曲線運動的發(fā)生條件

1、曲線運動曲直談,曲線運動要點,一、曲線運動的發(fā)生條件,,,,F,,,,,,合外力方向與速度方向不在一直線,二、曲線運動的特點,速度方向一定變化,切向力改變速度大小法向力改變速度方向,v,,Fn,Ft,三、求解曲線運動問題的運動學基本方法,矢量的合成與分解,微元法,,,曲線運動的加速度,質(zhì)點的瞬時加速度定義為,,,A,,,vB,,,,為求一般的做曲線運動質(zhì)點在任一點的瞬時加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度at．,,,,,O

2、,A點曲率圓,,,A點曲率圓半徑,,B,在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時的速度與加速度的大小各為多少？,專題7-例1,依據(jù)實際運動效果分解船的運動：,,,,v0,A,,,,,,,,,,,,v,vn,,h,,,,,s,,,,vt,船及與船相系的繩端A的實際運動是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動而成，即將實際速度v分解成沿繩

3、方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度vt;,,注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點沿繩方向移動速率vn:,由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得：,求船的速度,續(xù)解,,,,求船的加速度,在一小段時間Δt內(nèi),船頭位置從A移A′，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度Δθ→0:,,,,,,,,,A,,,,v,v0,,,vt,,,v0,,讀題,,由加速度定義得：,,由幾何關(guān)系得：,,,,,,質(zhì)點沿圓周作速度大小、方向均

4、變化的運動．每個瞬時的加速度均可分解為切向加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點速率變化快慢，后者反映質(zhì)點速度方向變化快慢．,如圖所示，質(zhì)點從O點由靜止開始沿半徑為R的圓周作速率均勻增大的運動，到達A點時質(zhì)點的加速度與速度方向夾角為α，質(zhì)點通過的弧s所對的圓心角為β，試確定α與β間的關(guān)系．,專題7-例2,,,vA,a,A,O,,,,,β,,,s,,,,,,,,at,an,由題給條件,而,,,,,又,,如圖所示，質(zhì)點沿一圓周運動，過M點

5、時速度大小為v，作加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大?。?小試身手題1,將M點加速度沿切向與法向進行分解!,,v,,a,M,A,l,O,,,,,at,an,法向加速度,,,,,,,,如圖所示，曲柄OA長40 cm，以等角速度ω=0.5rad/s繞O軸反時針方向轉(zhuǎn)動．由于曲柄的A端推動水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當曲柄與水平線夾角θ=30°時，滑桿C的加速度．,小試身手題2,桿A與B板接觸點有相同沿豎直方向

6、的加速度 !,桿上A點加速度,,,,,,,O,A,B,C,ω,,,,aA,,aAy,,aC,,此即滑桿C的加速度,代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度,有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運動方向始終對準狐貍．某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD＝L，如圖．試求此時獵犬的加速度的大小．,小試身手題3,設(shè)Δt時間內(nèi)，v2方向變化Δθ, Δθ→0時:,,,,F,L,A,B,D,,,,,,,由加速度定義，

7、獵犬 加速度,,賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛，在0.1 s內(nèi)速度由10.0m／s加大到10.5 m／s，那么該賽車在半徑為30 m的環(huán)形公路段行駛中，要達到同樣大的速度需要多少時間？當環(huán)形公路段的半徑為多少時，賽車的速度就不可能增大到超過10 m/s？（公路的路面是水平的）,小試身手題4,直線加速時車的加速度 :,在環(huán)形公路上，法向加速度,切向加速度,,,,代入數(shù)據(jù),,當軌道半徑令法向加速度大小等于a0:,,無切向加速度，

8、賽車速率不會增加,,,質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動過程中，質(zhì)點的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點的速度v．,小試身手題6,設(shè)速率從v0增加,取運動過程中第i個極短時間Δti，由題意有,本題用微元法,,,,,,,若速率從v0減小, 有,質(zhì)點的運動是質(zhì)點相對槽的運動及與槽一起轉(zhuǎn)動兩者之合運動．,如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度ω繞盤心O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運動，試求質(zhì)點的加速度．

9、,專題7-例3,,科里奧利加速度,,,A,O,本題討論中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成,設(shè)某一瞬時質(zhì)點沿槽運動到與O相距r的位置A,,,,,B,A,,,,,經(jīng)Δt時間，質(zhì)點沿槽運動到與盤心O相距r+uΔt 的位置B ，盤轉(zhuǎn)過了角度ωΔt，故質(zhì)點實際應(yīng)在位置B′,,,,在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿y方向速度增量為,在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿x方向速度增量為,注意到Δt→0時,,續(xù)解,讀題,,方向與x成,,牽連加速度,科里奧利加速度,矢量圖示,

10、,,,,中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成,相對中介參考系的加速度,牽連加速度,,科里奧利加速度,由于參考系轉(zhuǎn)動及質(zhì)點對參考系有相對運動而產(chǎn)生的，方向指向u沿ω方向轉(zhuǎn)過90°的方向,,,返回,試手,如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度ω繞頂點O轉(zhuǎn)動，某一點M以等相對速度沿AB邊運動，當三角形轉(zhuǎn)了一周時，M點走過了AB，如已知AB＝b，試求M點在A時的速度與加速度．,小試身手題5,求質(zhì)點的速度,,,O

11、,A,B,ω,,,,引入中介參照系-三角形OAB,質(zhì)點對軸O的速度（相對速度）,三角形A點對軸的速度（牽連速度）,質(zhì)點對軸O的速度（絕對速度）vM,,,vMA,,vA,三速度關(guān)系為,,,vM,,,方向與AB夾角,,續(xù)解,求質(zhì)點的加速度,相對中介參考系的加速度,牽連加速度,科里奧利加速度,,O,A,B,ω,,,,,aA,a科,,,aM,方向與AO夾角,,規(guī)律,曲線運動軌跡的曲率,曲線的彎曲程度用曲率描述,,,曲線上某點的曲率定義為,,,,

12、,,圓周上各點曲率相同:,,,,,,,,曲線上各點對應(yīng)的半徑為該點曲率倒數(shù)1/K的圓稱為曲率圓,該圓圓心稱曲線該點的曲率中心!,物理方法求曲率(半徑)示例1,用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點的曲率半徑,已知長半軸與短半軸為a和b.,專題7-例4,,,,,設(shè)質(zhì)點在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運動，這個運動在M1平面的一個分運動軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角,對橢圓長軸端的A點:,,,,aA1,,,對A點投影A1點:,,橢圓短軸端B點的

13、曲率半徑由,,v,,,v,,,,,,,,aA,v,aB,,aB,用運動分解法求拋物線上某點的曲率半徑.,專題7-例5,,p,,,,設(shè)質(zhì)點以速度v0做平拋運動,平拋規(guī)律,消去t得,,,,,,,,,,,,,,,,對軌跡上的P點:,式中,,,物理方法求曲率(半徑)示例2,拋物線上x=p/2點,試手,旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運動學方法求解曲率半徑ρ值．,小試身手題7,設(shè)物體以v0作勻速率的圓周運動、同時以vh沿

14、垂直于v0方向作勻速直線運動，每前進一個螺距，完成一次圓周，即有,設(shè)螺旋線上任一點的曲率半徑為ρ,,,,,,,,,,h,,,r,平拋規(guī)律,受恒力作用,平拋運動規(guī)律,力與初速度垂直,軌跡為半支拋物線,勻變速曲線運動,,,,,,◎物體在時刻t的位置,,,,,◎物體在時刻t的速度,,,,,,水平方向勻速運動與豎直方向自由落體運動的合成,返回,,,,,,,,,平拋初速大小不同,落在斜面上時速度方向相同!,變換坐標描述平拋運動,,,,,,v0,g

15、,,空中飛行時間,距斜面最大高度,沿斜面方向的勻加速運動與垂直斜面方向的上拋運動之合成!,,,O,θ,如果A、B都落在水平面上，則飛行時間相同，故,如果A、B都落在坡面上，則落坡時速度方向相同，,比值只能介于上兩值之間,,,,,,,如圖所示，在斜面上O點先后以v0和2v0的速度水平拋出A、B兩小球，則從拋出至第一次著地，兩小球的水平位移大小之比可能為 A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4

16、 D. 1∶5,拋體運動示例1,,,,如圖所示的排球場總長為18 m ，設(shè)球網(wǎng)高度為2 m ，運動員站在網(wǎng)前3 m線上正對球網(wǎng)跳起將球水平擊出．⑴若擊球點高度為2.5 m，則擊球的速度符合什么條件時，才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？⑵當擊球點的高度小于多少時，無論水平擊球速度多大，球不是觸網(wǎng)就是出界？（g=10m/s2）,拋體運動示例2,,,⑴滿足條件的球平拋臨界軌跡如圖,⑵滿足條件的平拋球臨界高度如圖,,,,,H,,3m,,3m,,3m,,

17、,當擊球點高度小于2.13m時,球不是落網(wǎng)就是出界!,,3m,解：,如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個坡的末端形如水平跳板．當跳板高h為何值時，冰球飛過的距離s最遠？它等于多少？,,物體從坡末端B水平飛出后做平拋運動:,由基本不等式性質(zhì),拋體運動示例3,以與水平地面成角α拋出一石子,要使石子在運動過程中始終遠離拋石人,角α最大不能超過多少 ？,小試身手題8,當石子運動的速度矢量與位移矢量垂直時,石子距離拋出點最遠!,

18、v0,,,,,vt,,此時,,,x,y,,,,,石子做斜上拋運動,其運動規(guī)律,此方程式無解時，必滿足,即要使石子始終遠離拋石人而非達最遠后又縮小距離,拋出角,,,兩個質(zhì)點以加速度g在均勻重力場中運動．開始時兩個質(zhì)點位于同一點，且其中一個質(zhì)點具有水平速度v1＝3.0 m／s；另一個質(zhì)點水平速度v2＝4.0 m／s，方向與前者相反．求當兩個質(zhì)點的速度矢量相互垂直時，它們之間的距離．,小試身手題9,,當兩質(zhì)點速度互相垂直時，速度矢量關(guān)系如圖示

19、:,,,,,,v1,vy,v1t,v2t,,v2,,vy,,,由矢量圖得,,如圖，一倉庫高25 m，寬40 m．今在倉庫前l(fā) m、高5 m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時，初速度v0之值最??？（g取10 m/s2）,小試身手題10,,,,,,,,h,,S,v0,,,,l,vB,A,,,,,,B,,過B點時速度方向與水平成45°時，可以最小的vB越過40m寬庫頂 !,,,從A到B豎直方向分運動有,從A到B水平方向

20、分運動有,,,木排,木排停泊在河上，到岸的距離L＝60 m．流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2 m/s．小汽船離開岸駛向木排．船對水的速度v=7.2 km/h．問駕駛員在起航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對面的木排？這時船航行多少時間？,小試身手題11,,V0=v,,流水速度為,船的合速度為,在岸邊船的合速度大小,V0=v,方向如示 !,,到中間時船合速度沿x方向!,,,v

21、,,u中,,V,,,V,v,,,uL,通過L的時間,,航線如 示,,如圖所示，一個完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點．同時斜面正以V＝10m／s在水平面上作勻速運動，斜面與水平面的傾角為45°．問在離A點多遠處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？,小試身手題12,球以v=10 m/s入射，與斜面的接近速度,,,v,,V,,,球與斜面的分離速度,,球從與斜面分離到再次碰撞歷時,,,,,g,,注意到球沿斜面體方向初速度為零，加

22、速度gsin45°,球再與斜面碰撞處距A,,如圖所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡與水平面成角度α．他與水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達到的最大距離．,小試身手題13,,,,,,,,,,,,,,v0,g,,,,,石子沿山坡方向做勻加速運動,石子沿垂直山坡方向做勻加速運動,設(shè)拋出石子的仰角為β,,,,小球以恒定速度v沿水平面運動，在A點墜落于半徑為r和深為Ｈ的

23、豎直圓柱形井中．小球速度v與過Ａ點井的直徑成α，俯視如圖．問v、H、r、α之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計摩擦）,小試身手題14,,,,,v,A,,,小球運動軌跡的俯視圖如示,,,,,,,小球兩次與壁相碰點間水平射程為,歷時,從進入至與底碰撞歷時,為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”,(n、k均為正整數(shù)),小球在豎直方向作自由下落或碰底上拋至速度為零,小球在水平方向以v勻速運動,

24、碰壁“反射”,如圖，一位網(wǎng)球運動員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地Ａ處．第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在Ａ處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計，試求運動員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？,小試身手題15,設(shè)C點高度為h，由題意球1運動時間為,由題意球2運動時間為,∵水平射程相同,,,初速度為v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．,小試身手題16,這個問題可

25、抽象為一個求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域．,如圖，在空間三維坐標中，設(shè)初速度方向與xy平面成θ角，由拋體運動規(guī)律可建立時間t的三個參數(shù)方程,,,續(xù)解,這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程,此方程式有解時，必滿足,,包絡(luò)線方程為,這里我們運用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學模型處理了一個有實際應(yīng)用背景的物理問題,整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程,讀題,機車以等速率v0沿直線軌道行駛．機車車輪半徑為r．如

26、車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點M在軌道上的起點位置取為坐標原點，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點的運動軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度．,小試身手題17,M點的兩個分運動——,與輪心相同的勻速運動,,對輪心的勻速圓周運動,,,,,,,,,,,,,,續(xù)解,M點的軌跡方程為,求軌跡方程：,,讀題,M點速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示,求軌跡的曲率半徑ρ：,,,,,,vM,,aM,at,,v0