?，求斜線和平面所成角。6045

5、ABCOBC??????AB?解：∵，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角，AO??ABO?AB?又∵，12coscoscos?????∴，coscos60122coscoscos45222ABCABOCBO??????????∴，即斜線和平面所成角為45BAO???AB?45?例2如圖，在正方體中，求面對角線與對角面所成的角。1AC1AB11BBDD〖解〗（法一）連結(jié)與交于，連結(jié)，11AC11BDOOB∵，，∴平面，111DDAC

6、?1111BDAC?1AO?11BBDD∴是與對角面所成的角，1ABO?1AB11BBDD在中，，∴1RtABO?1112AOAB?130ABO???（法二）由法一得是與對角面所成的角，1ABO?1AB11BBDD又∵，，112coscos452ABB????116cos3BBBBOBO???∴，∴11112cos32coscos263ABBABOBBO??????130ABO???說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的