求二面角的基本方法

1、<p><b>　　求二面角的基本方法</b></p><p>　　——定義法與法向量法</p><p>　　一、 在所給立體圖形中直接尋找：看是否有二面角的平面角；尋找平面角的主要依據(jù)是根據(jù)二面角的平面角的主要特征——頂點在棱上，角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)且都與棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。</p><p>　　例1 如圖1,在三

2、棱錐S—ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).</p><p>　　解析 由于SB＝BC,且E是SC的中點,因此BE是等腰三角形</p><p>　　SBC底邊SC的中線,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,</p><p>

3、　　∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.</p><p>　　又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.</p><p>　　而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.</p><p>　　∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,</p><p>　　∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC是所求的二面角的平面角.</p

4、><p>　　∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.設(shè)SA＝a,</p><p>　　又因為AB⊥BC, </p><p>　　∴∠ACS＝30.又DE⊥SC, 所以∠EDC＝60°即所求的二面角等于60°.</p><p>　　二．根據(jù)定義作出平面角：主要有兩種作法，一是對于具有某種對稱性立體圖形，可以考慮利用定義

5、，在棱上選擇一點作棱的垂面，與兩個半平面的交線所構(gòu)成的角即為平面角；二是在其中一個半平面內(nèi)選擇一點向另一個半平面引垂線（垂足為），過向棱引垂線（垂足為），由三垂線定理可知，則即為平面角（或其補角）。</p><p>　　例2 如圖2，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、．將沿折起到的位置，使點在平面上的射影恰是線段BC的中點M．求：二面角</p><p&g

6、t;<b>　　的大小。</b></p><p>　　解析 連接AM，A1G，∵G是正三角形ABC的中心，</p><p><b>　　且M為BC的中點，</b></p><p>　　∴A，G，M三點共線，AM⊥BC(圖3) ．</p><p>　　∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥AM于G，即GM⊥B

7、1C1，</p><p>　　GA1⊥B1C1，∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．</p><p>　　∵點A1在平面BB1C1C上的射影為M，</p><p>　　∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°。在Rt△A1GM中，由</p><p>　　A1G=AG=2GM得∠A1GM=60°，即二面角A1—B1C1

8、—M</p><p><b>　　的大小是60°。</b></p><p>　　對于“無棱”二面角（即棱未明顯給出）的常規(guī)求法是：</p><p>　　先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，還可考</p><p>　　慮使用射影面積公式，這里給出下述兩例：</p><p>　　例

9、3 如圖4，在底面是直角梯形的四棱錐Ｓ—ABCD中，</p><p>　　∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，</p><p>　　ＡＤ＝．求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．</p><p>　　解析 延長BA、CD相交于點E，連結(jié)SE，則SE是所</p><p><b>　　求二面角的棱。

10、</b></p><p>　　∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ，∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ，∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角?！撸樱拢剑啵簦纭希拢樱茫剑此蠖娼堑恼兄禐?。</p><p>　　例4 如圖5,在正三棱柱ABC-A1B1C1

11、中,E∈BB1，截面A1EC⊥ 側(cè)面AC1.若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù). 　解析 本題考慮常規(guī)解法可作出棱后找平面角（為</p><p>　　，解略），這里使用公式：在</p><p>　　底面上的射影為，設(shè)AA1=A1B1=a，易算得</p><p><b>　　于是=</b></p

12、><p><b>　　三、法向量法</b></p><p>　　求二面角是近些年來高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,要求考生能盡快分析出空間線面關(guān)系,準確作出二面角的平面角;未給出二面角棱的，要先作出棱,后找平面角再計算,這些都需要很強的空間想象能力與靈活轉(zhuǎn)化能力,一般考生難以完成;而應(yīng)用法向量來解決,只需求兩半平面法向量的夾角,用公式即可.這樣,避免了空間線線、線面、面面關(guān)系的抽象分

13、析，從而使考生從復(fù)雜抽象的思考中解放出來，提高解題效率.如對上述例3：</p><p>　　建系如圖4,,平面的法向量。，。</p><p><b>　　設(shè)為面的法向量，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得，取，</b></p